Warum sind wahr und falsch die einzigen Wahrheitswerte, die in der Mathematik verwendet werden?

Warum verwenden wir nur wahr und falsch? In der Fuzzy-Logik und anderen mehrwertigen Logiken ist es möglich, viele Zustände dazwischen zu haben.

Wenn wir wahr und falsch Zahlen zuweisen, wie z. B. 1 bzw. 0, was wäre die logische Interpretation von -1, i, j oder k (wobei i, j, k wie für Quaternionen definiert )? Gibt es einen Grund für diese Dichotomie? Welche Art von Aussage hätte diese Wahrheitswerte, wenn es eine solche Aussage gäbe?

Willkommen bei Philosophy SE. Diese Frage ist in Ihrer Frage nicht ganz klar und könnte von einer Klärung profitieren. Die einfache Antwort ist, dass wahr und falsch in bestimmten Kontexten spezifische Bedeutungen haben, die andere Konzepte nicht zulassen würden; Denken Sie daran, dass sowohl Mathematik als auch Philosophie dem menschlichen Denken in erster Linie durch das, was sie nicht zulassen , einen Mehrwert verleihen , nicht durch das, was sie zulassen. Ordnung ist in der Tat die Beschränkung des Denkens auf bestimmte Konzepte, die als gültiges Modell innerhalb des Universums angesehen werden, das auch Ereignisse auf eine bestimmte gültige Menge zu beschränken scheint, die wir als Ordnung interpretieren.
Vielleicht nicht; siehe Dreiwertige Logik und Mehrwertige Logik .
Die Idee, dass es WAHR gibt, ist sehr tief in unserer Sprache verankert, und auch die Bivalenz, dh die Tatsache, dass das, was nicht WAHR ist, FALSCH ist. Aber gleichzeitig ist das Vagheitsphänomen in unserer Sprache und im täglichen Leben weit verbreitet, und das passt nicht gut zur Bivalenz.
0 und 1 sind in der Logik keine Zahlen , sondern boolesche Werte .
Die Frage ist so etwas wie die Frage "Warum gibt es nur 10 Ziffern?". Nun, im Dezimalsystem gibt es 10, denn das definiert es als Dezimalsystem !. Aber in anderen gibt es mehr oder weniger Ziffern. Also kurze Antwort: die Frage ist fehlerhaft, es gibt gar nicht nur "wahr" und "falsch"; Wie viele Werte es gibt, hängt ganz davon ab, welches System Sie verwenden. Wenn Sie mit der Verwendung von binären Wahr/Falsch-Systemen nicht zufrieden sind, verwenden Sie eines, das nicht binär ist.
Ich nehme an, die Antwort vom Typ "Philosophen" (da Sie sie im Philosophy Stack Exchange fragen) ist, dass wenn "Wahrheit" als Intervall [0, 1] genommen wird und "null Wahrheit" "totale Falschheit" bedeutet. und "1 Wahrheit" bedeutet "totale Wahrheit", einen Wahrheitswert "weniger als 0" (dh "-1 Wahrheit") zu haben, würde bedeuten, dass es irgendwie "noch falscher als absolut/vollständig falsch" sein müsste - also was wäre das gemein? Es ist ein bisschen so, als würde man fragen: „Was liegt nördlich des Nordpols“? oder "Was bedeutet es, sich langsamer zu bewegen, als absolut still zu sitzen?"
Es gibt auch bedeutungslos und unentscheidbar, was vier mögliche Werte ergibt.
@TimBII Ich denke, die Frage ist klar, die Frage fragt, warum sich die Mathematik für ein zweiwertiges Logiksystem entschieden hat und ob "anderswertige" Logiksysteme nützlich sein könnten.
@Discretelizard Wenn dies der Fall ist, hat er seine eigene Frage beantwortet, indem er viele verwandte Logiken erwähnt hat. Nicht alle Logik IST zweiwertig (obwohl die meisten es zugegebenermaßen sind) und warum überhaupt imaginäre Zahlen einbringen? Scheint eine Menge Spreu auf dem Weg zu sein, was eine klare Frage sein könnte .
@TimBII Wie beantwortet diese Frage die Frage, warum zweiwertige Logik verwendet wird? Ich meine, es gibt triftige Gründe, nicht zweiwertige Logiken für bestimmte Fälle zu bevorzugen, zum Beispiel hat die Fuzzy-Logik praktische Anwendungen gehabt.
@Discretelizard Ich stimme Ihnen eigentlich nicht zu, dass es in vielen Fällen vorzuziehen ist, eine bivalente Logik zu haben. Was ich oben gesagt habe, ist, dass sich der Titel darauf bezieht, dass es nur wahr und falsch gibt, und dann zeigt der Hauptteil der Frage nicht nur, dass dies nicht der Fall ist, sondern will dann wissen, warum ersteres wieder der Fall ist, während er fragt wenn letzteres eine gute Idee sein kann. Die Frage ist eigentlich gut, aber (IMHO) verwirrend geschrieben. Ihre Antwort darauf spiegelt ein gutes Verständnis der Absicht wider, aber das bedeutet nicht, dass der Wortlaut der Frage nicht verbessert werden kann.
@TimBII Ah, ich verstehe, was du meinst. Nun, dann schauen wir mal, ob die Bearbeitung hilft.
Sie sind nicht. Die Division durch Null ist ein Beispiel für den Wert „2“ = Unbestimmt.

Antworten (5)

Die Frage, ob wir ein logisches System haben könnten, das mit komplexen Zahlen dargestellt werden kann, wirft einen interessanten Punkt auf: Sind die logischen Systeme, in denen mehrere Dimensionen nützlich sind?

Die Antwort lautet ja. Betrachten Sie die multidimensionale Logik von Carlos Gershenson.

Hier ist jede logische Variable ein Paar aus dem 'Quadrat' [0,1] x [0,1]. Der Grund für die Wahl einer 2-dimensionalen Darstellung liegt darin, dass wir selbst paradoxen Aussagen wie „Dieser Satz ist falsch“ einen Wahrheitswert zuweisen können. Die Grundidee ist, dass wenn wir für das Paar (x,y) x+y=1 haben, dies innerhalb der Fuzzy-Logik 1 als nicht-paradoxer Wert angesehen wird . Andernfalls ist der Wahrheitswert paradox, aber dennoch darstellbar und berechenbar. (Weitere Informationen finden Sie unter dem angegebenen Link)

Aber lassen Sie mich Ihre eigentliche Frage beantworten. Einer der Hauptgründe dafür, dass der größte Teil der Mathematik ein zweiwertiges logisches System verwendet, ist, dass es in der Mathematik hauptsächlich darum geht, etwas entweder wahr oder falsch zu beweisen. Nichts anderes. Da Mathematiker also nur über zwei logische Werte für ihre Aussagen sprechen wollen, ist ein zweiwertiges logisches System das einfachste System, das ihnen dies ermöglicht.

1: Hier sehen wir eine Parallele zu den 'imaginären Zahlen', sie wurden in Cardanos Formel als 'algebraischer Trick' eingeführt, um in der Mitte einer Ableitung etwas 'Unsinn' zu haben, aber am Ende ein korrektes Ergebnis)

Tatsächlich können wir in einigen Logiken, insbesondere in der kontinuierlichen Modelltheorie, das Intervall [0,1] anstelle der üblichen Satzmenge {0,1} betrachten und 0 als Wahrheitswert und 1 als falschen Wert annehmen, weil sup[0 ,1]=1 und inf[0,1]=0. Auch wenn es viele komplexe Zahlenwerte gibt, gibt es nur eine Zahl, deren Quadrat -1 ist, und das ist i.

Der Grund für diese Dichotomie liegt darin, dass Logik normalerweise algebraisch statt geometrisch betrachtet wird, was uns zwingt, darüber nachzudenken, wie Wahrheitswertsysteme konstruiert werden können.

Was die Art von Aussage betrifft, die den Wahrheitswert i und negativ eins haben würde, nun, es müssten definitiv mathematische Formalisierungen einer Art von dialektischer Logik sein, die sich stark auf Idempotenten (mathematische Objekte, deren Iterationen gleich sich selbst sind) stützt, um ihren Wahrheitswert aufzubauen System. Einzelheiten sind mir nicht bekannt, da ein solches System noch nicht bekannt/nachweisbar ist.

Was ist das Quadrat von -i?
(-i)^2=(-1*i)^2=(-1)^2*(i)^2=1*(i)^2=i^2=-1. Das Quadrat von -i ist auch -1.

Die Domäne der Stochastik beruht auf der Verallgemeinerung der beiden diskreten Wahrheitswerte 0 und 1 auf das stetige Intervall [0,1] von Wahrscheinlichkeiten, dh alle reellen Zahlen zwischen 0 und 1 sind mögliche Wahrscheinlichkeiten. Die Wahl von "0" und "1" als zwei unterschiedliche Wahrheitswerte ist eine geeignete Konvention - denken Sie an das duale System in der Informatik. Wahrscheinlichkeiten müssen bestimmte Axiome erfüllen, zB für disjunkte Mengen A und B von Ereignissen

p(A Vereinigung B)= p(A) + p(B)

Daher kann man für Wahrscheinlichkeiten und Wahrheitswerte nicht ganz beliebige Zahlen wählen.

Ich bin mir nicht sicher, ob Stochastik hier so relevant ist. Auch in der Stochastik tritt jedes Ereignis entweder ein oder nicht. Es gibt immer noch nur 2 Wahrheitswerte. Das einzige, was in einem Intervall ist, ist unsere Ungewissheit über das Ereignis. Außerdem ist dein Axiom falsch. Die Ereignisse müssen nicht nur disjunkt, sondern auch unabhängig sein .
Danke für den Hinweis auf das falsche Axiom. - Wahrscheinlichkeit betrachte ich als Verallgemeinerung der beiden diskreten Wahrheitswerte. Die Wahrscheinlichkeit erfasst nicht nur unsere Ungewissheit des Ereignisses. In der Quantenmechanik erfasst die Wahrscheinlichkeit oft eine dem Ereignis innewohnende Eigenschaft, unabhängig von unserem Wissen.
"Wahrscheinlichkeit erfasst nicht nur unsere Ungewissheit des Ereignisses". Trotzdem gibt es in der Mainstream-Stochastik nur 2 Wahrheitswerte. Ich glaube nicht, dass irgendjemands Meinung darüber, was Stochastik sein sollte, wichtig ist. Daher denke ich, dass diese Antwort bestenfalls irreführend ist.
Was ist Ihrer Meinung nach falsch daran, die Wahrscheinlichkeit als Verallgemeinerung(!) der beiden diskreten Wahrheitswerte zu betrachten?
1) Dies widerspricht der/den Interpretation(en) in der Mainstream-Stochastik. 2) Das Konzept eines (Wahrscheinlichkeits-) Maßes ist ein ganz anderes mathematisches Objekt als eine logische Variable oder Operationen auf solchen Variablen. 3) Die von Ihnen gewünschte Mainstream-Verallgemeinerung ist als "Fuzzy-Logik" bekannt. Sehen Sie hier für die Unterschiede zwischen dieser und der Wahrscheinlichkeit.
plato.stanford.edu/entries/logic-probability Probabilistische Semantik ersetzt also die Bewertungen v : L→{0,1} der klassischen Aussagenlogik durch Wahrscheinlichkeitsfunktionen P : L→ ℝ, die Werte im realen Einheitsintervall [0, 1]. Die klassischen Wahrheitswerte wahr (1) und falsch (0) können somit als Endpunkte des Einheitsintervalls [0,1] angesehen werden, ebenso können Bewertungen v : L→{0,1} als entartete Wahrscheinlichkeit angesehen werden Funktionen P : L→ [0,1]. In diesem Sinne ist die klassische Logik ein Sonderfall der Wahrscheinlichkeitslogik, ....
Ja, das kannst du natürlich machen. Diese Definition widerspricht jedoch der modernen Stochastik. In der modernen Stochastik sind Wahrscheinlichkeitsmaße P Funktionen aus einer Sigma-Algebra S von messbaren Ereignissen zum Einheitsintervall. Es gibt keine Funktion gegenüber einer 'Aussagensprache'. Dass es offensichtlich eine andere Definition von „Wahrscheinlichkeit“ innerhalb der Logik gibt (es gibt viele solche!) bedeutet nicht, dass die Stochastik, ein Gebiet innerhalb der Mathematik, mit dieser Interpretation übereinstimmen muss! Ich verstehe immer noch nicht, warum Sie zu behaupten scheinen, dass Ihre eigenen Gedanken innerhalb der Stochastik akzeptiert werden müssen!

Ganz klar, das gibt es nicht.

Es gibt sicherlich Theorien, die eine -1 oder den Bereich ganzer Zahlen oder ein Intervall von Realzahlen oder einen unendlichen Vektorraum (den Raum der Zustandsmatrizen in der Quantenphysik) als geeignete Darstellungen eines logischen Zustands zulassen würden.

Aber die Logik sucht eine Grundlage für das Denken. Es sucht nach dem, was als grundlegendstes angesehen werden kann. Und für die meisten Menschen ist das ein binärer Vergleich.

Welches Verhalten könnte ich in diesem booleschen Kontext haben? Zuerst müssten Sie entscheiden, wie die Mathematik abgebildet wird. In Boole bedeutet Addition „oder“ und Multiplikation bedeutet „und“. In dieser Welt ist also -1 = 1. Ein Wahrheitswert von i oder -i müssten dann "alternative Einheiten" im algebraischen Sinne sein, zwei Dinge, die getrennt voneinander weder wahr noch falsch sind, aber wenn beide zutreffen, begründen sie ein wahres Aussage.

Anstatt genau drei solcher Dinge zu geben, gäbe es dann wirklich unendlich viele davon, und sie sind möglicherweise nicht sehr nützlich. Aber es könnte Spaß machen, sie zu erfinden.

Ich stimme der Äquivalenz zu. Aber schlagen Sie eine andere Zuordnung für i vor; als etwas in sich Widersprüchliches, aber unbestimmt Gesetztes, um einen der anderen Wahrheitswerte anzunehmen. Dies ist analog zu en.m.wikipedia.org/wiki/Tachyonic_field Wie Sie sagen, nur Erfindungen, und dieser Vorschlag ist nur zum Spaß.
@CriglCragl Aber etwas an sich Widersprüchliches sollte keinen Modul von 1 haben. Weil etwas mit Modul 1 niemals Null sein kann. Es muss irgendwie unvollständig sein, es sei denn, es ist quadratisch. Sie könnten Re(i) == 0 folgen und orthogonale Wahrheiten haben. Aber jemand anderes hat sich bereits zu mehrdimensionalen Interpretationen geäußert, und ich habe mich nicht darum gekümmert.
@CriglCragl Sie interessieren sich vielleicht für die multidimensionale Logik, auf die ich mich in meiner Antwort beziehe, da diese der paradoxen Aussage einen logischen Wert zuweist. Ein Wert wird nur dann als „nicht paradox“ betrachtet, wenn die Norm (L1-Norm, nicht Euklidisch) 1 ist und daher als Fuzzy-Logik-Wert angesehen werden kann.

Es scheint, dass alle anderen Formen der Logik (zB mit 2+ Werten), falls Sie sie jemals wirklich brauchen sollten, mit gewöhnlicher Mathematik auf der Grundlage der guten altmodischen Wahr-oder-Falsch-Logik simuliert werden können.

Dies ist eine ziemlich vage Behauptung. Ich bin mir nicht sicher, ob es ganz stimmt. Selbst wenn es zutrifft, bedeutet die Tatsache, dass wir andere Logiken „simulieren“ können (was auch immer das bedeutet), nicht, dass andere Logiken nutzlos sind. Manchmal sind andere Logiken einfach eine einfachere Möglichkeit, bestimmte Probleme zu beschreiben oder zu lösen. Dies ist einer der Gründe, warum Fuzzy-Logik in der Praxis Verwendung findet.
Angenommen, Sie möchten eine Logik mit 256 Werten simulieren. Dann könnte jeder "logische" Operator durch eine binäre Funktion auf der Menge der natürlichen Zahlen kleiner als 256 dargestellt werden.
Ja, aber warum sollten Sie?
@Discretelizard Mir fallen keine Anwendungen auf Anhieb ein, aber ich verstehe, dass die 8-Wert-Logik einige Verarbeitungseffizienzen in Computerchips bieten kann. Natürlich könnte die gleiche Funktionalität unter Verwendung einer standardmäßigen 2-Werte-Logik verfügbar gemacht werden.
Vielleicht sollte ich klarer sein. Warum würden Sie eine mehrwertige Logik mit einigen Zahlen simulieren? Warum nicht gleich die mehrwertige Logik nutzen.
Mit einem zweiwertigen Logiksystem sollten Sie in der Lage sein, alle anderen mehrwertigen Logiksysteme zu handhaben. Einheitsgröße. Sie müssen wirklich nur ein System lernen.
Das ist wie zu sagen, dass Sie nichts über Mathematik wissen müssen, sondern über Mengenlehre, weil sie komplexe Analysen, Maßtheorie usw. „handhaben“ kann. Mein Punkt ist, dass Ihre „mechanistische“ Sichtweise, ein logisches System „konstruieren“ zu wollen, ist irrelevant, denn entscheidend ist, ob das System es dem Menschen erleichtert, in bestimmten Situationen zu argumentieren. Oft ist es einfacher, mit einem Objekt A als mit B zu argumentieren, selbst wenn A und B isomorph sind.
Oft ist es einfacher, mit einem bewährten und vertrauten System über etwas nachzudenken. Und einfacher, Ihre Ergebnisse mit anderen zu kommunizieren.
Warum sind wahr und falsch die einzigen Wahrheitswerte, die in der Mathematik verwendet werden?
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