Wie dreht man den Spin eines Elektrons?

Sie sind einer beliebten Vereinfachung von Spinoren zum Opfer gefallen. Die Aussage "Sie müssen das Elektron um 720 Grad drehen, um den gleichen Spinzustand zu erhalten" bezieht sich nicht auf eine tatsächliche Drehung eines tatsächlichen Elektrons.

In der Quantenmechanik beschreiben wir die Zustände von Objekten als Elemente eines Hilbert-Raums $\mathcal{H}$. Entscheidend ist, dass nicht alle Elemente dieses Raumes physikalisch unterschiedliche Zustände darstellen – wenn wir zwei Elemente haben$\phi$Und$\psi$und sie sind so miteinander verbunden, dass man das eine durch Multiplikation mit einer beliebigen komplexen Zahl aus dem anderen erhalten kann$c$, dh$\phi = c\psi$, dann sind sie im selben Zustand.

Dies ist analog zu zwei Pfeilen unterschiedlicher Länge, die in dieselbe Richtung zeigen und dieselbe Richtung beschreiben. Nur die Richtung des Hilbert-Raum-Elements hat eine unmittelbare physikalische Bedeutung, nicht die Länge (obwohl es nicht völlig irrelevant ist, "Phasen" spielen eine Rolle, aber das ist hier nicht relevant).

Nun stellt sich heraus, dass es zwei verschiedene Möglichkeiten gibt, wie sich solche Elemente eines Hilbertraums bei einer vollen Drehung um verhalten können$2\pi$- sie bleiben entweder gleich,$\psi \overset{2\pi}{\mapsto} \psi$, oder sie ändern ihr Vorzeichen,$\psi \overset{2\pi}{\mapsto} -\psi$. Aber$-1$ist nur eine komplexe Zahl, also$\psi$Und$-\psi$gleichen Zustand sind, und eine Drehung durch$2\pi$ändert überhaupt keinen Zustand .

Objekte, deren Zustände gleich bleiben, heißen Bosonen und haben "ganzzahligen Spin", Objekte, deren Zustände das Vorzeichen wechseln, heißen Fermionen und haben "halbzahligen Spin".

Die Bloch-Kugel, auf die Sie sich beziehen, ist nicht der Hilbert-Raum eines Systems, sondern der projektive Hilbert-Raum . Den projektiven Hilbert-Raum erhält man, indem man einfach alle Vektoren im Hilbert-Raum identifiziert, die auf demselben Strahl liegen (= dieselbe Richtung haben = komplexe Vielfache voneinander sind).

Daher,$\psi$Und$-\psi$sind derselbe Punkt in einem projektiven Raum, also insbesondere auf der Bloch-Kugel, und a$2\pi$Die Rotation bewirkt so oder so nichts in einem projektiven Raum - wie es sollte, da jeder Punkt des projektiven Raums ein physikalisch unterschiedlicher Zustand ist.

Meine Erklärung basiert auf Sakurais Buch Modern Quantum Mechanics (Abschnitt 3.2 über Neutroneninterferometrie). Ich habe die Plancksche Konstante und genommen$c$(Lichtgeschwindigkeit) gleich 1.

Der klassische Rotationsoperator um eine Richtung$\hat{n}$etwa ein Winkel ist

$D(\hat{n}, d\phi) = 1- i (\vec{J}.\hat{n}) d\phi$,

was darauf hindeutet, dass es für Spins so sein sollte

$D(\hat{n}, d\phi) = 1- i (\vec{S}.\hat{n}) d\phi$,

was zur endlichen Winkelversion des Rotationsoperators um die z-Achse als führt

$D( \hat{z}, \phi) = \mathrm{exp} (-i S_z \phi)$.

Betrachten wir nun den Raum, der mit einem Magnetfeld gefüllt werden soll$\vec{B}$zeigt in z-Richtung, so dass der Hamilton-Operator leicht zu erkennen ist (wenn Sie sich an Lehren aus der klassischen Elektrodynamik erinnern)

$H = - \omega S_z$,

mit

$\omega = e B/(m_e)$,

was bedeutet, dass der Zeitentwicklungsoperator für diesen Hamiltonoperator wird

$U(t) = \mathrm{exp} (-i H t) = \mathrm{exp} (-i S_z \omega t)$,

was gleich zu sehen ist$D( \hat{z}, \phi)$mit$\phi = \omega t$.

Also, hier ist der Take-Home-Punkt. Ein Elektron, das in einem in z-Richtung zeigenden Magnetfeld gehalten wird, wird kontinuierlich um die z-Richtung (die Richtung von$\vec{B}$) im Laufe der Zeit (seit$\phi= \omega t$). Wir können den Elektronenspin nicht auf die alte Standardweise drehen, in der wir Tische und Stühle drehen, indem wir sie herumbewegen.

Tatsächlich wurde experimentell bestätigt, dass eine Drehung durch$2 \pi~(4 \pi)$gibt unter Verwendung von Neutroneninterferometrie das Negativ des (gleichen) Originalzustands an. Siehe das oben erwähnte Buch für eine strengere theoretische Erklärung und die Erwähnung dieses Experiments.

Tatsächlich können Sie eine tatsächliche Rotation eines Spin-1/2-Teilchens durchführen und die Änderung sehen. Es wurde 1975 mit Neutroneninterferometern durchgeführt:

https://www.nature.com/nature/journal/v294/n5841/abs/294544a0.html