Dimensionsanalyse des metrischen Tensors

Question

Dimensionsanalyse des metrischen Tensors

XXTT

In der Geometrie von GR der metrische Tensor $g$ können die Riemannsche Verbindung und den Krümmungstensor bestimmen, indem sie die räumlichen Ableitungen (bezüglich des 4d-Koordinatensystems) richtig kombinieren.

Ich bin neugierig auf die Dimensionsanalyse des metrischen Tensors.

Nach dem geometrischen Bild von GR ist die Verbindung als Potential mit Energie und der Krümmungstensor mit Kraftstärke verbunden (mit der Masse, um die Verbindung/Krümmung mit Energie/Kraft zu verbinden).

Was ist dann die Dimension des metrischen Tensors? Intuitiv sollte es dimensionslos sein, aber wie hängt seine erste/sekundäre räumliche Ableitung mit Energie/Masse bzw. Kraft/Masse=Beschleunigung zusammen?

Eine weitere Beobachtung stammt von der Darstellung der Lorentz-Gruppe. Womit die Rotation/Boost zusammenhängt $SU(2)$ Und $SL(2)$ Transformationen. Wenn wir die nehmen $SU(2)$ oder $SL(2)$ als Transformationen $U$ auf Quantenzustände, dann sind sie dimensionslos. So kann die Beschleunigung (Boost/Zeit) betrachtet werden

D U / D T = H / ℏ = 1 / T

$dU/dt=H/\hbar=1/t$ Wir erhalten also einen Schub, der dimensionslos ist, also Zeit=Länge und Energie=Masse (dies sind normale Schlussfolgerungen, da wir normalerweise c=1 nehmen ). Der Grund, warum ich die Lorentz-Gruppendarstellung überprüfe, ist, dass der allgemeine metrische Tensor aus der Minkowski-Metrik durch dimensionslose Operation erzeugt wird

G L (4)

$GL(4)$ , also scheint dies zu bestätigen, dass der metrische Tensor dimensionslos sein sollte.

Aber wenn wir zur vorherigen Analyse zurückkehren, wo die räumliche Ableitung des dimensionslosen metrischen Tensors Energie/Masse ergibt , die dann auch dimensionslos ist, da Energie = Masse . Wir erhalten also, dass die räumliche Ableitung eines dimensionslosen Werts immer noch dimensionslos ist.

Irgendetwas stimmt mit meiner Ableitung nicht. Kann jemand helfen, dies zu klären?

Valter Moretti

Offensichtlich

[g] = L^{2}

$[g] =L^2$ da Koordinaten in RG keine Dimension haben und

[d s^{2}] = L^{2}

$[ds^2]=L^2$

XXTT

@Valter Moretti Was ist dann die Dimension des Potenzials und der Krümmung? Wie entsprechen sie dem Feldpotential und der Feldstärke? Danke.

XXTT

Meinen Sie, dass dann die räumliche Ableitung die Dimension nicht ändert, sodass sowohl das Potenzial als auch die Feldstärke dieselbe Dimension haben?

L^{2}

$L^2$ ?

Valter Moretti

Ja, das tue ich, Koordinatenableitungen ändern keine physikalischen Dimensionen.

Parker

@X.Dong Beachten Sie, dass Valter Moretti die Konvention Nr. 2 in der Liste verwendet, die ich in meiner Antwort gebe, was zwar vollkommen akzeptabel, aber nicht die häufigste Wahl ist. Es ist üblicher, Koordinaten in GR mit den Dimensionen anzugeben

L^{1}

$L^1$ .

XXTT

@tparker Ja, danke. Dort ist es einfacher, das Dimensionsproblem zu lösen, indem man die Koordinate dimensionslos nimmt, aber es führt nicht zu einem klaren physikalischen Bild. Ich ziehe es vor, Ihre Konvention Nr. 1 zu verwenden.

XXTT

@tparker Ich bin verwirrt von der Idee, dass

U (4) = G L (4)

$U(4)=GL(4)$ =boost=metrisch,

d U / d t = t^{- 1} = L^{- 1}

$dU/dt=t^{-1}=L^{-1}$ =Beschleunigung=Feldstärke. In GR erhalten wir also die Krümmung aus der Metrik, indem wir die räumliche Ableitung zweimal nehmen, aber im QM-Bild (wobei der Boost als Evolution von Quantenzuständen genommen wird) erreichen wir die Feldstärke, indem wir nur einmal die Ableitung nehmen!

Antworten (2)

Dimensionsanalyse des metrischen Tensors

Offensichtlich $[g] =L^2$ da Koordinaten in RG keine Dimension haben und $[ds^2]=L^2$
@Valter Moretti Was ist dann die Dimension des Potenzials und der Krümmung? Wie entsprechen sie dem Feldpotential und der Feldstärke? Danke.
Meinen Sie, dass dann die räumliche Ableitung die Dimension nicht ändert, sodass sowohl das Potenzial als auch die Feldstärke dieselbe Dimension haben? $L^2$ ?
Ja, das tue ich, Koordinatenableitungen ändern keine physikalischen Dimensionen.
@X.Dong Beachten Sie, dass Valter Moretti die Konvention Nr. 2 in der Liste verwendet, die ich in meiner Antwort gebe, was zwar vollkommen akzeptabel, aber nicht die häufigste Wahl ist. Es ist üblicher, Koordinaten in GR mit den Dimensionen anzugeben $L^1$ .
@tparker Ja, danke. Dort ist es einfacher, das Dimensionsproblem zu lösen, indem man die Koordinate dimensionslos nimmt, aber es führt nicht zu einem klaren physikalischen Bild. Ich ziehe es vor, Ihre Konvention Nr. 1 zu verwenden.
@tparker Ich bin verwirrt von der Idee, dass $U(4)=GL(4)$ =boost=metrisch, $dU/dt=t^{-1}=L^{-1}$ =Beschleunigung=Feldstärke. In GR erhalten wir also die Krümmung aus der Metrik, indem wir die räumliche Ableitung zweimal nehmen, aber im QM-Bild (wobei der Boost als Evolution von Quantenzuständen genommen wird) erreichen wir die Feldstärke, indem wir nur einmal die Ableitung nehmen!

Parker · Answer 1

Das Linienelement $ds^2 = g_{\mu \nu} dx^\mu dx^\nu$ hat die Dimensionen der Länge $^2$ . Es gibt jedoch mehrere unterschiedliche Konventionen für die Verteilung dieser Dimensionen auf die Faktoren:

Einige Leute mögen es, die Metrik dimensionslos zu haben und die Koordinate zu haben $dx^\mu$ haben die Dimension von $L^1$ . Dies ist mein persönlicher Favorit, denn dann können Sie die Dimension der verschiedenen Krümmungstensoren herausfinden, indem Sie einfach zählen, aus wie vielen Raumzeitableitungen sie bestehen (ein Faktor von $L^{-1}$ für jedes Derivat).
Manche Leute haben gerne die Koordinaten $dx^\mu$ dimensionslos, in diesem Fall haben die Metrik und alle Krümmungstensoren die Dimensionen von $L^2$ .
Manche Leute haben gerne unterschiedliche Koordinaten und verschiedene Komponenten der Metrik haben unterschiedliche Dimensionen - zB für die euklidische Metrik $ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2$ , $[r] = L^1$ , $[\theta] = L^0$ , $[g_{rr}] = L^0$ , $[g_{r\theta} = L^1]$ , Und $[g_{\theta \theta}] = [L^2]$ . Auch in diesem Fall haben die unterschiedlichen Komponenten der verschiedenen Krümmungstensoren unterschiedliche Dimensionen.

Egal welche Konvention Sie verwenden, die Dimensionen stimmen am Ende des Tages immer dann, wenn alle Indizes auf physikalisch beobachtbare Lorentz-Skalare heruntergezogen wurden.

Danke für die Antwort. Ich ziehe es vor, Ihrer ersten Idee zu folgen, da sie konventionell ist und hilft, das physische Bild zu klären. Ich verstehe nicht, ob der metrische Tensor dimensionslos ist, wie wir die Dimension des Potentials (Verbindung) und die Dimension der Feldstärke (Krümmung) ableiten können. Könnten Sie bitte helfen, dies zu klären? Warum zum $L^{-1}$ Verbindung wirkt als Potential und die $L^{-2}$ Krümmung wirkt als Feldstärke? Danke.
Oder ich versuche zu verstehen, ob der metrische Tensor einem Dimensionslosen entspricht $GL(4)$ Transformation, und wenn wir diese Transformation als eine allgemeine Operation an einem Quantenzustand (als Erweiterung von unitären Operationen) betrachten, was ist dann die Entsprechung des Potentials und der Krümmung? Welche davon entsprechen dem Hamilton-Operator?
Wenn die $GL(4)$ wird als dimensionsloser Schub genommen ( $L/t$ ), dann der Hamilton-Operator $H/\hbar$ hat eine Dimension von $t^{-1}=L^{-1}$ und es sollte der Beschleunigung (oder Kraft oder Feldstärke geteilt durch Masse) entsprechen. Aber die Krümmung (Feldstärke) sollte eine Dimension von haben $L^{-2}$ aber nicht $L^{-1}$ . Also bin ich verwirrt.
@X.Dong Ich bin kein Experte für die Formulierung von klassischem E & M als U (1) -Faserbündel, aber ich denke, die Verwirrung besteht darin, dass Sie die EM-Messgerätverbindung identifizieren $A_\mu$ mit der Christoffel-Verbindung $\Gamma^\mu_{\nu \rho}$ . Das ist aufgrund der Namensähnlichkeiten sicherlich verständlich, aber ich denke, es ist eigentlich natürlicher, die EM-Gauge-Verbindung zu identifizieren $A_\mu$ mit der GR-Metrik $g_{\mu \nu}$ selbst. (Beachten Sie, dass beide dimensionslos in Einheiten sind, in denen $\hbar = c = 1$ , und beide enthalten eine Eichfreiheit.) Die Krümmung der EM-Eichenverbindung - die Feldstärke ...
$F_{\mu \nu}$ - entspricht der GR Cristoffel-Verbindung $\Gamma^\mu_{\nu \rho}$ . Beide haben Dimensionen $L^{-1}$ , sind eichinvariant und geben die Krümmung der Eichverbindung bzw. die Raumzeit an. Das EM-Materie-Quellfeld $J^\mu$ entspricht dem Materiequellfeld GR $T_{\mu \nu}$ - Beide haben Abmessungen $L^{-2}$ . Es funktioniert also alles – die Metrik ist wie ein Potential und hat Einheiten für Energie/Masse, die Christoffel-Verbindung ist wie die elektromagnetische Feldstärke und hat Einheiten für Kraft/Masse, und der Einstein-Tensor/Spannungs-Energie-Tensor ist wie der Quellstrom .
Genau, das ist meine Verwirrung. Der Messanschluss sollte dem Feldpotential entsprechen, damit die Krümmung die Feldstärke angibt. Das Problem hierbei ist, dass die Verbindung in GR aus der Metrik durch räumliche Ableitungen erhalten wird, sodass sie nicht die gleiche Dimension haben sollten. Das meine ich im GR-Bild, die Stärke wird aus der Metrik erhalten, indem man zweimal Ableitungen nimmt, aber in der QM-Feldstärke ( $H/\hbar$ ) erhält man durch Ableitung von $U=metric$ einmal!
@X.Dong Im GR-Bild ist die "Feldstärke $F_{\mu \nu}$ " entspricht der Christoffel-Verbindung $\Gamma^\mu_{\nu \rho}$ . In beiden Fällen ist dies eine erste Ableitung der "Metrik".
Aber in der Tat $F_{\mu v}$ sollte der Krümmung entsprechen, da es Stärke und abgelegt hat $dF=0$ . Die Skalar-/Vektorpotentiale sollten die Verbindung sein. Wenn $F$ ist die Verbindung, die $dF=0$ führt zu Feldstärke 0.
@X.Dong Ja, ich stimme zu, dass es seltsam ist. Ich weiß die Antwort nicht.
Trotzdem danke für deine Antwort und Diskussion. Ich werde darüber nachdenken.
Ich denke, es könnte der Fall sein, dass meine Annahme das ist $GL(4)$ =boost=Metrik ist nicht korrekt. Da können wir das nur sagen $GL(4)$ =boost ERZEUGT einen metrischen Tensor. Aber dafür haben wir keine Beweise $GL(4)$ IST die Metrik, da wir vom Boost zur Metrik weitere Transformationen benötigen. Also das Verhältnis zwischen $GL(4)$ und die Metrik ist die gleiche wie die Beziehung zwischen der Verbindung und der Metrik. Dann $GL(4)$ kann die Rolle der Verbindung spielen. Ich bin mir nicht sicher, ob dies das Problem lösen kann.
@X.Dong Ich habe eine leichte Umformulierung Ihrer Frage unter physical.stackexchange.com/questions/340371/… gestellt .
@tparker Vielen Dank für die Umformulierung. Ich werde deinen Beitrag verfolgen und sehen, was los ist.
Ich glaube nicht, dass Konvention 1 machbar ist. Es funktioniert nicht einmal für Schwarzschild-Koordinaten. Ich denke, wenn Sie möchten, dass Koordinaten Einheiten haben, müssen Sie zu Konvention 3 gehen. Daher bevorzuge ich 2, da dies die einfachste machbare Konvention ist.
@Dale Es hängt davon ab, was Sie unter "Arbeit" verstehen, aber beim zweiten Nachdenken neige ich dazu, Ihnen zuzustimmen, dass Konvention 1 für allgemeine Koordinatensysteme umständlich ist. Konvention 3 gefällt mir jetzt, weil es (mir) selbstverständlich erscheint, zB kartesische Koordinaten im euklidischen Raum dimensionsmäßig zu halten. Wirklich eine Frage der persönlichen Präferenz.

pglpm · Answer 2

Es gibt immer ein bisschen Verwirrung in Bezug auf Koordinaten und ihre Dimensionen. Aus physikalischer Sicht ist eine Koordinate eine Größe, die jedem Ereignis in einer Region der Raumzeit (der Domäne des Diagramms) zugeordnet ist, so dass die Werte einer Menge solcher Größen die Ereignisse in dieser Region eindeutig identifizieren . Jede Größe reicht aus: die Entfernung von etwas, die seit etwas verstrichene Zeit, ein Winkel – aber auch eine Temperatur oder der Wert eines Feldes. Wir könnten also ein lokales Koordinatensystem haben, in dem die Koordinaten die Dimensionen Länge, Winkel (dh "1"), Magnetfluss und Temperatur haben.

Wie tparker betont , impliziert dies, dass verschiedene Komponenten des metrischen Tensors unterschiedliche Dimensionen haben. Aber jeder Tensor hat eine absolute Dimension, wie Schouten (1989) es nennt. Es ist die Dimension des Tensors als geometrisches Objekt, unabhängig von irgendeinem Koordinatensystem. Es ist die Dimension der Summe

G_{00} D X^{0} \otimes D X^{0} + G_{01} D X^{0} \otimes D X^{1} + \dots \equiv G G .

$g_{00}\;\mathrm{d}x^0 \otimes \mathrm{d}x^0 + g_{01}\;\mathrm{d}x^0 \otimes \mathrm{d}x^1 + \dotsb \equiv \pmb{g}.$

Es gibt verschiedene Möglichkeiten für die absolute Dimension des metrischen Tensors: $\text{length}^2$ , $\text{time}^2$ , usw. Mein Favorit ist $\text{time}^2$ , denn wenn wir eine Uhr von einer Veranstaltung transportieren $E_1$ zu einer Veranstaltung $E_2$ (zeitlich getrennt) entlang eines zeitartigen Weges $s \mapsto c(s)$ , die Uhr zeigt eine verstrichene Zeit (Eigenzeit)

\int_{C} \sqrt{| G G [\dot{C} (S), \dot{C} (S)] |} D S,

$\int_{c} \sqrt{\Bigl\lvert \pmb{g}[\dot{c}(s),\dot{c}(s)] \Bigr\rvert}\; \mathrm{d}s,$ die unabhängig von der Parametrierung ist

s

$s$ . Vorausgesetzt

c

$c$ adimensional zu sein bedeutet das

g g

$\pmb{g}$ Maße haben müssen

{time}^{2}

$\text{time}^2$ . Aber einige Autoren, zB Curtis & al. (1985), definieren die verstrichene Zeit als

\frac{1}{c}

$\frac{1}{c}$ mal das Integral oben, so dass

g g

$\pmb{g}$ hat absolute Dimension

{length}^{2}

$\text{length}^2$ stattdessen. Wie auch immer, der Punkt ist der

g g

$\pmb{g}$ , als intrinsisches geometrisches Objekt, hat eine von Koordinaten unabhängige Dimension.

Beachten Sie, dass $\pmb{g}$ Die absolute Dimension von verursacht Unterschiede in den absoluten Dimensionen von Tensoren, die durch Anheben oder Absenken von Indizes voneinander erhalten werden.

Berücksichtigen Sie bei einem Zusammenhang – unabhängig von einer Metrik – die Wirkung seiner kovarianten Ableitung $\nabla$ auf den Koordinatenvektoren:

\nabla \frac{\partial}{\partial X^{λ}} = \sum_{μ v} Γ^{v}_{μ λ} \frac{\partial}{\partial X^{v}} \otimes D X^{μ} .

$\nabla \frac{\partial}{\partial x^\lambda} = \sum_{\mu\nu} \varGamma{}^{\nu}{}_{\mu\lambda}\; \frac{\partial}{\partial x^\nu}\otimes\mathrm{d}x^{\mu}.$ Damit die Terme in der Summe und auf der linken Seite die gleiche Dimension haben, dient das Christoffel-Symbol

Γ^{ν}_{μ λ}

$\varGamma{}^{\nu}{}_{\mu\lambda}$ Maße haben müssen

K \dim (x^{ν}) \dim (x^{μ})^{- 1} \dim (x^{λ})^{- 1}

$\mathrm{K}\,\dim(x^{\nu})\,\dim(x^{\mu})^{-1}\,\dim(x^{\lambda})^{-1}$ , Wo

K

$\mathrm{K}$ ist willkürlich. Die Wirkung der kovarianten Ableitung besteht somit darin, die Dimension ihres Arguments mit zu multiplizieren

K

$\mathrm{K}$ . Es scheint sehr natürlich zu sein

K = 1

$\mathrm{K}=1$ , sonst hätten wir Probleme mit der Definition des Riemann-Tensors:

R (u u, v v) w w = \nabla_{u u} \nabla_{v v} w w - \nabla_{v v} \nabla_{u u} w w - \nabla_{[u u, v v]} w w,

$R(\pmb{u},\pmb{v})\pmb{w} = \nabla_{\pmb{u}}\nabla_{\pmb{v}}\pmb{w} -\nabla_{\pmb{v}}\nabla_{\pmb{u}}\pmb{w} -\nabla_{[\pmb{u},\pmb{v}]}\pmb{w},$ Wo

\nabla

$\nabla$ erscheint zweimal in zwei Summanden und einmal in einem Summanden.

Daraus folgt, dass der Riemann-Tensor $R{}^\bullet{}_{\bullet\bullet\bullet}$ und der Ricci-Tensor $R_{\bullet\bullet}$ sind adimensional.

Siehe diese Antwort für eine längere Diskussion.

Verweise

Curtis, Miller (1985): Differenzielle Mannigfaltigkeiten und Theoretische Physik (Academic Press); Kerl. 11, Gl. (11.21).
Schouten (1989): Tensor Analysis for Physicists (Dover, 2. Aufl.); Kerl. VI.

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