Wie kann man die Bewegung eines Teilchens in der Quantenmechanik verstehen?

Da ich mein ganzes Berufsleben lang mit Elementarteilchen gearbeitet habe, kann ich Ihnen versichern, dass Teilchen eine Flugbahn haben.

Hier ist der Beweis

Ein weiterer Beweis ist die Existenz von Beschleunigern, die die Strahlen erzeugen, die wir gegen Ziele, wie im Bild, oder gegeneinander streuen und die Ergebnisse statistisch untersuchen können. So wurde das Standardmodell der Teilchenphysik aufgebaut, das Flugbahnen untersucht.

Trajektorien werden durch das HUP, das Heisenbergsche Unschärfeprinzip, gespeichert , das bei genügend Schwung immer erfüllt werden kann, wie das Blasenkammerbild zeigt. Innerhalb seiner Bindung liegen die Bindungszustände von Atomen, und da sprechen wir von Orbitalen, nicht von Orbits.

Alles ist quantenmechanisch, und der HUP ist das Maß dafür, ob klassische Konzepte und Mechanik anwendbar sind oder nicht. In Ihrem Beispiel kann das Elektron also in einem kleinen Beschleuniger erzeugt werden und sich mit einer bekannten Flugbahn einem Potentialtopf eines Ions bis zu dem Punkt nähern, an dem die Unbestimmtheit des HUP das Konzept einer Flugbahn zerstört und die Wahrscheinlichkeitsform gilt.

Das würden die meisten Leute sagen$|\Psi(a)|^2$ist die Wahrscheinlichkeitsdichte, dass das Teilchen in einer kleinen Nachbarschaft gefunden würde$a$. Die meisten Leute würden nicht sagen, dass es die Wahrscheinlichkeit ist, dass es sich an diesem Ort befindet . Dies liegt daran, dass dieselbe Art des Denkens (dass es eine Wahrscheinlichkeit hat, eine Eigenschaft zu haben, und dass eine Messung lediglich den Wert dieser bereits vorhandenen Eigenschaft offenbart) Sie in anderen Situationen buchstäblich in Schwierigkeiten bringen wird. Beispielsweise offenbart eine Spinmessung objektiv keinen vorher existierenden Wert einer Komponente eines Vektors. Und tatsächlich verändert eine Spin-Messung objektiv das, was Sie „messen“.

Aber es gibt eine Tradition, die dies tut, und sie hat einen Weg gefunden, dies für die Position funktionieren zu lassen, und sie wird als de Broglie-Bohm (dBB)-Interpretation (oder die Pilotwellentheorie) bezeichnet. Der zu zahlende Preis besteht darin, dass, wenn Sie sagen, dass die Wahrscheinlichkeit für eine tatsächliche Position genau ist, andere sogenannte Messungen nicht nur bereits vorhandene Werte aufdecken können.

Dies liegt daran, dass die Messungen mit der Position korreliert werden können, sodass die Kenntnis der Position die Position dazu zwingt, alles andere zu bestimmen (und der Kontext und die Kalibrierung des genauen Setups können ebenfalls ein Faktor sein, und dies liegt wiederum daran, dass diese mit der Position korrelieren können).

Wenn wir andere Wörter verwenden würden, würde das nicht so seltsam klingen. Wir könnten sie zum Beispiel Spin-Polarisationen statt Spin-Messungen nennen.

Und in der Pilotwellentheorie sind Trajektorien nicht bedeutungslos. Sie sind jedoch nicht das, was Sie beobachten. Sie beobachten durch Interaktionen. Sie kennen also nur die Wechselwirkungen, Sie kennen nicht die Flugbahn.

Wie sollten wir in diesem Sinne die Bewegung eines Teilchens in der Quantenmechanik verstehen?

Es gibt einen Begriff des Wahrscheinlichkeitsstroms (oder der Wahrscheinlichkeitsstromdichte). So berechnen wir zum Beispiel den Bruchteil eines Strahls, der eine Barriere reflektiert oder durchlässt. Sie können sich Stromlinien vorstellen, die diese Strömung als Tangenten haben. Und für die Pilotwellentheorie hat ein Teilchen einen Ort und es folgt einer dieser Stromlinien. Und für alle anderen ist es nur eine Stromlinie von vielen.

Fast niemand verwendet Pilotwellen, da die Trajektorien viel detaillierter sind als nötig ist, um zu berechnen, welcher Bruchteil Ihrer Ergebnisse auf eine bestimmte Weise herauskommt. Aber sie können immer noch über den Wahrscheinlichkeitsstrom sprechen und das meinen sie normalerweise, wenn sie von einer bestimmten Bewegungsrichtung sprechen. Sie glauben einfach nicht buchstäblich, dass es ein Teilchen mit einem Ort gibt. Sie reden nur über Strom.

Sie können also Standorte haben und wenn ja, müssen Sie sie aktualisieren. Die meisten Leute stellen sich keine Orte vor, sprechen aber immer noch über den Strom, sie nennen es einfach einen Wahrscheinlichkeitsstrom, anstatt sich eine Wahrscheinlichkeit vorzustellen, sich irgendwo zu befinden, und dann diese Aktualisierung in der Zeit.

Und Sie hätten ein Problem, wenn Sie glauben würden, dass es xy- und z-Komponenten eines Spin-Vektors gibt und dass die Wechselwirkungen, die wir „Messen der z-Komponente des Spins“ nennen, diesen Wert lediglich passiv offenbaren. Wenn sie also denken, dass sie nicht für die Position existieren, erinnert sie daran, nicht zu glauben, dass sie für Komponenten eines Spinvektors existieren, dann ist das großartig. Es ist großartig zu lernen, keine Fehler zu machen. Und Sie können immer noch alle Frequenzen berechnen, die Sie benötigen, ohne sich vorzustellen, dass Partikel tatsächliche Orte haben und sich bewegen.

Wie sollte man vor diesem Hintergrund intuitiv und mathematisch die Idee der Bewegung eines Teilchens in der Quantenmechanik verstehen?

Sie können sich darüber keine Sorgen machen und sich an Wahrscheinlichkeitsströme halten, sie werden den Fluss der Wahrscheinlichkeit verfolgen, was alles ist, was Sie brauchen. Oder Sie können die Pilotwellentheorie studieren, die Ihnen nicht hilft, neue Vorhersagen zu treffen, und einige dieser Trajektorien sind seltsam. Zum Beispiel ist die Wellenfunktion im Konfigurationsraum definiert, also ist es die Konfiguration, die sich ändert, und daher können sie in vielerlei Hinsicht hochgradig nichtlokal sein.

Ein Quantensystem wird durch ein geeignetes beschrieben$*$- Algebra der Observablen. Die Quantenzustände sind Funktionen der Observablen, die bei Anwendung auf Observablen den Durchschnittswert davon im Zustand ergeben. Also, gegeben ein Observable$A$, und ein Zustand$\omega$,

$$\omega(A)$$ ist die Auswertung von $A$, dh seinen durchschnittlichen Wert auf den Zustand.

Nun entwickelt sich der Zustand (oder äquivalent die Observablen) mit der Zeit. Das bedeutet, dass wir eine Karte haben$\omega_{(\cdot)}$das beschreibt, wie sich der Zustand mit der Zeit ändert. Mit anderen Worten,

$$\omega_t(A)$$ würde den Durchschnittswert von beschreiben $A$zum Zeitpunkt $t$. Wenn wir den Positionsoperator wählen $x$Als Beobachtungsgröße erhalten wir eine Funktion der Zeit, die wir als effektive (gemittelte) Flugbahn bezeichnen können: $$\bar{x}(t)=\omega_t(x)\; .$$ Diese gemittelte Trajektorie kann als Bewegungsbegriff eines QM-Teilchens interpretiert werden. Offensichtlich, $\bar{x}(t)=x_0$es ist keine gute Idee zu sagen, dass ein Teilchen statisch ist (das Teilchen kann sich bewegen, aber im Durchschnitt am selben Ort sein); sondern eine nicht konstante Funktion $x(t)$ist ein guter Hinweis auf die Bewegung eines QM-Teilchens.

Darüber hinaus ist die klassische Flugbahn eigentlich$\bar{x}(t)$, in einem Regime, in dem die Quanteneffekte vernachlässigbar werden.

Um uns mit dem Konzept der Bewegung in der Quantenmechanik zu befassen, müssen wir mit dem wohlbekannten Inkompatibilitätsproblem beginnen, das der Verschmelzung von Quantenmechanik und spezieller Relativitätstheorie innewohnt. Eines der Hauptbeispiele, das diese Inkompatibilität veranschaulichen kann, ist das Raum-Zeit-Diagramm, in dem wohldefinierte Weltlinien verwendet werden, um die Bahnen von Elementarteilchen darzustellen, während die Quantenmechanik die Existenz solcher Weltlinien verbietet.

Um die Quantenmechanik und die Relativitätstheorie in Einklang zu bringen, müssen wir annehmen, dass an jedem Punkt in Raum und Zeit eine freie Teilchenwellenfunktion existiert.

Damit ein Teilchen in den Diagrammen erscheint, muss es durch Interaktion in einem bestimmten Bereich der Raumzeit lokalisiert werden. Nach einer solchen Lokalisierung breitet sich die Wellenfunktion des Teilchens wieder sowohl räumlich als auch zeitlich aus. Somit besteht die Bewegung aus einer aufeinanderfolgenden Reihe von Lokalisierungen entlang der Flugbahn des Teilchens.

Die Hauptschlussfolgerung: Die Bewegung im klassischen Sinne gilt nur für ein räumlich und zeitlich gewissermaßen lokalisiertes Wellenpaket. Dafür kann man die Teilchengeschwindigkeit – die Gruppengeschwindigkeit des Pakets – genau bestimmen und als Folge davon eine Weltlinie konstruieren. Die Bedingung einer solchen Bewegung ist

$$\begin{equation*} \frac{\partial |\psi|^2}{\partial t} \neq 0. \end{equation*}$$

Betrachten wir ein Beispiel.

Für den Grundzustand des Wasserstoffatoms haben wir die Lösung:

$$\begin{equation*}\label{} \psi = \sqrt\frac{1}{\pi}\frac{1}{a^{3/2}}e^{r/a}e^{\frac{i}{\hbar} E t}, \end{equation*}$$ Wo$a$~--- der Bohr-Radius,$E = -\frac{me^2}{2\hbar^2}$.

In diesem Fall$\frac{\partial |\psi|^2}{\partial t} = 0$. Haben wir noch einmal Bewegung bekommen? Nein, natürlich können wir nur mit der einen oder anderen Wahrscheinlichkeit herausfinden, wo sich das Elektron befinden kann. Ja, das Elektron bewegt sich nicht, da es sich in einem stationären Zustand befindet. Und natürlich ist das Paradoxon mit der Strahlung eines Elektrons in der Quantenmechanik auf Anhieb gelöst – da sich das Elektron nicht bewegt, bedeutet das, dass es nicht strahlt.

Ich sende Ihnen ein Zitat von Max Born aus seiner "Atomic Phycisc"

Aus anderer Sicht legt die statistische Interpretation von Wellenfunktionen nahe, wie die vom Atom emittierte Strahlung nach wellenmechanischen Prinzipien berechnet werden kann. In der klassischen Theorie wird diese Strahlung durch das elektrische Dipolmoment fi des Atoms bzw. durch seine zeitliche Änderungsrate bestimmt. Nach dem Korrespondenzprinzip muss dieser Zusammenhang in der Wellenmechanik weiterbestehen. Jetzt das Dipolmoment$\mathbf{p}$lässt sich leicht durch Wellenmechanik berechnen; wenn wir uns an die Analogie zur klassischen Atommechanik halten, ist sie gegeben durch

$$\begin{equation*} \mathbf{p} = e \int \mathbf{r} |\psi|^2 dv =e \int \mathbf{r} \psi_n^*\psi_n dv \end{equation*}$$ wobei r für den Radiusvektor vom Kern zum Integrationspunkt oder Feldpunkt steht. (Wie üblich bezeichnet der Stern den Ersatz durch die konjugiert komplexe Größe.) Das Integral stellt natürlich die Position des „elektrischen Schwerpunkts der elektronischen Wolke“ dar. Nun, wie leicht zu beweisen ist, verschwindet dieses Integral für alle Zustände eines Atoms so dass die Ableitung des Dipolmoments verschwindet und entsprechend!} auch die emittierte Strahlung, dh ein stationärer Zustand strahlt nicht.

In der klassischen Physik haben wir uns immer mit der Bewegung von nicht punktuellen Objekten als Flüssigkeiten und starren Körpern (nennen wir sie Felder) beschäftigt. Die Flugbahn dieser Objekte ist eindeutig keine einzelne Linie. Aus Erfahrung stellen wir jedoch fest, dass solche Felder spezielle Symmetriepunkte haben, in denen sich alle anderen Punkte zu bewegen scheinen. Diese Punkte sind als Massezentrum (oder besser Energiezentrum) bekannt und daher kann die Flugbahn eines Feldes in zwei Teile zerlegt werden. Einer ist der klare Weg des Massenzentrums und der andere ist die Bewegung jedes einzelnen Punktes um ihn herum. In der Quantenmechanik betrachte ich Teilchen immer als Felder, genau wie in der klassischen Mechanik. Sie können diese als Wahrscheinlichkeitsdichtefelder bezeichnen$\Psi(p)=|\psi(p)|^2$, aber ich nenne sie lieber DIE „Partikelverteilung“. Eine solche Verteilung bestimmt die Verteilung jeder anderen Eigenschaft des Teilchens.

^{Einzelpunkt-Interaktionsmuster von Partikeln. Von Dr. Tonomura und Belsazar}

Nun, wenn Partikel volumetrisch sind, warum baut sich dann die Partikelinteraktion mit einem Bildschirm als einzelne Punkte auf, wie im Bild oben? Nun, aus dem gleichen Grund kann man eine ganze Badewanne durch ein einziges Loch entleeren. Tatsächlich könnten wir einen ganzen Ozean aus einem kleinen Loch entleeren, wenn wir dieses Loch bis zum Erdmittelpunkt bohren und dort Platz dafür schaffen könnten. Flüssigkeiten haben 2 Eigenschaften, die sie dazu anfällig machen: 1) Wenn Sie etwas von der Flüssigkeit an einem bestimmten Punkt entfernen und ihre natürliche Form stören, wird Flüssigkeit aus der Umgebung mitgebracht, um ihre ursprüngliche Form wiederherzustellen; 2) Je größer das Gefälle (Entfernung), desto schneller strömt es in diesen Punkt.

Merkmal 2) ist wichtig, weil es bedeutet, dass ein schnell vorbeifliegendes Teilchen eine größere Änderung hat, um seine gesamte Energie in einen bestimmten Punkt zu stecken, bevor es sich zu weit davon entfernt, wenn der Wert seiner Energieverteilung an diesem Punkt hoch genug ist ermöglichen eine große Aufnahme. Das heißt, je höher der Wert der „Flüssigkeitsverteilung“ an einem bestimmten Punkt ist, desto höher ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Teilchen an diesem Punkt stark wechselwirkt, dh .$\Psi(p)$gibt die Wahrscheinlichkeitsdichte an, dass ein Teilchen (stark) in einen bestimmten Punkt wechselwirkt.

Wenn man Teilchen so betrachtet, werden viele Probleme der Quantenphysik trivial. Lassen Sie mich Ihnen einige Beispiele geben:

1. Das Doppelspalt-Experiment : Teilchen passierten beide Löcher , wobei diese eine Umformung des Teilchens bewirkten$\Psi_1$Zu$\Psi_2$. Zum Beispiel von der sphärischen Symmetrie zu Spitzen und Tälern, wodurch sich das Wechselwirkungsmuster auf dem Bildschirm von einem lokalisierten kleinen Punkt in ein Interferenzmuster ändert;
2. Die Unschärferelation : Man kann kein Teilchen in einem unendlich kleinen Volumen finden. Je kleiner das Volumen, das Sie in die „Partikelverteilung“ integrieren, desto größer ist der Brocken des Partikels, den Sie übersehen;
3. Die Nichtbestrahlungsnatur stehender Elektronen in einem Atom : Elektronen (Teilchen) können ihre Form gegen eine äquivalente Menge an Energie (und Impuls) eintauschen, genau wie Sie es tun können, indem Sie eine Feder oder ein Gummiband umformen. Sie können „bewegte Energie“ (kinetische Energie) in eine äquivalente „stehende Energie“ (potentielle Energie) eintauschen. Zum Beispiel sind die Elektronenwolken in den Orbitalen die Elektronen selbst und sie bewegen sich nicht. Wenn sie sich von einer Form in eine andere bewegen, bedeutet dies, dass sie etwas Impuls und Energie eliminieren müssen, die der Differenz dieser Größen von der alten zur neuen Anordnung entspricht.

Dennoch sind 2 Punkte zu klären:

Erstens, warum Partikel immer an einem einzigen Punkt zu interagieren scheinen, selbst wenn$\Psi$an mehreren Stellen gleich hohe Werte haben? Um dies zu beantworten, müssen wir verstehen, dass wir für eine starke Wechselwirkung eine Senke brauchen (andere Teilchen, Felder usw.). Aufgrund der chaotischen Natur und der augenblicklichen Existenz derjenigen an einem bestimmten Punkt erfolgt die Interaktion für den ersten, der zuerst alle notwendigen Dinge sammelt. Mit anderen Worten, bei einem Partikelversenkungswettbewerb nimmt der Gewinner alles.

Zweitens und was noch wichtiger ist, was ist die Natur dieser „Partikelverteilung“, die ich zuvor erwähnt habe? Auf diese Frage habe ich keine Antwort. Daran muss man sich erinnern$\psi$ist ein Spinorfeld. In der klassischen Physik gibt es kein Äquivalent dazu, also liegt es vielleicht einfach an unserer Intuition, uns eine solche Größe vorzustellen, aber im Moment die Wahrscheinlichkeitswellennatur von$\psi$scheint zu funktionieren, und ich möchte das Boot nicht schaukeln.

In Summe:

1. Teilchen haben definierte Trajektorien, die dem Weg ihres „Verteilungszentrums“ entsprechen, auch wenn sie an diesem Punkt möglicherweise nicht stark interagieren, wie es in einem Tal der Fall sein könnte. Dies ist ein ähnlicher Fall wie bei einer starren Hohlkugel in der klassischen Physik;
2. Es scheint, dass hochenergetische freie Teilchen dazu neigen, ihre starke Wechselwirkungswahrscheinlichkeit um ihr „Verteilungszentrum“ zu konzentrieren, wie ich in dieser Frage betont habe, was dazu führt, dass sie sich meistens wie ein Teilchen mit klaren Bahnen und nicht wie eine Welle verhalten.