Gravitationszeitdilatation im Erdmittelpunkt

Ich würde gerne wissen, was mit der Zeitdilatation (relativ zur Oberfläche) im Erdmittelpunkt passiert.

Gibt es eine Möglichkeit, es zu berechnen?

Vergeht die Zeit am Mittelpunkt der Erde schneller?

Ich habe andere Fragen zu diesem Thema gestellt und die Antworten beziehen sich auf:

Δ Φ (Unterschied im Newtonschen Gravitationspotential zwischen den Orten) als direkt verwandt, aber ich denke, diese Gleichung kann nicht darauf angewendet werden, da sie für die Nähe einer Masse, aber nicht innerhalb derselben abgeleitet wurden.

Irgendwelche Hinweise? Vielen Dank

Darf ich vorschlagen, dass Sie sich etwas Zeit nehmen, um über Potenziale in der klassischen Mechanik zu lesen. Das Wegwerfen von Zeilen wie "aber ich denke, diese Gleichung kann nicht darauf angewendet werden, weil sie für die Nähe einer Masse abgeleitet wurden, aber nicht darin" trägt hier nicht zur Verbesserung Ihres Empfangs bei, und diese Probleme werden in jedem Lehrbuch zu diesem Thema behandelt . Oder stellen Sie zumindest Fragen zu dem Thema (Potenzial), das Sie nicht verstehen, anstatt wild zu spekulieren. Bitte.
@dmckee ja, du hast recht, und ich tue es, wann immer ich kann, ich verbringe die Zeit, tiefer zu gehen, aber es gibt glücklicherweise viele interessante Themen, und obwohl ich in der Lage bin, Zweifel zu haben und manchmal sogar eine Antwort zu verstehen , aber (das Leben selbst) gibt nicht so viel Zeit, um sie alle zu studieren, also kann man dank des Internets und Menschen wie allen hier Dinge wissen, die man auf keine andere Weise erreichen kann, im gleichen Sinne helfe ich Menschen in anderen Bereichen, in denen ich kann widmen mehr zeit, danke

Antworten (3)

Die Regel, die ich in einer anderen Frage erwähnt habe, ist der Zeitdilatationsfaktor 1 + Δ Φ / c 2 , gilt hier. Die Ableitung (in verschiedenen Lehrbüchern zu finden) hängt nur von der Annahme ab, dass Felder schwach und Materie nicht relativistisch ist, was beides für die Erde gilt.

Wenn wir die Erde als Kugel mit einheitlicher Dichte modellieren (natürlich nicht wahr, aber das ist mir egal), finden wir das g ( r ) = G M r / R 3 wo R ist der Radius der Erde. So

Δ Φ = G M R 3 ∫ 0 R r d r = G M 2 R .
Das bedeutet, dass
Δ Φ c 2 = G M 2 R c 2 = 1 4 R s R .
Hier R s = 2 G M / c 2 ist der Schwarzschild-Radius, der der Masse der Erde entspricht. Numerisch, R s beträgt etwa 9 mm, und R ist etwa 6400 km, also Δ Φ / c 2 = 3 × 10 − 10 .

Das Zeichen des Effekts ist, dass Uhren langsamer ticken, wenn sie tiefer in der Potentialmulde sind. Das heißt, eine Uhr an der Erdoberfläche tickt 1,0000000003-mal schneller als eine im Zentrum.

Dies scheint ein sehr einfacher Ansatz zu sein, M / R definieren das Verhältnis, eine Art "Dichte", es gibt "eine Größenordnung" (einfach x10) des Unterschieds mit der Antwort von Luboš Motl, aber zumindest antworten beide, dass die Zeit im Inneren der Erde würde langsamer sein als an der Oberfläche
Tatsächlich ist der Unterschied ein Faktor von 3 ( 3 × 10 − 10 vs 10 − 9 ). Der Unterschied liegt daran, dass Lubos die Potentialdifferenz zwischen Zentrum und Unendlichkeit berechnet, während ich die Differenz zwischen Zentrum und Oberfläche berechne. Das ist genau ein Faktor 3.
Entschuldigung, ich hatte verglichen 10 − 10 v s 10 − 9 , deshalb habe ich einen Faktor x10 gesehen, jetzt sehe ich einen Faktor 10/3 = 3,3333.
Ich dachte, wenn die Erde eine gleichmäßig dichte Kugel ist, ist die Schwerkraft im Zentrum Null.
@BrandonEnright: Die Zeitdilatation hängt vom Potenzial ab, nicht vom Feld.
Das Folgende ist eine Anmerkung zu einem Problem, von dem ich weiß, dass Ted es versteht, aber nicht angesprochen hat. Es stellt sich die Frage, ob man die Rotation der Erde berücksichtigen muss. Dieser kinematische Effekt wäre, falls vorhanden, klein im Vergleich zum Zeitdilatationseffekt, da die Rotationsgeschwindigkeit selbst am Äquator klein im Vergleich zur Fluchtgeschwindigkeit ist, d.h. v 2 ≪ Δ Φ . Tatsächlich ist es aus Gründen, die nicht sofort offensichtlich sind, berechtigt, diesen Effekt in allen Breiten zu ignorieren. Der einfachste Weg, dies zu verstehen, ist, dass die Erde ein Ellipsoid mit konstantem Gravitationspotential ist. [...]
[...] Daher gibt es in dem mit der Erde rotierenden Rahmen keine Zeitdilatation zwischen dem Äquator und den Polen. Dies ist ein Punkt, den Einstein in seiner Arbeit über SR aus dem Jahr 1905 bekanntermaßen falsch gemacht hat, als er voraussagte: „Daraus schließen wir, dass eine Frühlingsuhr am Äquator um einen sehr kleinen Betrag langsamer gehen muss als eine genau ähnliche Uhr, die sich am Äquator befindet einer der Pole unter sonst gleichen Bedingungen." Die Breitengradunabhängigkeit der Zeitdilatation wurde empirisch von Alley et al. in den 1970er Jahren verifiziert, indem sie Atomuhren an Bord von Militärflugzeugen nach Grönland flogen und sie später zurückbrachten.

Lieber HDE, es ist nicht schwer, das Gravitationspotential im Erdmittelpunkt abzuschätzen. Natürlich ist es glatt. Lassen Sie mich annehmen, dass die Massendichte der Erde einheitlich ist, was eine OK-Schätzung ist - bis zu Faktoren von zwei oder so.

Die Erdbeschleunigung in der Ferne R aus der Mitte ist G M / R 2 wenn R ist größer als der Erdradius R E . Für kleinere Werte von jedoch R , müssen Sie das Gaußsche Gesetz anwenden

∫ d S → ⋅ g → ∼ G M ich n s ich d e
und bestimmen Sie die Gesamtmasse in einer kleineren Kugel. Weil M ich n s ich d e geht wie R 3 Pro R < R E , und das R 3 wird immer noch durch geteilt R 2 von ∫ d S → , daraus folgt, dass die Gravitationsbeschleunigung im Inneren der Erde ziemlich genau proportional zu ist R :
g ( R ) = g ( R E ) ⋅ R R E
Insbesondere ist die Gravitationsbeschleunigung im Erdmittelpunkt Null und in der Nähe des Erdmittelpunkts würde ein Teilchen wie in einem harmonischen Oszillator schwingen, F → ∼ − k x → .

Es ist auch trivial, die zusätzliche Abnahme des Gravitationspotentials zu berechnen, die Sie erhalten, wenn Sie von der Oberfläche zum Zentrum gehen. An der Oberfläche liegt das Gravitationspotential − G M / R E , wie Sie wissen, weil die Ableitung von − G M / R Über R gibt die richtige Beschleunigung. Das Potenzial wird jedoch noch negativer. Wenn Sie sich integrieren g ( R E ) ⋅ R / R E Über R von 0 zu R E , Sie erhalten g ( R E ) R E / 2 . Dies ist mit negativem Vorzeichen zu nehmen.

Das Potential in der Mitte ist also unter der Annahme von Einheitlichkeit

Φ = − G M R E − g ( R E ) R E 2 = − 3 2 G M R E = − 3 2 g ( R E ) R E
Dieses Gravitationspotential bestimmt auch die Verlangsamung der Zeit. In SI-Einheiten, g ( R E ) = 10 Newton pro Meter und R E = 6 , 378 , 000 . Das Produkt mit der 3 / 2 Faktor hinzugefügt, ist ziemlich genau 10 8 . Teilen Sie es durch c 2 = 10 17 herumkommen 10 − 9 - die relative Rotverschiebung vom Erdmittelpunkt ins Unendliche.

Wenn Sie 1 Milliarde Jahre im Erdmittelpunkt verbringen, wird Ihr Zwillingsbruder außerhalb des Gravitationsfeldes 1 Milliarde und ein Jahr älter. Wenn Sie möchten, können Sie es so interpretieren, dass es gesund ist, im Mittelpunkt der Erde zu leben. Viel Glück.

Eine kleine Anmerkung: Die Frage fragt nach der relativen Zeitdilatation zwischen dem Zentrum und der Oberfläche der Erde, während die Φ Sie berechnen, ist das Potential des Zentrums relativ zur Unendlichkeit. Das erklärt den Unterschied von Faktor 3 zwischen Ihrer Antwort und meiner.

Das MITTELPUNKT der Erde wird nicht mehr Schwerkraft haben, sondern weniger. Dies liegt daran, dass die Hälfte der Masse "über" die Hälfte "unter" liegt (unabhängig von der Ausrichtung) ... Art von weniger g und in unterschiedlichen Richtungen / Vektoren. Die Sache ist, dass die Masse nicht an einer Stelle in der Mitte mit immer mehr g konzentriert ist, je näher man sich der Mitte nähert. Als Sie nach unten tunnelten, würde ein Teil der Masse immer mehr hinter Ihnen sein). Mehr Zeitdilatation auf der Oberfläche ... Wo g stärker ist. Die Zeit würde am Mittelpunkt der Erde nicht langsamer sein.

Die Zeitdilatation hängt vom Potential ab, nicht vom Feld.
Ich verstehe zwar, dass Sie Potenzial als Entfernung von der Quelle meinen und dass es keine Dilatation gibt, es sei denn, dieses Potenzial ist für die beiden Uhren nicht gleich. Ich denke nicht, dass dies ein Punkt der Verwirrung ist, und sehe nicht ein, warum dieser Kommentar besonders relevant ist. Bitte erkläre.
Der Mittelpunkt der Erde hat keine Gravitationsanziehungskraft ... also sollte Ihrer Meinung nach die Zeit dort nicht vergehen.
@udiboy: Nein, das würde bedeuten, dass eine Minkowski-Raumzeit einem Schwarzen Loch entspricht. Seltsame Dualität ... (!)
Gravitationszeitdilatation im Erdmittelpunkt
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