Das ist es nicht so sehrϵich j k(A†JA†k−AJAk)
Null ist, aber dass jeder dieser Terme für sich verschwindet:
beideϵich j kA†JA†k= 0Undϵich j kAJAk= 0 ,
weil diese Betreiber pendeln, also
AJAk=AkAJ
und dito für die Dolche und für jedes Paar mit
j ≠ k
Sie haben einen entsprechenden Term mit dem entgegengesetzten Vorzeichen im Levi-Civita-Tensor. So sagen wir z
ich = 1
, lautet der Begriff der doppelten Vernichtung
ϵ1 j kAJAk=A2A3−A3A2= 0 ,
und ähnlich für die anderen Komponenten und den Doppelbildungsterm.
Dasselbe passiert mit den anderen beiden Begriffen, weil Sie so weit mit links sind
Lich=ℏ2 ichεich j k(A†JA†k−A†JA†k) ,
aber die beiden Begriffe sind im Wesentlichen identisch. Um dies zu sehen, nimm den zweiten Term und drehe den um
J
Und
k
Etiketten:
ℏ2 ichεich j kA†JA†k=ℏ2 ichεich k jA†kA†J=ℏ2 ichεich k j(A†JA†k+ ichδjk _)= −ℏ2 ichεich j kA†JA†k+ℏ2εich k jδjk _= −ℏ2 ichεich j kA†JA†k,
Wo
εich k jδjk _= 1 − 1 = 0
verschwindet. Wenn Sie dies wieder in den vollen Ausdruck bringen, erhalten Sie
Lich=ℏ2 ichεich j k(A†JA†k+A†JA†k) = − ich ℏεich j kA†JA†k
wie früher behauptet.
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Emilio Pisanty
ZeroTheHero