Ist die Existenz eines einzelnen Teilchens in einem hypothetischen unendlichen leeren Raum ausdrücklich durch QM verboten?

Angenommen, das Universum ist völlig leer und enthält nur ein einziges Teilchen. Zur Vereinfachung betrachte ich nur den eindimensionalen Fall. Alle Argumente gelten jedoch für drei Dimensionen. Die Lösung der Schrödinger-Gleichung$\hat{H} \psi = E \psi$mit$\hat{H} = \frac{\hat{p}^2}{2m}$und$\quad \hat{p} = -i\hbar \frac{\mathrm d}{\mathrm d x}$für ein freies Teilchen ($V=0$) ist dann gegeben durch$\psi(x,t)=A\exp{i(kx-wt)}$mit Konstanten$w=\frac{E}{\hbar}$und$E=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$was leicht gezeigt werden kann. Um die Kriterien des QM zu erfüllen,$\langle \psi|\psi\rangle$muss normalisiert werden (=1). Wenn das nicht möglich ist, kann eine solche Größe auf keinen Fall als Wahrscheinlichkeitsdichte interpretiert werden. Wenn Sie jedoch versuchen, die Dichte zu normalisieren, werden Sie feststellen:

$$\begin{align*} \langle\psi|\psi\rangle &=\int_{-\infty}^{\infty} \psi \psi^* dx \\ &= |A|^2 \int_{-\infty}^{\infty}\exp{i(kx-wt)} \exp{-i(kx-wt)}\mathrm dx \\ &=|A|^2 \int_{-\infty}^{\infty}1\cdot\mathrm dx\\ &=\infty\,. \end{align*}$$

Somit ist es nicht möglich, die Normalisierung zu finden. Als ich mich umhörte, stellte ich fest, dass solche Fälle normalerweise als Annäherung an einen sehr breiten (aber endlichen) Potentialtopf oder im dreidimensionalen Fall als eine Box behandelt werden. Dies ermöglicht eine ziemlich einfache Lösung, die normalisiert werden kann. Sie stellt jedoch nur eine Annäherung dar . Streng genommen gibt es keine solchen Lösungen, die den Postulaten der Quantenmechanik genügen. Bedeutet das, dass die Gesetze der QM ein unendlich leeres Universum mit nur einem einzigen darin eingeschlossenen Teilchen grundsätzlich verbieten?