Streu-, Stör- und asymptotische Zustände in der LSZ-Reduktionsformel

Die erste Frage, die wir uns stellen müssen, lautet: Was ist ein Einteilchenzustand in einer interagierenden Theorie? Es ist vernünftig zu fordern, dass es sich um Zustände handelt, die sowohl Momenteneigenzustände als auch Energieeigenzustände sind. (Tatsächlich sind dies, wie der Hamilton-Operator und der Impulsoperator pendeln, nicht zwei verschiedene Bedingungen.) Weinberg sagt in seinem berühmten Lehrbuch, dass Teilchenzustände diejenigen sind, die sich unter einer irreduziblen Repräsentation der Poincare-Gruppe transformieren, aber wir brauchen keine Aufregung mit der Poincare-Gruppe hier.

Wir werden nur sagen, dass es in der Wechselwirkungstheorie einige einzelne Teilchenzustände gibt, die mit gekennzeichnet sind

woher k ist das Vier-Momentum, und λ ist was auch immer andere Etiketten, die wir für unsere Partikel benötigen. (In dieser Antwort werde ich nur mit einem realen Skalarfeld arbeiten, aber selbst im Fall von Spin-0 kann es noch zusätzliche Daten geben, die unsere Partikel in einer interagierenden Theorie unterscheiden.)

Jetzt wissen wir, dass wir eine Reihe von Impuls- und Energieeigenzuständen haben | λ k⟩ das sind die stabilen Teilchen unserer Theorie. Wir können diese bestimmten Impulszustände nun mit einer Gaußschen Fensterfunktion in Wellenpakete "verwischen" f W das hat einige Momentumunsicherheit κ . Wir werden diese verwischten, ungefähren Energie- und Momenteneigenzustände mit einem Index bezeichnen W für "Fenster".

Wir werden darauf zurückkommen.

Nun das freie Vakuum | 0⟩ von H ^ 0 und das wahre Vakuum | Ω⟩ von H ^ = H ^ 0 + H ^ ich nicht sind sehr unterschiedliche Zustände. Teilchen in der Interaktionstheorie müssen in der Tat so definiert werden, dass sie aus der Wirkung des "Schöpfungsoperators" auf das wahre Vakuum gebildet werden, solange wir richtig definieren, was wir mit dem "Schöpfungsoperator" in der Interaktionstheorie meinen.

Um Partikel zu vernichten, verwenden wir das innere Produkt von Klein Gordon. (Wir unterdrücken ℏ und c .)

Die Motivation, dies zu definieren, ist, dass das innere Produkt von Klein Gordon in der FREE-Theorie ein inneres Produkt zwischen einzelnen Teilchenzuständen ergibt. Wenn wir zwei einzelne Teilchenzustände haben (in der freien Theorie) | Ψ 1 ⟩ und | Ψ 2 ⟩ , wir haben

wobei wir die "Einzelteilchenwellenfunktionen" der Zustände verwendet haben, die durch definiert sind

Die Feinheiten der Freifeldtheorie ergeben sich aus der einfachen Algebra der Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren in Verbindung mit der Tatsache, dass der Vernichtungsoperator das Vakuum vernichtet. Wir werden versuchen, diese Beziehungen mit dem inneren Produkt von Klein Gordon wiederherzustellen. Dazu müssen wir jedoch weit auseinander liegende Wellenpakete verwenden.

Von hier an wird alles in der Interaktionstheorie sein.

Für eine gegebene Funktion ψ Wir definieren die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren, die den dieser Wellenfunktion entsprechenden Zustand "erzeugen", wie folgt.

(In der freien Theorie würde dieser Erzeugungsoperator buchstäblich den Einzelteilchenzustand mit der Einzelteilchenwellenfunktion erzeugen ψ 1 .)

(Was ich über diese Operatoren erwähnen muss, ist ihre zeitliche Entwicklung ein ^ † 1 ( t ) hängt ausdrücklich von einer Zeit ab t , da wir normalerweise die Zeitabhängigkeit so definiert haben, dass e i H ^ t O ^ ( t ′ ) e - Ich H ^ t = O ^ ( t ′ + t ) . Dies ist hier nicht der Fall.)

In der interagierenden Theorie wird der oben definierte Vernichtungsoperator das Vakuum leider nicht vernichten. Wir können jedoch etwas in der Nähe wiederherstellen:

Die Tatsache, dass ∂ t ⟨Ω | ϕ ^ ( t , x ⃗ ) | Ω⟩ = 0 folgt unmittelbar daraus, dass der Vakuumzustand keine Energie hat, so e - Ich H ^ t | Ω⟩ = | Ω⟩ . Jetzt wie wir wollen ⟨Ω | ein ^ 1 t ) | Ω⟩ = 0 für jeden ψ 1 können wir sehen, dass dies nur dann erreicht wird, wenn ⟨Ω | ϕ ^ ( x ) | Ω⟩ = ⟨Ω | ϕ ^ ( 0 ) | Ω⟩ = 0 . Wir gehen davon aus, dass dies der Fall ist.

In der freien Theorie ⟨0 | ein ^ 1 ( t ) a ^ † 2 t ) | 0⟩ = ⟨⟨ 1 | Ψ 2 ⟩ = ( Ψ 1 , ψ 2 ) K G . In einer interagierenden Theorie für jeden ein ^ 1 und Staat | Ψ 2 ⟩ (nicht nur ein einzelner Teilchenzustand) haben wir

Erinnern Sie sich an unsere Einzelteilchenzustände? Wir betrachten nun die "Einzelteilchenwellenfunktion" dieser Zustände. Es müssen nämlich ebene Wellen sein.

woher C λ ist eine Konstante, die davon abhängt λ .

Wir wollen jetzt sehen, was unsere Staaten sind ein ^ † 1 | Ω⟩ haben mit diesen wahren Teilchenwellenpaketen zu tun | λ k⟩ W . Dazu werden wir sehen, was das innere Produkt dieser beiden Zustände ist. Nur aus unserer einfachen obigen Algebra für einen Vernichtungsoperator ein ^ λ 1 k 1 = ( ψ k 1 , ϕ ^ ) K G woher k 2 1 = m 2 λ 1 , wir haben

Wir wünschen uns, dass der Top-Ausdruck ist ∝ δ λ 1 λ 2 δ 3 ( k 1 - k 2 ) und für den unteren Ausdruck ist 0. Wenn dies der Fall wäre, dann der einzige Einzelteilchenzustand ein ^ † k 1 t ) | Ω⟩ würde überlappen mit wäre | λ 1 k 1 ⟩ , und ein ^ k 1 ( t ) könnte das Vakuum immer noch funktionell "auflösen", obwohl wir es behalten müssen W ⟨Λ k | auf der Linken. Definieren ω λ k ≡ ( m 2 λ + k 2 ) 1 2 , wir haben

Der oberste Ausdruck ist nicht ∝ δ λ 1 λ 2 δ 3 W ( k 1 - k 2 ) und der unterste Ausdruck ist nicht 0 . Nehmen wir jedoch κ ≪ | k 1 - k 2 | und auch nehmen t → ± ∞ , Sie sind! Dies hängt von unserer Annahme ab, dass m λ 1 ≠ m λ 2 ob λ 1 ≠ λ 2 . Das e ich t ( … ) Begriff wird wild in beiden Integralen oszillieren, wenn λ 1 ≠ λ 2 Im oberen Integral tritt diese Schwingung nicht auf, wenn λ 1 = λ 2 . Darüber hinaus wird das obere Integral vernachlässigbar sein, es sei denn k 1 = k 2 . Nehmen die f W ( k ) → δ 3 ( k ) und t → ± ∞ limit können wir jetzt schreiben

Diese Eigenschaften sind noch wichtiger als ich es zulasse. Das liegt an den Staaten | λ k⟩ sind so allgemein definiert: Sie sind nur Momentum-Eigenzustände, in die alle zusätzlichen notwendigen Daten gestopft sind λ . Da sie den Impulsoperator diagonalisieren, bilden sie eine Grundlage für unseren gesamten Zustandsraum! Daher können wir aus der ersten Gleichung sofort erkennen, dass

wo wir die Normalisierung gewählt haben ⟨Λ k | λ ′ k ′ ⟩ = C ∗ λ C λ ′ ( 2 π ) 3 ( 2 ω λ k ) δ λ λ ′ δ 3 ( k - k ′ ) . An der zweiten Gleichung können wir das sofort erkennen

Anscheinend verhalten sich unsere asymptotischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren fast genauso wie unsere guten alten Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren aus der freien Theorie!

Ich muss noch eine weitere wichtige Eigenschaft erwähnen, nämlich zwei Erstellungs- / Vernichtungsoperatoren mit unterschiedlichen Eigenschaften λ k Daten werden pendeln. Dies ist eine direkte Folge der Tatsache, dass unsere Erzeugungs- / Vernichtungsoperatoren räumliche Integrale sind, die mit Wellenpaketen gewichtet sind, die zu großen Zeiten räumlich getrennt sind. (Für Betreiber mit gleichem k aber anders λ , wie m λ unterschiedlich ist, breiten sich die Wellenpakete mit unterschiedlicher Geschwindigkeit aus und können sich dennoch trennen.) Beachten Sie, dass die räumliche Trennung eine Eigenschaft von Wellenpaketen ist, nicht jedoch von ebenen Wellen. Dies ist ein weiterer Ort, an dem ebene Wellen als Grenze von Wellenpaketen betrachtet werden müssen, um Ihre Theorie richtig zu verstehen. Tatsächlich pendeln die Bediener nur, wenn sie mit diesem Begrenzungsverfahren definiert wurden.

Wir sind endlich bereit, unsere ein- und ausgehenden Mehrteilchenzustände zu definieren. Da unsere asymptotischen Erzeugungsoperatoren den Grundzustand nur in lokalisierten räumlichen Regionen ändern und jede räumliche Anregung zu Recht als "Teilchenzustand" bezeichnet wird, können wir sagen, dass die Einwirkung einiger weniger auf den Grundzustand einen vollkommen guten Mehrteilchenzustand erzeugt. Wir werden nun unseren Eingang definieren (erstellt um t = - ∞ ) und ausgehend (erstellt um t = + ∞ ) Multipartikel-Asymptosezustände.

Die vier Momente k ich wird Massen haben k 2 ich = m 2 λ ich und nein | λ ich k ich ⟩ darf einem anderen gleich sein. Einige Leute ziehen es vor, neu zu skalieren ϕ ^ um diese zu verstecken C λ Vorfaktoren werde ich aber nicht. Die Natur dieser Vorfaktoren wird viel später untersucht. Es ist wichtig anzumerken, dass die Gesamtimpulse dieser Zustände ungefähr die Summe aller sind k ich und die Energie ist ungefähr die Summe von allem ω λ ich k ich . Dies verleiht der Vorstellung, dass dies "Mehrteilchen" -Zustände sind, mehr Glaubwürdigkeit.

Nachdem wir unsere eingehenden und ausgehenden asymptotischen Multiteilchenzustände erfolgreich definiert und einige wichtige Eigenschaften unserer neu konstruierten asymptotischen Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren abgeleitet haben, haben wir das für die Ableitung der LSZ-Reduktionsformel erforderliche Framework fertiggestellt. Wenn Sie die hier definierten Eigenschaften verwenden, sollten Sie in der Lage sein, die in Srednicki beschriebenen Schritte zu rechtfertigen.

Um Ihren Zweifel zu beantworten 2: Um Zustände mit den richtigen Eigenschaften zu erhalten, mussten es Wellenpakete sein, die in ferner Vergangenheit und Zukunft weit voneinander entfernt sind. Daher sind diese Zustände nur ungefähr Momentum- und Energieeigenzustände (obwohl Sie so nah kommen können, wie Sie wollen). Da es sich nicht um perfekte Energieeigenzustände handelt, wird es zu einer gewissen Zeitentwicklung kommen. Ihre Partikel fangen weit auseinander an, kommen zusammen, interagieren, dann verlassen (verschiedene) Partikel.

TLDR: Wenn Sie die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren richtig definieren und das Klein Gordon-Innenprodukt mit weit auseinander liegenden Wellenpaketen in der Vergangenheit / Zukunft verwenden, erhalten Sie Ihre tatsächlichen Partikelzustände, wenn Sie mit diesen Operatoren im wahren Vakuum arbeiten | Ω⟩ .