Partikel, die den äußeren Ereignishorizont eines Kerr-Schwarzen Lochs überqueren

Question

Partikel, die den äußeren Ereignishorizont eines Kerr-Schwarzen Lochs überqueren

Physik
Schwarze Löcher
Kerr-Metrik
Ereignishorizont
generelle Relativität

jac

Ich bin ziemlich verwirrt über die folgende Aussage in Sean Carrolls „Raumzeit und Geometrie“ (Formel 6.100).

Ein Teilchen mit Impuls $p^\mu$ Überqueren des äußeren Ereignishorizonts eines Kerr-Schwarzen Lochs $r=r_+$ "in der Zeit vorwärts gehen" befriedigt
$P^{μ} χ_{μ} < 0.$ $p^\mu\chi_\mu \lt 0.$ $\chi = \partial_t +\frac {a}{r_+^2+a^2}\partial_{\phi}$ ist der Tötungsvektor, der am äußeren Horizont null ist, mit $a$ ist das Verhältnis zwischen dem Komar-Drehimpuls und der Komar-Energie des Schwarzen Lochs.

Verwendung der Komponenten des metrischen Kerr-Tensors $g_{\mu\nu}$ und Bewerten des inneren Produkts bei $r=r_+$ , Ich bekomme

P^{μ} χ_{μ} = 0

$p^\mu\chi_\mu = 0$ für jeden Wert von

p^{μ}

$p^\mu$ . Kann mir jemand erklären, wie man die Ungleichung beweist und was ich falsch mache?

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Partikel, die den äußeren Ereignishorizont eines Kerr-Schwarzen Lochs überqueren

Rexcirus · Answer 1

Das ist eine Aussage über die Energie, wie sie von einem bestimmten Beobachter gesehen wird.

Denken Sie daran, dass die Energie eine beobachterabhängige Größe ist. In der speziellen Relativitätstheorie haben wir die Energie eines Teilchens mit 4-Impuls definiert $p^{\mu}$ gemessen von einem Beobachter mit 4-Geschwindigkeit $u^{\mu}$ als:

E^{(u)} = - η_{μ v} u^{μ} P^{v} > 0

$E^{(u)} = - \eta_{\mu \nu} u^{\mu} p^{\nu} > 0$

das in der allgemeinen Relativitätstheorie verallgemeinert wird

E^{(u)} = - G_{μ v} u^{μ} P^{v} > 0

$E^{(u)} = - g_{\mu \nu} u^{\mu} p^{\nu} > 0$

Zum Beispiel für einen statischen Beobachter in der speziellen Relativitätstheorie $u^{\mu} = (1,0,0,0)$ :

E^{(S T A T ich C)} = - P_{0}

$E^{(static)} = - p_{0}$

Damit sich das Teilchen zeitlich vorwärts bewegt, muss die Energie positiv sein. Beachten Sie, dass dies eine tensorielle Aussage ist, also gilt sie in jedem Koordinatensystem.

Jetzt in der Kerr-Raumzeit

E^{(S T A T ich C)} = E

$E^{(static)} = E$

Wo $E$ ist die Bewegungskonstante $-(\partial_t)^{\mu} u_{\mu} = -u_0 = -p_0$ (die letzte Gleichheit kann immer erfüllt werden, indem die Reparametrisierungsfreiheit der Geodäten verwendet wird), die dem zeitartigen Killing-Vektor zugeordnet ist $\partial_t = (1,0,0,0)$ , Deshalb $E$ kann als die Energie interpretiert werden, die von einem statischen Beobachter im Unendlichen gesehen wird, und muss positiv sein. Wenn wir uns innerhalb der Ergoregion befinden, gibt es keine statischen Beobachter, da uns die Schwarzen Löcher mitziehen. Ein geeigneter Beobachter, der mit dem Loch mitrotiert, hat vier Geschwindigkeiten $u^{\mu} \propto (1,0,0,\Omega_H)$ , Deshalb:

E^{(R Ö T A T ich N G)} \propto (E - Ω_{H} L)

$E^{(rotating)} \propto (E-\Omega_H L)$

wo nochmal $L$ ist die Bewegungskonstante, die dem rotierenden Killing-Vektor zugeordnet ist $\partial_\phi = (0,0,0,1)$ . Die Aussage, dass die von einem solchen Beobachter gesehene Energie positiv ist, impliziert die Aussage $p^{\mu}\chi_{\mu} < 0$ .

Die Kerr-Raumzeit ist eigenartig, da sie einem Prozess des Teilchenzerfalls folgt $E^{(0)} = E^{(1)} + E^{(2)}$ bestimmte Teilchen haben können $E^{(2)} < 0$ , aber es gibt keinen Widerspruch zu dem, was ich zuvor gesagt habe, da dies nur geschieht, wenn diese Teilchen nicht in die Unendlichkeit entkommen können, daher gibt es keine Interpretation als Energie, die von einem statischen Beobachter im Unendlichen gesehen wird.

Beachten Sie, dass alle oben genannten Überlegungen vor dem Überqueren durchgeführt werden $r_+$ .

Ich verstehe, dass das Vorwärtsbewegen in der Zeit bedeutet, dass die Energie, die von einem zeitähnlichen, sich bewegenden Beobachter gemessen wird, <0 sein sollte. Da statische Beobachter keinen zeitähnlichen Geschwindigkeitsviervektor haben, müssen wir einen anderen finden. Die offensichtliche Wahl ist eine, die sich knapp außerhalb des Horizonts und mit der Winkelgeschwindigkeit Omega_H um den BH dreht. In diesem Fall ist der U-4-Vektor gleich dem oben definierten Tötungsvektor chi. Ich kann davon ausgehen, dass ein solches Chi von Natur aus zeitähnlich ist. Gibt es eine Möglichkeit, direkt und ohne zu viele Berechnungen zu zeigen, dass Chi direkt außerhalb des Horizonts zeitähnlich ist?
Ich glaube nicht, dass dies möglich ist, ohne die Metrik einzufügen und die Chi-Norm zu berechnen.

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jac

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Rexcirus

jac

Rexcirus

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