Konkavität und zweite Ableitung
Benutzer401334
Ich lerne derzeit etwas über Konkavität und verwende die zweite Ableitung, um die Konkavität einer Funktion zu messen. Allerdings verstehe ich nicht ganz, was mir die zweite Ableitung sagt. Ich weiß, dass die erste Ableitung uns die Rate sagt, mit der sich die Funktion ändert oder die Steigung an jedem Punkt. Ich kann mir jedoch nicht ganz vorstellen, was mir die zweite Ableitung sagt. Wenn mir jemand sagt, es sei die "Rate, mit der sich die Änderungsrate ändert", wird mein Kopf leer. Könnte mir das bitte jemand erklären.
Antworten (3)
Rote Banane
sagt Ihnen die Steigung von . Damit wissen Sie, dass die Funktion zunimmt/abnimmt oder nichts davon. gibt Ihnen die möglichen Wendepunkte von (und auch Informationen über kritische Punkte), das sind Punkte, an denen sich die Kurve "entgegen der ursprünglichen Seite zur Seite krümmt". Ich ziehe es vor, nicht im Sinne von "Rate, mit der sich die Änderungsrate ändert" zu verstehen , weil es umständlich erscheint. Schauen Sie sich den Artikel an, den ich erwähnt habe, und sehen Sie, ob er besser passt.
Zum Beispiel:
Ali
Das Vorzeichen der zweiten Ableitung zeigt die Konkavität. Das ist wenn dann ist die Funktion nach oben konvex oder konkav und wenn dann ist die Funktion konkav.
Rumpelstillhaut
Pacco
Kurze Antwort:
Es scheint, dass Sie die "Änderungsrate" mit Steigung konzipiert haben. Wenn ja, dann bedenken Sie, dass sich die Steigung einer Funktion für verschiedene X-Werte ändern kann. Somit hat seine Steigung eine Änderungsrate in Bezug auf X. Die 2. Ableitung vermittelt diese „Änderungsrate der Steigung“. Wenn sich die Steigung einer Funktion ändert, krümmt sich ihr Graph, daher kann die 2. Ableitung ausdrücken, wie sich eine Funktion in Bezug auf die X-Achse krümmt, was wir als Konkavität bezeichnen.
Lange Antwort:
Die Phase "Rate, mit der sich die Änderungsrate ändert" kann konzeptualisiert werden, indem f(x) = 3x betrachtet wird. Seine Änderungsrate in Bezug auf x ist 3, f '(x)=3 alias Steigung=3. Wenn man sich den Graphen ansieht, sieht man eine Linie, die in Y-Richtung um 3 zunimmt, wenn sie in X-Richtung um 1 zunimmt.
Und da jedes Mal, wenn Sie X um 1 erhöhen, Y um 3 erhöht wird, ändert sich die 'Änderungsrate' nicht, sie ist immer 3. Wenn Sie also f(x) = 3x an die ursprüngliche Phase zurückbinden, die "Rate, mit der die Rate der Änderungsrate ändert sich" ist Null, weil die Änderungsrate immer 3 ist. Und da sich die Steigung nicht ändert, ist der Graph f(x)=3x eine Gerade und seine 2. Ableitung ist Null, f "(x)= 0
Betrachten Sie nun den Graphen von f(x)=3x^2, wenn X zum ersten Mal um 1 erhöht wird, erhöht sich Y um 3; (X=1,Y=3), aber wenn X das nächste Mal um 1 erhöht wird, erhöht sich Y um 9 (X=2, Y=12). Die „Rate, mit der sich die Änderungsrate ändert“, ist also nicht mehr Null. Somit ändert sich die Steigung von f(x) mit x und sein Graph ist keine gerade Linie mehr. Stattdessen krümmt es sich nach oben und seine 2. Ableitung ist nicht mehr Null, f "(x) =6.
Hoffentlich hilft dies dabei, die 2. Ableitung damit zu verbinden, wie sich eine Funktion "krümmt", was ihre Konkavität definiert.
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