Welche physikalische Bedeutung haben schwache Erwartungswerte?

Question

Welche physikalische Bedeutung haben schwache Erwartungswerte?

Physik
Betreiber
Quantenmechanik
Messproblem
Quanteninterpretationen

Philipp Jackson

Im Zwei-Zustands-Formalismus von Yakir Aharonov der schwache Erwartungswert eines Operators $A$ ist $\frac{\langle \chi | A | \psi \rangle}{\langle \chi | \psi \rangle}$ . Dies kann bizarre Eigenschaften haben. Wenn $A$ hermitesch ist, kann der schwache Erwartungswert komplex sein. Wenn $A$ ist ein beschränkter Operator, bei dem der Absolutwert seiner Eigenwerte alle begrenzt ist durch $\lambda$ , kann die schwache Erwartung übersteigen $\lambda$ .

Wenn $A = \sum_i \lambda_i P_i$ wo $\{P_i\}_i$ ist ein komplettes orthonormales Beamerset, das einen starken Erwartungswert hat

\frac{\sum_{j} λ_{j} | ⟨ χ | P_{j} | ψ ⟩ |^{2}}{\sum_{ich} | ⟨ χ | P_{ich} | ψ ⟩ |^{2}}

$\frac{\sum_j \lambda_j |\langle \chi |P_j | \psi \rangle|^2}{\sum_i | \langle \chi | P_i | \psi \rangle |^2}$ was auch verwirrend ist, da der Akt der Messung beeinflusst, wofür nachgewählt wird.

Genauer,

| ⟨ χ | ψ ⟩ |^{2} = \sum_{ich, j} ⟨ ψ | P_{ich} | χ ⟩ ⟨ χ | P_{j} | ψ ⟩ \neq \sum_{ich} | ⟨ χ | P_{ich} | ψ ⟩ |^{2}

$|\langle \chi |\psi\rangle|^2 = \sum_{i,j} \langle \psi | P_i| \chi \rangle \langle \chi | P_j | \psi \rangle \neq \sum_i |\langle \chi |P_i|\psi \rangle |^2$ Im Algemeinen.

Ron Maimon

Was passiert, wenn

χ

$\chi$ und

ψ

$\psi$ sind orthogonal?

Strapse

@RonMaimon, es scheint, dass Sie einen beliebig großen schwachen Wert erhalten können, aber in der Grenze der schwachen Kopplung, für die nur der Formalismus gilt, die Erfolgswahrscheinlichkeit bei der Nachauswahlmessung

P \sim {| ⟨ χ | ψ ⟩ |}^{2}

$P\sim\left|\left<\chi|\psi\right>\right|^2$ wird verschwinden.

Antworten (3)

Welche physikalische Bedeutung haben schwache Erwartungswerte?

@RonMaimon, es scheint, dass Sie einen beliebig großen schwachen Wert erhalten können, aber in der Grenze der schwachen Kopplung, für die nur der Formalismus gilt, die Erfolgswahrscheinlichkeit bei der Nachauswahlmessung $P\sim\left|\left<\chi|\psi\right>\right|^2$ wird verschwinden.

Strapse · Answer 1

Lassen Sie uns zuerst diskutieren, was man normalerweise unter "schwacher Messung" versteht. In einem Standard-von-Neuman-Messschema wird die Messapparatur (sog. „Zeiger“) ebenfalls quantenmechanisch behandelt und durch den Zustand beschrieben $\left|\varphi\right>$ . Der Zeiger ist mit dem gemessenen System so gekoppelt, dass die Wechselwirkung hamiltonisch ist $H=gAp\delta(t-t_0)$ , wo $A$ ist die zu messende Observable, und $p$ der Zeigerimpuls. Nach der Interaktion wird die Zeigerposition mit Eigenwerten der Observablen korreliert $A$ :

| ψ ⟩ | φ ⟩ \to e^{- ich g EIN p} | ψ ⟩ | φ ⟩ = \sum a_{ich} | ψ_{ich} ⟩ | φ (x - g a_{ich}) ⟩,

$\left|\psi\right>\left|\varphi\right>\rightarrow e^{-igAp}\left|\psi\right>\left|\varphi\right>=\sum a_i\left|\psi_i\right>\left|\varphi(x-ga_i)\right>,$ Durch Messen der Zeigerposition können wir also Informationen darüber ableiten

a_{i}

$a_i$ . Die Messung ist "stark", wenn

⟨ φ (x - g a_{i}) | φ (x - g a_{k}) ⟩ \sim δ_{i k}

$\left<\varphi(x-ga_i)|\varphi(x-ga_k)\right>\sim\delta_{ik}$ , dh die verschiedenen Zeigerzustände haben eine vernachlässigbare Überlappung. Dies entspricht einer standardmäßigen projektiven Messung (eine schöne Beschreibung finden Sie hier ).

Die Messung wird in der entgegengesetzten Grenze als schwach bezeichnet, wenn die Kopplung schwach genug ist, damit die Zeigerzustände eine große Überlappung aufweisen. Wenn wir nach der Interaktion das System im Zustand nachwählen $\left|\chi\right>$ , der Zeigerzustand ist:

| φ_{χ} ⟩ = ⟨ χ | e^{- ich g EIN p} | ψ ⟩ | φ ⟩ \approx ⟨ χ | ψ ⟩ e^{- ich g {EIN}_{w} p} | φ ⟩,

$\left|\varphi_\chi\right>=\left<\chi\right|e^{-igAp}\left|\psi\right>\left|\varphi\right>\approx\left<\chi|\psi\right>e^{-igA_wp}\left|\varphi\right>,$ wo

A_{w}

$A_w$ ist der schwache Wert.

Der wahre Teil von $A_w$ entspricht Verschiebung der Zeigerkoordinate wie bei der starken Messung:

⟨ x ⟩ = {⟨ x ⟩}_{0} + g R e ({EIN}_{w}),

$\left<x\right>=\left<x\right>_0+g\mathrm{Re}(A_w),$ während der Imaginärteil der Änderung des Zeigerimpulses entspricht :

⟨ p ⟩ = {⟨ p ⟩}_{0} + 2 g ich m ({EIN}_{w}) {v a r}_{p},

$\left<p\right>=\left<p\right>_0+2g\mathrm{Im}(A_w)\mathrm{Var}_p,$ wo

{V a r}_{p} = ⟨ φ | p^{2} | φ ⟩ - {⟨ φ | p | φ ⟩}^{2}

$\mathrm{Var}_p=\left<\varphi|p^2|\varphi\right>-\left<\varphi|p|\varphi\right>^2$ ist die Anfangsvarianz des Zeigerimpulses. Der Beweis für den allgemeinsten Fall kann in diesem Artikel von Jozsa gefunden werden .

Der entscheidende Moment ist die Nachauswahl des Endzustands des Systems: Schwache Werte nehmen zu, wenn der nachgewählte Zustand nahezu orthogonal zum Anfangszustand des Systems wird. Dies kann als eine Art Verstärkung kleiner Zeigerverschiebungen aufgrund der schwachen Wechselwirkung auf Kosten des Verwerfens fast aller Ergebnisse in der Nachauswahl angesehen werden.

Metrisch · Answer 2

Die Voraussetzung für die Gültigkeit schwacher Messungen ist

g a_{ich} | ⟨ χ | P_{ich} | ψ ⟩ | ≪ | ⟨ χ | ψ ⟩ |

$ga_i |\langle \chi | P_i | \psi \rangle | \ll |\langle \chi | \psi \rangle|$ und

g a_{ich} ≪ 1

$ga_i \ll 1$ wobei g die schwache Kopplungsstärke ist und

a_{i}

$a_i$ ist der i ^-te Eigenwert. Die schwache Erwartung kann also nur so groß sein wie

1 / g

$1/g$ maximal.

Larry · Answer 3

Das Problem mit komplexen Erwartungswerten ist leicht behoben. Wenn A hermitesch ist, ersetze $\langle A \rangle$ mit $\Re \left\{\frac{\langle \chi | A | \psi \rangle}{\langle \chi |\psi \rangle}\right\}$ . Wenn nicht hermitesch, $\frac{1}{2}\left[ \frac{\langle \psi | A | \chi \rangle}{\langle \psi |\chi \rangle} + \frac{\langle \chi | A | \psi \rangle}{\langle \chi |\psi \rangle} \right]$ Wird besorgt.

Was Erwartungswerte betrifft, die den höchsten Eigenwert überschreiten, ist dies möglich $\langle \chi |P_i| \psi\rangle$ und $\langle \chi | P_j| \psi \rangle$ entgegengesetzte Vorzeichen haben, z $i\neq j$ , während gleichzeitig $\lambda_i$ und $\lambda_j$ auch gegensätzliche Vorzeichen haben. Dies ist ein Problem, das erweiterten Wahrscheinlichkeiten innewohnt.

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Philipp Jackson

Ron Maimon

Strapse

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Strapse

Metrisch

Larry

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