Große Verwirrung mit Fermionen und Bosonen und wie sie sich auf den Gesamtspin des Atoms beziehen

Im Gegensatz zu den vorherigen falschen Antworten, die ich nicht bemerkt hatte, gibt es keine Zweideutigkeit oder Verwirrung über die Bose-Einstein- oder Fermi-Dirac-Statistik für zusammengesetzte Systeme wie Atome.

Ein Teilchen – elementares oder zusammengesetztes Teilchen – das eine gerade Anzahl von elementaren (oder anderen) Fermionen enthält, ist ein Boson; wenn es eine ungerade Zahl enthält, ist es ein Fermion. Bosonen haben immer einen ganzzahligen Spin; Fermionen haben immer einen halbzahligen Spin. Nach dem Spin-Statistik-Theorem ist die Wellenfunktion zweier Bosonen invariant unter ihrem Austausch, aber sie ist antisymmetrisch unter dem Austausch zweier identischer Fermionen. Diese beiden Regeln sind Sätze für Elementarteilchen und unter der Annahme dieses Satzes ist es auch trivial, diese Aussagen für zusammengesetzte Teilchen zu beweisen.

Insbesondere ist bei einem neutralen Atom die Anzahl der Protonen und Elektronen gleich, sodass ihre Gesamtparität gerade ist. Deshalb sind nur Neutronen wichtig. Ein Isotop mit gerader Neutronenzahl ist ein Boson (das ganze Atom: zB Helium-4); ein Isotop mit einer ungeraden Neutronenzahl ist ein Fermion (das ganze Atom: zB Helium-3).

Das bedeutet nicht, dass zusammengesetzte Bosonen dieselben physikalischen Phänomene wie Suprafluidität aufweisen, die wir bei einigen Bosonen beobachten können.

Das magnetische Moment eines geladenen "elementar genug" Teilchens skaliert wie$1/m$wo$m$ist die Masse des Teilchens. Deshalb sind die magnetischen Momente der Protonen, Neutronen und Kerne etwa 1.000-2.000 mal kleiner als die magnetischen Momente der Elektronen. Deshalb sind die Kernspins für das Verhalten des Atoms in einem Magnetfeld weitgehend vernachlässigbar.

Das ist kein Widerspruch, denn die ganzen Atome haben ein viel größeres magnetisches Moment als die Kerne einzeln – wegen der Neutronen: Atome sind in dieser Definition nicht „elementar genug“. Sowohl die Spins der Elektronen als auch ihr Bahndrehimpuls tragen zum magnetischen Moment eines Atoms bei. Außerdem gibt es eine höhere Anzahl von Zuständen, weil ein Atom ein typisches Beispiel für die "Addition mehrerer Drehimpulse" ist. Der Tensorprodukt-Hilbert-Raum kann als direkte Summe von Hilbert-Räumen mit festen Werten des Gesamtdrehimpulses zerlegt werden. Die Entartung und das magnetische Moment dieser Komponenten hängen vom Gesamtdrehimpuls ab, dh von der relativen Orientierung der kernbezogenen und elektronenbezogenen Drehimpulse.

Tatsächlich weisen die Spektrallinien des gesamten Atoms die sogenannte Hyperfeinstruktur auf. Bis zu einer gewissen Näherung kann der Kernspin völlig vernachlässigt werden. Aber wenn die Überlegungen aus dem vorherigen Absatz richtig berücksichtigt werden, wird jede Spektrallinie tatsächlich in mehrere benachbarte (etwa drei Größenordnungen näher beieinander liegende) feinere Spektrallinien aufgeteilt, von denen jede einem anderen Wert des Gesamtwinkels entspricht Impuls des ganzen Atoms (oder äquivalent ein anderer Wert von$\vec J_{\rm electrons}\cdot \vec J_{\rm nucleus}$).

Hier gibt es zwei unterschiedliche Probleme. (1) Ist es eine gute Annäherung, ein bestimmtes zusammengesetztes System als Boson oder als Fermion zu beschreiben? (2) Wenn ja, welche?

Frage Nr. 2 ist die einfache. Das Spin-Statistik-Theorem sagt uns, dass wenn der Spin eine ganze Zahl ist, das Objekt ein Boson ist. Bei einem Atom oder Ion wird dies dadurch bestimmt, ob die Gesamtzahl der Elektronen und Quarks gerade ist.

Frage 1 ist komplizierter. Achmetelis Antwort hat auf der Grundlage allgemeiner Vorstellungen über die Quantenmechanik erklärt, warum die Antwort möglicherweise nein lautet. Ich denke, dass dieses Problem bei einem Atom auf das Energie- / Temperaturregime zurückzuführen ist, mit dem Sie es zu tun haben, und auf die Stärke der Wechselwirkung zwischen dem Kern und den Elektronen (Hyperfeinwechselwirkung). Wenn der Kern überhaupt nicht mit den Elektronen wechselwirken würde, wäre es sinnlos, sie als zusammengesetztes System zu betrachten. Sie interagieren, aber die Interaktion ist sehr schwach; es beträgt$\sim 10^{-4}$eV, oder etwa 1 K in Bezug auf die Temperatur.

Bei Raumtemperatur haben wir es mit Temperaturen zu tun, die hunderte Male höher sind als diese Skala, sodass alle Hyperfeineffekte zu empfindlich sind, um eine Rolle zu spielen. Deshalb unterscheiden sich beispielsweise die Eigenschaften von 3He- und 4He-Gasen nur aufgrund ihrer unterschiedlichen Massen.

Bei Temperaturen unter etwa 1 K beginnen Hyperfeineffekte ins Gewicht zu fallen. Bei diesen Temperaturen unterscheiden sich 3He- und 4He-Flüssigkeiten qualitativ, da 4He ein Boson ist und aufgrund von Effekten analog zur Bose-Einstein-Kondensation eine Superflüssigkeit bildet.

Um dies deutlicher zu machen, kann es hilfreich sein zu beachten, dass es hier zwei unabhängige Temperaturskalen gibt. Die erste ist die im ersten Absatz oben beschriebene, wobei die Temperatur der Stärke der Hyperfeinwechselwirkung entspricht. Nennen wir das$T_{hf}$. Die zweite ist die Temperatur, bei der die De-Broglie-Wellenlänge des Atoms gleich dem typischen Abstand ist$n^{-1/3}$zwischen den Atomen, wo$n$ist die Anzahldichte. Unterhalb dieser Temperatur erwarten wir, dass die Substanz hochgradig quantenmechanisch ist, also nennen wir es$T_q$. Diese Temperatur ist gegeben durch$T_q=\hbar^2 n^{2/3}/2mk$. Für superflüssiges 4He ergibt sich eine Temperatur von etwa 0,4 K. Für Helium sind diese beiden Temperaturen zwar etwa gleich, aber im Prinzip völlig getrennt. Wenn wir einen Effekt der Quantenstatistik sehen wollen, brauchen wir eine Temperatur$\lesssim T_q$. Es kommt vor, dass dies für Helium auch garantiert, dass wir bei Temperaturen sind, die niedrig genug sind, damit der Kern an das System koppelt und die Statistik beeinflusst, aber das ist ein Zufall der Kernphysik, der zufällig magnetische Dipolmomente in einer bestimmten Größenordnung ergibt von Größenordnung.

Im Allgemeinen ist es nicht immer richtig, zusammengesetzte Systeme als elementar zu behandeln. Dies kann eine gute Annäherung sein oder auch nicht. Zum Beispiel können wir in der Kernphysik versuchen, Nukleonen als Elementarteilchen zu behandeln und über Zweikörper-Wechselwirkungen zwischen ihnen zu sprechen, aber das ist chaotisch und beinhaltet Annäherungen, denn wenn ein Nukleon mit einem anderen Nukleon interagiert, sind es nur sechs Quarks, die interagieren. Ebenso ist es nicht immer sinnvoll, Bose- oder Fermi-Statistiken einem zusammengesetzten System zuzuordnen. Bei Temperaturen$\lesssim T_{hf}$, ist es sinnvoll , ein Atom näherungsweise als zusammengesetztes System zu behandeln, dessen Statistik durch seinen Gesamtspin (Kern an Elektron gekoppelt) definiert ist.

In einem Fall wie 4He, in dem der Kern keinen Spin hat, gibt es zwei verschiedene Gründe, warum der Kern die Statistik nicht beeinflusst. Einer ist, dass der Kern einen ganzzahligen Spin hat und das Hinzufügen einer ganzen Zahl zu einer anderen Zahl keinen Einfluss darauf hat, ob es sich um eine ganze oder eine halbe ganze Zahl handelt. Der andere Grund ist, dass ein System ohne Spin kein magnetisches Moment haben kann, also gibt es keine Möglichkeit, es magnetisch an die Elektronen zu koppeln, und deshalb$T_{hf}$ist effektiv null.

[BEARBEITEN] Angeregt durch Lubos Motls Skepsis sah ich mich nach einer allgemeineren Behandlung der grundlegenden Frage um, ob, wann oder in welcher Näherung die Spin-Statistik für zusammengesetzte Systeme gilt. Es stellt sich heraus, dass die klassische Arbeit zu diesem Thema Ehrenfest 1931 ist. Leider ist diese wissenschaftliche Arbeit, die von den Einkommenssteuern meiner Großeltern bezahlt wurde, hinter einer Paywall, aber hier ist die Zusammenfassung:

Aus dem Ausschlussprinzip von Pauli leiten wir die Regel für die Symmetrie der Wellenfunktionen in den Koordinaten des Schwerpunkts zweier gleichartiger stabiler Cluster aus Elektronen und Protonen ab und begründen die Annahme, dass die Cluster der Einstein-Bose- oder Fermi-Dirac-Statistik genügen je nachdem, ob die Anzahl der Teilchen in jedem Cluster gerade oder ungerade ist. Es wird gezeigt, dass die Regel nur dann ungültig wird, wenn die Wechselwirkung zwischen den Clustern groß genug ist, um ihre interne Bewegung zu stören.

Dies macht deutlich, dass die Anwendung des Spin-Statistik-Theorems auf zusammengesetzte Systeme nur eine Annäherung ist. Ich bin mir nicht sicher, weil ich noch keine vollständigere Darstellung des Arguments online gefunden habe, aber die oben zitierte Zusammenfassung scheint mit meiner obigen Analyse von flüssigem 3He und 4He übereinzustimmen. Bei Temperaturen darüber$T_{hf}$ist die Wechselwirkung „groß genug, um die „innere Bewegung“ zu stören“, also die feine Hyperfeinkopplung des Kernspins an die Elektronen.

P. Ehrenfest und JR Oppenheimer, "Anmerkung zur Statistik der Kerne", Phys. Rev. 37 (1931) 333, link.aps.org/doi/10.1103/PhysRev.37.333 , DOI: 10.1103/PhysRev.37.333

Das ist verwirrend genug, um mich dazu zu bringen, ein paar Gleichungen aufzuschreiben. Dies ist ein Erzeugungsoperator für Deuterium:

wo$e^\dagger,p^\dagger,n^\dagger$sind Erzeugungsoperatoren für Elektronen, Protonen und Neutronen mit einer hoffentlich offensichtlichen Notation für Spin- und Impulsindizes.$\psi_{\alpha,\beta,\gamma}(l,p,q;\rho)$ist eine Wellenfunktion, deren detaillierte Form mir egal ist.$\rho$ist ein interner Konfigurationsindex, der Spin, internes Energieniveau usw. umfasst.

Durch Zählen von Fermionen sollte dies ein Fermion sein. Tatsächlich alle Clebsch-Gordon-Koeffizienten (in denen ich mich versteckt habe$\psi$) verschwindet immer dann, wenn der Gesamtdrehimpuls keine halbe ganze Zahl ist, und das Spin-Statistik-Theorem gilt immer noch. Berechnen wir also den Antikommutator:

Das Fleisch ist der Antikommutator der Feldoperatoren. Wenn ich das ausarbeite, finde ich:

die mit einer vielversprechenden Delta-Funktion beginnt (offensichtlicher Notationsmissbrauch hier: Kronecker = Dirac-Delta), sich aber schnell in etwas Schreckliches verwandelt. Der erste Term gibt eindeutig die$\delta_{\mu\rho}\delta_{rk}$wir wollen (bis auf ein Zeichen, bei dem ich mir nicht sicher bin, was ich damit anfangen soll). Die anderen Terme geben Ein- und Zwei-Partikel-Matrizen mit reduzierter Dichte. Im Allgemeinen haben diese nicht-triviale Komponenten außerhalb der Diagonale, die die Korrelation zwischen zwei Partikeln messen, die durch das dritte Partikel induziert werden.

Konzentrieren Sie sich beispielsweise auf den Einelektronenterm (fünfter Term des Antikommutators). Das tun$p',q'$Integrale, Summen und Umordnung von Deltafunktionen ergibt

Wenn wir uns die zweite Delta-Funktion ansehen, sehen wir, dass dieser Begriff allgemein verbreitet ist$k-r$um so viel, wie die Wellenfunktion ausgebreitet ist$l$. Das bedeutet nur, dass das Elektron mit den anderen Teilchen korreliert ist, aber es hat den Effekt, dass der Antikommutator im Impulsraum verteilt wird. Gehen wir zurück zum Ortsraum, werden wir feststellen, dass die Antikommutierungsbeziehung bei kurzen Abständen modifiziert wird, vergleichbar mit der Größe des zusammengesetzten Zustands.

Es ist möglich, dass hier eine Wunderauslöschung stattfindet und einen netten lokalen Antikommutator ergibt, aber es ist für mich nicht offensichtlich und es scheint eher unwahrscheinlich. Aus dieser Berechnung schließe ich also entweder:

• In einer der Annahmen des Spin-Statistik-Theorems ist implizit enthalten, dass man eher von fundamentalen als von zusammengesetzten Objekten spricht, oder
• Ich habe einen Fehler gemacht, bzw
• Das Spin-Statistik-Theorem ist falsch. (Ich schließe diese Möglichkeit nur ein, um sie sofort auszuschließen. ;))

EDIT: Die anderen Antikommutatoren verschwinden:$\left\{D,D\right\}=\left\{D^\dagger,D^\dagger\right\}=0$, aber das Versagen der obigen Antikommutierungsbeziehung reicht aus, dass man den üblichen Fock-Raum nicht aufbauen kann. Vielleicht könnte eine Felddefinition die Algebra reparieren, es ist mir nicht klar ...

Tatsächlich gibt es zwei verschiedene und ungleiche Definitionen von Bosonen. Einerseits werden sie oft als Teilchen mit ganzzahligem Spin definiert, andererseits manchmal als Teilchen, für die es in der Natur nur symmetrische Zustände gibt (siehe zB Diracs "Principles of Quantum Mechanics"). Zusammengesetzte Teilchen, wie Wasserstoffatome, können unter der ersten Definition Bosonen sein, aber nicht unter der zweiten. Die Vertauschungsrelationen für Operatoren der Erzeugung/Vernichtung von Wasserstoffatomen werden von den Antivertauschungsrelationen für die Operatoren der Erzeugung/Vernichtung von Protonen abgeleitet und Elektronen, die Teile von Wasserstoffatomen sind, und diese Kommutierungsbeziehungen stimmen ungefähr mit den Kommutierungsbeziehungen für Operatoren zur Erzeugung/Vernichtung von Bosonen im Grenzbereich niedriger Dichte überein.