Sind mathematische Aussagen notwendige Wahrheiten?

Wahrheit ist eine Eigenschaft von Sätzen. Im einfachen Fall der Aussagenlogik bedeutet dies, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist.

Entweder es regnet oder es regnet nicht, zu einem festen Datum und einer festen Uhrzeit an einem festen Punkt in Manhattan.

Die am weitesten verbreitete Definition einer Proposition stammt von Tarski: Eine Proposition ist genau dann wahr, wenn die tatsächliche Situation, um die es in der Proposition geht, eine Tatsache ist. Der Vorschlag

Es regnet in Manhattan zu einem festen Datum und zu einer festen Uhrzeit und an einem festen Punkt

gilt genau dann, wenn es tatsächlich regnet. Sonst ist die Aussage falsch. Daher vergleicht Tarskis Wahrheitsdefinition einen Satz mit einer realen Situation.

Da sich die Mathematik nicht mit der Realität befasst – sie ist keine Naturwissenschaft wie die Physik – kann man Tarskis Definition nicht auf mathematische Aussagen anwenden. Stattdessen hat man zwei verwandte, aber unterschiedliche Konzepte:

Eine mathematische Aussage einer axiomatisierten Theorie ist genau dann beweisbar , und nur sie leitet sich durch einen logischen Schluss, dh einen Syllogismus, aus den Axiomen der Theorie ab.

Eine mathematische Aussage ist genau dann wahr , wenn sie in irgendeinem Modell der Axiome gilt.

Jede beweisbare Aussage ist wahr. Das Gegenteil gilt in einfachen Theorien wie dem Aussagenkalkül. Aber es gilt nicht in allgemeineren mathematischen Theorien.

• Wenn Sie Ihre Frage wörtlich nehmen, lautet die Antwort NEIN : Es gibt falsche mathematische Aussagen aus trivialen Gründen, zB Es gibt eine maximale Primzahl ist eine falsche mathematische Aussage.

• Es gibt mathematische Aussagen, deren Wahrheit unentscheidbar ist, zB ist die Kontinuumshypothese innerhalb der ZF-Mengentheorie unentscheidbar.

• Es gibt wahre mathematische Aussagen. Sie sind in allen möglichen Welten wahr, in denen unsere Logik gültig ist, was notwendigerweise wahr bedeutet.

Ich werde mich kurz fassen, da es ziemlich schwierig ist, die Frage in all ihren Aspekten zu beantworten. Nehmen Sie Ihr Beispiel: 2+2=4. Warum und wann sollte man sagen, dass 2+2=4 wahr ist? Wenn Sie Axiome der natürlichen Zahlen verwenden, müssen Sie mit der Zahl Vier enden, daher bedeutet „notwendigerweise wahr“ hier, dass Sie die Axiome korrekt angewendet haben, um die a priori bekannte Antwort zu erhalten. Und wenn 2+2=4 für diesen ganzen Vorgang des Zählens steht, dann kann man sagen, dass 2+2=4 wahr ist. Ich tu nicht. Ich habe dir 2 Äpfel gegeben und kurz darauf wieder 2 Äpfel, also habe ich dir vier Äpfel gegeben. Es ist also unbedingt wahr, dass ich dir vier Äpfel gegeben habe? Was ist damit gemeint? Angenommen, Sie kennen nur die Axiome und nur die Zahlen 0 und 1. Wie würden Sie 2+2=4 erhalten?

Dies hängt von Ihrem Ausgangspunkt ab.

Im Allgemeinen sind sie notwendigerweise so nah an der Wahrheit, wie wir sie im Allgemeinen finden.

Kant mahnte jedoch zur Vorsicht. Er stellte in seiner Kritik der reinen Vernunft fest , dass es keinen zwingenden Grund gibt, warum die Winkel in der euklidischen Geometrie 180 Grad ergeben müssen. Und siehe da, innerhalb der nächsten Jahrzehnte hatten Gauß, Lobatschewski und Bolyai die nicht-euklidische Geometrie erfunden. Gauß hatte die Kritik gelesen, also ist es durchaus möglich, dass die Möglichkeit, die Kant eröffnete, ihn zu seiner Entdeckung veranlasste.

Wenn Sie ein Spinozist sind, dann ist alles andere als das absolute Sein kontingent, und dazu gehören Logik und Mathematik.

Die einzige gerade Zahl, die eine Primzahl ist, ist die Zahl Zwei, alle anderen Primzahlen sind ungerade.

Es ist wahr, weil ein böser Dämon, wie Descartes vorgeschlagen hat, mich nicht dazu bringen konnte, falsch zu liegen, wenn ich dies für falsch hielt.

Es ist, wage ich zu sagen, kategorisch wahr.