Ehrenfest 1931 argumentiert, dass die Anwendung des Spin-Statistik-Theorems auf zusammengesetzte Systeme gültig ist, aber nur als Näherung und unter bestimmten Bedingungen. Leider befindet sich dieser Artikel hinter einer Paywall. Die Zusammenfassung lautet wie folgt:
Aus dem Ausschlussprinzip von Pauli leiten wir die Regel für die Symmetrie der Wellenfunktionen in den Koordinaten des Schwerpunkts zweier gleichartiger stabiler Cluster aus Elektronen und Protonen ab und begründen die Annahme, dass die Cluster der Einstein-Bose- oder Fermi-Dirac-Statistik genügen je nachdem, ob die Anzahl der Teilchen in jedem Cluster gerade oder ungerade ist. Es wird gezeigt, dass die Regel nur dann ungültig wird, wenn die Wechselwirkung zwischen den Clustern groß genug ist, um ihre interne Bewegung zu stören.
Die Kuriosität der Zusammenfassung wird durch das mysteriöse Versäumnis verstärkt, Neutronen zu erwähnen – was durch die Tatsache erklärt wird, dass das Neutron erst im folgenden Jahr experimentell entdeckt wurde. Ziemlich amüsant, dass die American Physical Society immer noch das Urheberrecht an einer so alten Veröffentlichung besitzt, von der einer der Autoren wahrscheinlich durch die Einkommenssteuern meiner Großeltern und Urgroßeltern bezahlt wurde.
Googeln bringt schnell verschiedene lose verbale Charakterisierungen dieses Ergebnisses ohne Beweise zum Vorschein. Kann jemand einen Überblick darüber geben, wie das Argument funktioniert, und möglicherweise eine genauere Aussage darüber, was das Ergebnis wirklich ist?
Einige Quellen scheinen dies als Wigner-Ehrenfest-Oppenheimer (WEO)-Ergebnis oder Ehrenfest-Oppenheimer-Bethe (EOB)-Regel zu bezeichnen. Historisch gesehen scheint Feynman dieses Ergebnis verwendet zu haben, um zu zeigen, dass Cooper-Paare bosonisch sind.
Obwohl ich diese Frage als Quantenfeldtheorie bezeichnet habe und das Spin-Statistik-Theorem relativistisch ist, scheint das Datum von 1931 darauf hinzudeuten, dass dies ein Ergebnis der nichtrelativistischen Quantenmechanik gewesen wäre. Diese Antwort von Achmeteli skizziert ein scheinbar ähnliches relativistisches Ergebnis aus einem Buch von Lipkin.
An der Grenze von Niederenergieexperimenten besagt die EO-Regel, dass die übliche Spin-Statistik-Verbindung gilt, und dies erscheint äußerst plausibel. Wenn nicht, wäre es zu schön, um wahr zu sein: Wir könnten die zusammengesetzte Struktur eines Systems auf beliebig hohe Energien untersuchen, ohne Teilchenbeschleuniger bauen zu müssen.
Bethe 1997 hat folgendes Argument:
Betrachten Sie nun fest gebundene zusammengesetzte Objekte wie Kerne. Dann ist es sinnvoll, nach der Symmetrie der Wellenfunktion eines Systems zu fragen, das viele identische Objekte des gleichen Typs enthält, zB viele He4-Kerne. Diese Symmetrie lässt sich ableiten, indem man sich vorstellt, dass der Austausch zweier Komposite Partikel für Partikel erfolgt. Jeder Austausch von Fermionen ändert das Vorzeichen der Wellenfunktion. Daher ist die Zusammensetzung genau dann ein Fermion, wenn sie eine ungerade Anzahl von Fermionen enthält[...]
Beachten Sie den Qualifizierer „fest gebunden“, der eine Beschränkung auf Niederenergieexperimente impliziert. Die Zusammenfassung von Ehrenfest 1931 scheint zu sagen, dass dies eine notwendige Annahme ist, aber sie wird in der Argumentation von Bethe und Jackiw nie verwendet, und dies legt nahe, dass ihre Argumentation eine zu starke Vereinfachung ist.
Fujita 2009 fasst das Bethe-Jackiw-Argument zusammen, sagt dann aber:
Wir werden später sehen, dass diese Argumente unvollständig sind. Wir stellen fest, dass Feynman diese Argumente verwendet hat, um abzuleiten, dass Cooper-Paare [5] (Pairons) bosonisch sind [6]. Die Symmetrie der Vielteilchen-Wellenfunktion und die Quantenstatistik für Elementarteilchen sind eins zu eins [1]. [...] Für Verbundwerkstoffe gibt es jedoch keine Eins-zu-Eins-Entsprechung, da Verbundwerkstoffe konstruktionsbedingt zusätzliche Freiheitsgrade haben. Wellenfunktionen und zweitquantisierte Operatoren sind wichtige Hilfsquantenvariablen, aber keine Observablen im Sinne von Dirac [1]. Wir müssen die beobachtbaren Besetzungszahlen für das Studium der Quantenstatistik von Verbundwerkstoffen untersuchen. In diesem Kapitel werden wir zeigen, dass die EOB-Regel auf die Bewegung des Massenmittelpunkts (CM) von Verbundwerkstoffen anwendbar ist.
Leider habe ich nur durch ein Schlüsselloch Zugriff auf Fujita, daher kann ich nicht sehen, was die Referenzen sind oder welche Details sie in dieser Vorschau zu Beginn des Kapitels versprechen.
Verwandte: Große Verwirrung mit Fermionen und Bosonen und wie sie sich auf den Gesamtspin des Atoms beziehen
Bethe und Jackiw, Intermediate Quantum Mechanics
P. Ehrenfest und JR Oppenheimer, "Anmerkung zur Statistik der Kerne", Phys. Rev. 37 (1931) 333, http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.37.333 , DOI: 10.1103/PhysRev.37.333
Fujita, Ito und Godoy, Quantentheorie der leitenden Materie: Supraleitung, 2009
Ein SE-Benutzer war so freundlich, mir ein PDF des Papiers zu schicken, also werde ich versuchen, eine Zusammenfassung meines eigenen Verständnisses davon zu geben.
Interessant ist der historische Kontext. Das war, bevor das Neutron experimentell entdeckt wurde, also dachten sie, dass Kerne aus Protonen und Elektronen bestehen. Was wir heute als Kern mit Massenzahl bezeichnen würden und Ordnungszahl , würden sie als ein System bestehend aus beschreiben Protonen plus Elektronen im Kern gebunden, wo Und . (Diese Elektronen sind zusätzlich zu den Elektronen, die sich außerhalb des Kerns befinden.) Dieses Modell gibt die Statistik eines Kerns falsch wieder, wenn ist seltsam, und die Diskrepanz hatte sich in der Spektroskopie von Rotationsbanden symmetrischer zweiatomiger Moleküle wie gezeigt .
Unabhängig davon, ob Sie das archaische Modell des Kerns verwenden oder ein modernes, Sie haben es im Inneren des Kerns mit zwei Arten von Fermionen zu tun. Dies führt zu vielen Komplikationen in der Notation und den Gleichungen, was meiner Meinung nach nicht wirklich entscheidend für den Inhalt dessen ist, was die Leute heute als Ehrenfest-Oppenheimer-Regel bezeichnen würden. Ich denke, alle interessanten Probleme können gesehen werden, wenn nur eine Art von fundamentalem Fermion vorhanden ist, also werde ich diese vereinfachte Version hier skizzieren.
Das Argument scheint, wenn ich es richtig verstehe, wie folgt zu sein. Sie haben zwei identische zusammengesetzte Systeme, die, wenn sie nicht interagieren, durch interne Quantenzahlen beschrieben würden Und und Quantenzahlen Und ihre Schwerpunktbewegungen beschreiben. Unter Vertauschung der Mitglieder der beiden Cluster entsteht die Wellenfunktion sie zu vertreten, muss eine Phase aufnehmen . Wir können eine solche Wellenfunktion aus einer Slater-Determinante machen. Wir erhalten dann ziemlich trivial --
Die Ehrenfest-Oppenheimer-Regel: Wenn die internen Zustände der beiden Cluster gleich sind, , dann unter Vertauschung der Massenschwerpunkte Und , nimmt die Gesamtwellenfunktion eine Phase auf .
Wenn wir nun eine Wechselwirkung zwischen den beiden Clustern einschalten, ist die EO-Regel nicht mehr exakt, und das Fleisch des Papiers soll zeigen, unter welchen Bedingungen sie eine ausreichende Annäherung ist. Die Wellenfunktion F ist kein stationärer Zustand mehr. Die Menge solcher Wellenfunktionen stellt jedoch immer noch eine vollständige Basis dar, sodass wir den tatsächlichen physikalischen Zustand schreiben können als Überlagerung der F's. Dies mischt die Fs, und das Mischen zerstört die Symmetrie unter Austausch von Und . Das Mischen hängt jedoch von Matrixelementen der Form ab
Wo , , dh die inneren Zustände sind unterschiedlich. Die resultierende Mischung ist dann klein, wenn die Energieskala der Wechselwirkung zwischen den beiden Clustern klein ist im Vergleich zu den Energieunterschieden für . Dies ist zum Beispiel eine hervorragende Näherung für die Kerne in einem zweiatomigen Molekül.
Michael
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Emilio Pisanty
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Achmeteli
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