Diese Frage bezieht sich auf eine Definition des Tensorprodukts von Hilbert-Räumen, die ich in Walds Buch über QFT in gekrümmter Raumzeit gefunden habe. Lassen Sie uns zunächst einige Notationen klarstellen.
Lassen einen Satz bezeichnen , zusammen mit Und wobei die Addition und Multiplikation abbildet die die Vektorraum-Axiome erfüllen. Wir definieren die komplex konjugierte Multiplikation als
Gegeben seien zwei Hilbert-Räume Und und eine begrenzte lineare Abbildung , definieren wir den Adjungierten dieser Abbildung als
Hier bedeutet das Wort „begrenzt“ einfach, dass es welche gibt so dass
Großartig! Nun zur Aussage. Hier ist es.
Das Tensorprodukt, , von zwei Hilbert-Räumen, Und , kann wie folgt definiert werden. Lassen bezeichnen die Menge der linearen Abbildungen , die endlichen Rang haben, dh so dass der Bereich von ist ein endlichdimensionaler Unterraum von . Der hat eine natürliche Vektorraumstruktur. Definieren Sie das Skalarprodukt weiter von
(Die rechte Seite der obigen Gleichung ist wohldefiniert, da hat einen endlichen Rang). Wir definieren um die Hilbert-Raum-Vervollständigung zu sein . Es folgt dem besteht aus allen linearen Abbildungen die die Hilbert-Schmidt-Bedingung erfüllen .
Meine Frage ist
1. Wie passt diese Definition des Tensorprodukts von Hilbert-Räumen zu der Definition, mit der wir vertraut sind, wenn wir uns mit Tensoren in der Allgemeinen Relativitätstheorie befassen?
PS - Ich habe auch ein ähnliches Problem mit Walds Definition einer direkten Summe von Hilbert-Räumen. Ich habe beschlossen, dies in einer separaten Frage zu behandeln. Wenn Sie diese Frage beantworten könnten, sollten Sie sich diese auch ansehen. Es ist hier zu finden . Danke!
Gegeben sei eine ( monoidale ) Kategorie , zB die Kategorie der endlichdimensionalen Vektorräume, die Kategorie der Hilbert-Räume usw.
In so einer Kategorie , hat man typischerweise den Isomorphismus
Wo ist ein duales Objekt, und ist der relevante Raum der Morphismen .
Oft geben Lehrbücher nicht die eigentliche Definition eines Tensorprodukts an , die dennoch zumindest teilweise auf Wikipedia erklärt wird, sondern schummeln stattdessen, indem sie den Isomorphismus (1) als Arbeitsdefinition eines Tensorprodukts verwenden .
Ich glaube nicht, dass Wald in seinem GR-Text jemals ein Tensorprodukt für unendlich dimensionalen Raum definiert, also nehme ich an, dass sich Ihre Frage auf den endlich dimensionalen Fall bezieht, in dem wir das Tensorprodukt einfach als Vektorraum über Paare schreiben Wo Und sind eine Grundlage. Ich werde die Äquivalenz in diesem Fall zeigen.
Wenn wir zwei endlichdimensionale Hilbert-Räume haben , wir können die orthonormalen Basen nehmen , . Da alles endlichdimensional ist, hat alles endlichen Rang, also ist der Vektorraum nur der Raum linearer Abbildungen Zu . Nehmen Sie eine lineare Karte und definieren . Unter Verwendung der Orthonormalität der Basen bedeutet das ist einfach die Matrixdarstellung von , und der Vektorraum ist einfach der entsprechende Vektorraum von Matrizen. Dann können wir interpretieren wie die übliche Matrix-Spur, die gibt .
Dies entspricht der üblichen Schreibweise, bei der wir Tensorprodukte als Elemente schreiben . Wiederum ist der Vektorraum die Matrizen geeigneter Größe. Das Skalarprodukt ist definiert als . Dies ergibt das gleiche Ergebnis wie oben nach dem Einstecken der Basis.
Wald definiert das Tensorprodukt von Hilberträumen, die nicht endlichdimensional sein müssen. Ansonsten wäre automatisch eine Menge von Karten mit endlicher Reichweite. ist der Abschluss von dh seine Elemente sind Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen. Die Spurnorm wird also erweitert auf .
Die Dirac-Notation ist nützlich, um zu sehen, wie sie zusammenpassen. Und sind Vektoren von Und . Sie sind verbunden mit Und (oder ihre Konjugierten) nach dem Satz von Riesz. Die Standardnotation für das Tensorprodukt ist oder . Hier definiert Wald es als die Landkarte . Die zugehörige bilineare Abbildung ist
Prahar
QMechaniker
Trimok