Einfache Modelle, die topologische Phasenübergänge aufweisen

Ich denke, Sie müssen definieren, was Sie unter einem "topologischen Zustand der Materie" verstehen, da der Begriff auf mehrere ungleiche Weise verwendet wird. Zum Beispiel ist der von Ihnen erwähnte torische Code eine ganz andere Art von topologischer Phase als topologische Isolatoren. Eigentlich könnte man argumentieren, dass alle topologischen Isolatoren (vielleicht außer der Integer Quantum Hall, Klasse A in der allgemeinen Klassifizierung) nur topologische Effekte und keine echten topologischen Phasen sind, da sie durch diskrete Symmetrien (Zeitumkehr, Teilchen-Loch oder chiral) geschützt sind. . Wenn diese Symmetrien explizit oder spontan gebrochen werden, kann das System zu einem trivialen Isolator werden.

Aber eines der einfachsten Gittermodelle (viel einfacher als der torische Code, aber auch nicht so reichhaltig), das ich kenne, ist das folgende Zwei-Band-Modell (geschrieben im k-Raum)

$H(\mathbf k) = \mathbf d(\mathbf k)\cdot\mathbf{\sigma},$

mit$\mathbf d(\mathbf k) = (\sin k_x, \sin k_y, m + \cos k_x + \cos k_y)$und$\mathbf{\sigma} = (\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)$sind die Pauli-Matrizen. Dieses Modell gehört zur gleichen topologischen Klasse wie das IQHE, was bedeutet, dass es keine Zeitumkehr-, Teilchen-Loch- oder chirale Symmetrie hat. Das Spektrum ist gegeben durch$E(\mathbf k) = \sqrt{\mathbf d(\mathbf k)\cdot\mathbf d(\mathbf k)}$und das Modell wird durch die erste Chern-Nummer klassifiziert

$C_1 = \frac 1{4\pi}\int_{T^2}d\mathbf k\;\hat{\mathbf d}\cdot\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_x}\times\frac{\partial \hat{\mathbf d}}{\partial k_y},$

wo$T^2$ist der Torus (das ist die Topologie der Brillouin-Zone) und$\hat{\mathbf d} = \frac{\mathbf d}{|\mathbf d|}$. Durch Ändern des Parameters$m$Das System kann einen quantenkritischen Punkt durchlaufen, aber dies kann nur passieren, wenn sich die Volumenlücke schließt. Also die Gleichung lösen$E(\mathbf k) = 0$zum$m$, kann man sehen, wo es Phasenübergänge gibt. Man kann dann die Chern-Zahl in den Intervallen zwischen diesen kritischen Punkten berechnen und finden

$C_1 = 1$zum$0 < m < 2$,$C_1 = -1$zum$-2 < m < 0$und$C_1 = 0$Andernfalls.

Somit gibt es drei verschiedene Phasen, eine triviale und zwei nicht-triviale. In den nicht-trivialen Phasen hat das System eine quantisierte Hall-Antwort und geschützte chirale Kantenzustände (was leicht zu sehen ist, indem man Kanten entlang einer Achse legt und den Hamilton-Operator auf einem Computer diagonalisiert).

Wenn man die Kontinuumsgrenze nimmt, reduziert sich das Modell auf einen 2 + 1-dimensionalen massiven Dirac-Hamilton-Operator, und ich denke, dass die gleichen Schlussfolgerungen in dieser Kontinuumsgrenze erreicht werden können, aber die Topologie tritt als Paritätsanomalie auf.

Weitere Informationen finden Sie hier: http://arxiv.org/abs/0802.3537 (das Modell wird in Abschnitt IIB vorgestellt).

Ich hoffe, Sie finden das nützlich.

Das ist eine sehr gute Frage. Lassen Sie mich zunächst einen kleinen Hintergrund geben.

Lange Zeit dachten Physiker, dass alle Phasen der Materie durch Symmetriebrechung beschrieben werden . Als Ergebnis beinhalten alle kontinuierlichen Phasenübergänge zwischen diesen symmetriebrechenden Phasen eine Änderung der Symmetrie.

Jetzt wissen wir, dass es jenseits der Symmetriebrechung eine neue Art von Materiephasen gibt – topologische Ordnung . Wir sollten also neue kontinuierliche Phasenübergänge zwischen diesen topologisch geordneten Phasen haben. Diese neuen kontinuierlichen Phasenübergänge ändern keine Symmetrie (dh die beiden Phasen, die durch den Übergang verbunden sind, haben die gleiche Symmetrie). Um eine Vorstellung von dieser neuen Art von Phasenübergängen zu haben, fragt man sich natürlich, was sind einfache Modelle, die topologische Phasenübergänge aufweisen?

Heidar hat ein sehr gutes und einfaches Modell gegeben. Hier werde ich einige Forschungsarbeiten zu diesem Thema auflisten (bitte zögern Sie nicht hinzuzufügen, wenn Sie weitere Arbeiten kennen)

• X.-G. Wen und Y.-S. Wu, Phys. Rev. Lett. 70, 1501 (1993).
• W. Chen, MPA Fisher und Y.-S. Wu, Phys. Rev. B 48, 13749 (1993).

Die beiden obigen Veröffentlichungen beschreiben kontinuierliche Phasenübergänge zwischen FQH-FQH oder FQH-Mott-Isolator, die durch periodische Potentiale induziert werden.

• N. Read und D. Green, Phys. Rev. B 61, 10267 (2000).

Das Papier beschreibt den kontinuierlichen Übergang zwischen starken und schwachen p-Wellen/d-Wellen-BCS-Supraleitern. Heidars Beispiel ist dieser Arbeit ähnlich.

• Xiao-Gang Wen, Phys. Rev. Lett. 84, 3950 (2000). cond-mat/9908394.

Das Papier beschreibt kontinuierliche Übergänge zwischen Doppelschicht-FQH-Zuständen, die durch Tunneln und/oder Kopplung zwischen Schichten induziert werden

• Maissam Barkeshli, Xiao-Gang Wen, Phys.Rev.Lett.105 216804 (2010).

Das Papier beschreibt einen kontinuierlichen Übergang zwischen einem Abelain-FQH-Zustand und einem nicht-Abelschen FQH-Zustand, der durch eine Anyon-Kondensation induziert wird.

Ich möchte mehr Beispiele für topologische Phasenübergänge kennen.

Die sogenannten lyotropen Flüssigkristalle weisen mehrere topologische Übergänge auf. Bei solchen Übergängen ändert sich die Topologie eines realen Raums. Die bekannteste davon ist der Übergang in die sogenannte Schwammphase. Es gibt aber auch einfachere. Beispielsweise ist bekannt, dass sich Lipidvesikel in eine Kette von Perlen verwandeln (die topologisch immer noch einer Kugel entsprechen), sich dann aber voneinander trennen (was bereits eine topologische Veränderung ist). Lebende Zellen spalten oft Vesikel auf, die von einem Teil der Membran gebildet werden. An diesem Vorgang ist der topologische Übergang beteiligt.

Es wäre viel besser, wenn Sie angeben, welche Phänomene Sie meinen, da unter diesem allgemeinen Namen an verschiedene Dinge gedacht werden kann.

Zum Beispiel wurden die Übergänge der Ordnung 2,5 einmal betrachtet, um Mott-Übergänge in einigen Materialien zu erklären. Dort erfährt die Fermifläche die topologische Phasenumwandlung

Soweit ich weiß, sind "Quantenphasen" oder "Berry-Pancharatnam-Phasen" Beispiele für "topologische Phasen". Siehe Y Ben-Aryeh 2004 J. Opt. B: Quantenhalbklasse. Option. 6 R1, „Berry and Pancharatnam Topological Phases of Atomic and Optical Systems“, http://arxiv.org/abs/quant-ph/0402003 .

Unter dieser Definition der Begriffe ist das einfachste Beispiel einer topologischen Phase der Übergang von Zuständen unter einheitlicher Transformation in Spin-1/2 für ein einzelnes Teilchen. Dies ist die Beeren- oder Pancharatnam-Phase.

Stellen Sie sich ein Spin-1/2-Teilchen vor, das in einem Spin-up-Zustand (+z) beginnt. Sein Spin wird dann in x- und y-Richtung und dann in z-Richtung gemessen. Wenn die Ergebnisse dieser Messungen sind, dass sein Spin +x, +y und dann +z ist, wird seine Rückkehr zum +z-Fall mit einer Quantenphase von sein$\pi/4$wie ich jetzt zeige:

Lassen$\sigma_x$,$\sigma_y$, und$\sigma_z$seien die Pauli-Spinmatrizen. Dann$(1+\sigma_x)/2$,$(1+\sigma_y)/2$, und$(1+\sigma_z)/2$sind die Projektionsoperatoren für Spin in den +x-, +y- und +z-Richtungen. Der Operator für ein Teilchen, das in einer Reihe von Messungen von Spin +z nach +x nach +y und zurück nach +z geht, ist das Produkt der Projektionsoperatoren, die wie folgt vereinfacht werden können:

$(1+\sigma_z)/2\;(1+\sigma_y)/2\;(1+\sigma_x)/2\;(1+\sigma_z)/2 = (e^{i\pi/4}/\sqrt{8})\;(1+\sigma_z)/2$.

Also, wenn wir lassen$|+>$Spin-Up sein, dann haben wir, dass die Amplitude für ein Teilchen, das diese Folge von Zuständen durchläuft, ist:$<+|\; (1+\sigma_z)/2\;(1+\sigma_y)/2\;(1+\sigma_x)/2\;(1+\sigma_z)/2\; |+> = e^{i\pi/4}/\sqrt{8}$.

Das$\pi/4$ist die topologische Phase. Das$1/\sqrt{8}$ist die Verringerung der Amplitude aufgrund des Durchlaufens der Messungen. Ich habe das aus dem Gedächtnis eingegeben, es ist nicht unwahrscheinlich, dass ich das Vorzeichen falsch verstanden habe. :(

Übrigens ist für Spin-1/2 und Spin-1 die topologische Phase durch die Hälfte der Fläche (in Steradiant) gegeben, die in der Bloch-Sphäre durch die Folge von Zuständen herausgeschnitten wird. Für das obige Beispiel ist die ausgeschnittene Fläche ein Oktant. Diese hat eine Fläche von$(4\pi) /8 = \pi/2$, also ist die topologische Phase$\pi/4$.

Die topologischen Phasenübergänge, nach denen Sie fragen, sind vermutlich der Zusammenbruch einer Landau-Elektronenflüssigkeit, bei der Quantenfluktuationen mit thermischen Fluktuationen vergleichbar sind. Es gibt eine recht umfangreiche Reihe von Veröffentlichungen zu diesem Thema mit Schwermetallen und quantenkritischen Punkten. Cubrovic hat in solchen Systemen Parallelen zu AdS~CFT gefunden.