Eigenzustände des halbharmonischen Oszillators [geschlossen]

Die Eigenzustände sind die ungeraden Eigenzustände des harmonischen Oszillators. (Dies folgt aus der Forderung, dass$\psi(0)=0$.)

Wenn wir annehmen, dass die Eigenzustände für den harmonischen Oszillator einen vollständigen Satz für Funktionen bilden$\mathbb{R}$, folgt dann, dass die ungeraden Eigenzustände für ungerade Funktionen eine vollständige Menge bilden$\mathbb{R}$. Da jede Funktion auf dem Halbraum dargestellt werden kann, indem man eine ungerade Funktion darauf beschränkt$\mathbb{R}$zum Halbraum muss folgen, dass die ungeraden Eigenzustände auf dem Halbraum eine vollständige Menge bilden.

Eine (zeitunabhängige) Schrödinger-Gleichung mit einem Potential der Form

$$V(x)=\begin{cases} \infty \quad(x<0)\\ \frac12m\omega^2 x^2\quad (x>0) \end{cases}$$ wird unbedingt haben$\psi(x)=0$als Lösung für$x<0$, da die unendliche Potentialbarriere den Zugriff auf den negativen x-Bereich verhindert.

Für den positiven Teil ist die Schrödinger-Gleichung dieselbe wie das Problem des einfachen harmonischen Oszillators. Um die Lösungen zu finden, können wir also dieselbe Argumentation verwenden, die für das ursprüngliche Problem verwendet wurde, wobei wir darauf achten, die Randbedingung für zu ersetzen$x\rightarrow\infty$mit der Forderung, dass die Wellenfunktion einwärts stetig ist$x=0$, dh:

$$\lim_{x\rightarrow 0^+}\psi(x)=0$$

Wir erinnern uns, dass die Lösungen für das ursprüngliche SHO-Problem waren$|n\rangle\in\mathcal H_{SHO}$so dass:

$$\psi_n(x)\equiv \langle x|n\rangle=\frac1{\sqrt{x_0}\sqrt[4]\pi}\frac1{\sqrt{2^n n!}}H_n(x/x_0)e^{-x^2/2x_0^2}$$ Wo$x_0=\sqrt{\frac\hbar{m\omega}}$ist die charakteristische Länge des SHO, und die$H_n(x/x_0)$sind die Hermite-Polynome, deren Parität durch definiert ist$n$auf die folgende Weise: $$H_n(0)=\begin{cases} 0\quad(\text{$n$ odd})\\ (-1)^{n/2}\frac{n!}{\left(\frac n2\right)!}\quad (\text{$n$ even}) \end{cases}$$

Wir schließen also, dass nur die ungeraden Lösungen des vorherigen Problems die neuen Randbedingungen erfüllen können, also die besten Kandidaten sind, um die neuen zu erstellen, und wir können neue Eigenfunktionen definieren$|\tilde n\rangle$identifizieren sie mit$|2n+1\rangle$bis zu einer Konstante und im rechten Teil der Domäne:

$$\tilde\psi_n(x)\equiv \langle x|\tilde n\rangle=\begin{cases} 0\quad(x<0)\\ \alpha \psi_{2n+1}(x)\quad(x>0)\end{cases}$$ Der Koeffizient$\alpha$wird durch die Normierungsbedingung bestimmt: $$\int_{-\infty}^\infty dx |\tilde\psi_n(x)|^2=|\alpha|^2\int_{0}^\infty dx |\psi_{2n+1}(x)|^2=|\alpha|^2\frac{1}2$$ von denen wir setzen müssen$\alpha=\sqrt2$(Wählen Sie es real nach Konvention), damit endlich

$$\tilde\psi_n(x)=\begin{cases} 0\quad(x<0)\\ \sqrt2 \psi_{2n+1}(x)\quad(x>0)\end{cases}$$

Während der Hilbert-Raum des SHO-Problems von den ungeraden und geraden Eigenfunktionen aufgespannt wurde, wird der Hilbert-Raum beim Halboszillator (im Folgenden HHO) nur von den ungeraden aufgespannt: insbesondere den Leiteroperatoren$a,a^\dagger$wie sie in der SHO definiert wurden, können nicht zur Operatoralgebra des neuen Hilbertraums gehören, da ihre Wirkung einen Vektor bringen würde$|2n+1\rangle\in\mathcal H_{HHO}$in ein$|2n\rangle$oder ein$|2n+2\rangle$welche$\notin\mathcal H_{HHO}$. Ich weiß nicht, ob es eine geeignete Neudefinition gibt, aber vielleicht wurde dieses Thema bereits gründlich untersucht und die Antwort ist bekannt.

Um die letzte Frage zu beantworten: Der Halboszillator ist ein reguläres Sturm-Liouville-Problem, genau wie das SHO, also seine Lösungen (zumindest ihre Einschränkung auf das Positive).$x$Achse) sind garantiert orthogonal und vollständig (vgl. z. B. Arfken pag. 386,$7^{th}$Auflage). Beachten Sie jedoch, dass es sich nicht um einen vollständigen Satz für alle kontinuierlichen Funktionen handelt , die auf definiert werden$\mathbb R$: Sie sind ein vollständiger Satz nur für den Unterraum des Hilbert-Raums$L^2[0,\infty)$durch die Funktionen gebildet$f(x)$so dass$f(0)=0$.