Beweis der Zentripetalbeschleunigungsformel (ac=v2/rac=v2/ra_c = v^2/r) für ungleichförmige Kreisbewegung

Die richtige Ableitung der Zentripetalbeschleunigung – ohne die Annahme, dass irgendwelche kinematischen Variablen konstant sind – erfordert ein solides Verständnis der beiden stationären kartesischen Einheitsvektoren$\hat{i}$Und$\hat{j}$sowie die rotierenden polaren Einheitsvektoren$\hat{e}_r$Und$\hat{e}_\theta$. Die kartesischen Einheitsvektoren$\hat{i}$Und$\hat{j}$sind stationär und immer mit der X- bzw. Y-Achse ausgerichtet, während die polaren Einheitsvektoren$\hat{e}_r$Und$\hat{e}_\theta$mit einer Winkelgeschwindigkeit von drehen$\omega=\|\dot{\theta}\|$und zeigen in die Richtungen mit zunehmendem Radius bzw. Winkel. Die beigefügte Grafik unten zeigt die beiden übereinandergelegten Basisvektorpaare.

Der Positionsvektor des Objekts ist offensichtlich definiert als:

$\vec{p}(t)=x\hat{i}+y\hat{j}=rcos(\theta)\hat{i}+rsin(\theta)\hat{j}$,

mit

$\|\vec{p}(t)\|=\sqrt{(rcos{\theta})^2+(rsin{\theta})^2}=\sqrt{r^2(sin^2(\theta)+cos^2(\theta))}=r\sqrt{(1)}=r$

Weniger offensichtlich kann gezeigt werden, dass die polaren Einheitsvektoren$\hat{e}_r$Und$\hat{e}_\theta$kann nur durch die kartesischen Einheitsvektoren ausgedrückt werden$\hat{i}$Und$\hat{j}$und die Winkelstellung$\theta$als,

$\boxed{\hat{e}_r=cos(\theta)\hat{i}+sin(\theta)\hat{j}}$Und$\boxed{\hat{e}_\theta=-sin(\theta)\hat{i}+cos(\theta)\hat{j}}$.

Diese beiden Gleichungen sind äußerst wichtig, da sie der Schlüssel zum Ausdrücken der kartesischen Beschleunigung in Polarkoordinaten sind, von denen einer der Terme unser Wunsch sein wird$v^2/r=\omega^2r$Zentripetalbeschleunigung. In Zukunft ist die Vektorbeschleunigung des Objekts in kartesischen Koordinaten einfach

$\vec{a}(t)=\frac{d^2}{dt^2}\left[\vec{p}(t)\right]=\ddot{x}\hat{i}+\ddot{y}\hat{j}$.

Beginnen mit$x=rcos(\theta)$Und$y=rsin(\theta)$und einmal differenzieren, haben wir

$\boxed{\dot{x}=\dot{r}cos(\theta)-r\dot{\theta}sin(\theta)}$Und$\boxed{\dot{y}=\dot{r}sin(\theta)+r\dot{\theta}cos(\theta)}$.

Nochmals differenzieren, werden wir haben

$\ddot{x}=\ddot{r}cos(\theta)-\dot{r}\dot{\theta}sin(\theta)-\dot{r}\dot{\theta}sin(\theta)-r\frac{d}{dt}\left[\dot{\theta}sin(\theta)\right]$

$=\ddot{r}cos(\theta)-2\dot{r}\dot{\theta}sin(\theta)-r\left[\ddot{\theta}sin(\theta)+{\dot{\theta}}^2cos(\theta)\right]$, so dass

$\boxed{\ddot{x}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)cos(\theta)+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})(-sin(\theta))}$.

Ebenso die y-Beschleunigung$\ddot{y}$wird

$\ddot{y}=\ddot{r}sin(\theta)+\dot{r}\dot{\theta}cos(\theta)+\dot{r}\dot{\theta}cos(\theta)+r\frac{d}{dt}\left[\dot{\theta}cos(\theta)\right]$

$=\ddot{r}sin(\theta)+2\dot{r}\dot{\theta}cos(\theta)+r\left[\ddot{\theta}cos(\theta)-{\dot{\theta}}^2sin(\theta)\right]$, so dass

$\boxed{\ddot{y}=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)sin(\theta)+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})cos(\theta)}$.

Nun müssen wir diese skalaren Ableitungen in unsere Formulierung für die Vektorbeschleunigung einsetzen. In kartesischen Koordinaten ist dies

$\vec{a}(t)=\ddot{x}\hat{i}+\ddot{y}\hat{j}=\{(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)cos(\theta)+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})(-sin(\theta))\}\hat{i}+\{(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)sin(\theta)+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})(cos(\theta))\}\hat{j}$

was in folgende Form umgeformt werden kann:

$\vec{a}(t)=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\{cos(\theta)\hat{i}+sin(\theta)\hat{j}\}+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\{-sin(\theta)\hat{i}+cos(\theta)\hat{j}\}$

Aber wie wir schon gesehen haben, ist das einfach gleich

$\boxed{\boxed{\vec{a}(t)=(\ddot{r}-r\dot{\theta}^2)\hat{e}_r+(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta})\hat{e}_\theta}}$

Wie wir jetzt aus der Durchführung der vollständigen Ableitung erkennen können, gibt es tatsächlich jeweils zwei Komponenten sowohl für die radiale als auch für die tangentiale Beschleunigung. Der$\ddot{r}$Der Ausdruck ist direkt gleich der zweiten Ableitung der Positionsvektorgröße. Der zweite Begriff,$r\dot{\theta}^2$, ist unsere lang gesuchte Zentripetalbeschleunigung $r\dot{\theta}^2=\omega^2r=v^2/r$, und (wie erwartet) zeigt er in die negative radiale Richtung. Die tangentialen Begriffe sind vielleicht etwas weniger intuitiv. Der$r\ddot{\theta}$Begriff ist die Beschleunigung, die immer dann auftritt, wenn der Radius und die Winkelbeschleunigung$\ddot{\theta}$sind beide ungleich Null (stellen Sie sich die tangentiale Beschleunigung einer Turbinenschaufel eines Düsentriebwerks vor, wenn das Triebwerk aufspult). Die letzte Amtszeit$2\dot{r}\dot{\theta}$ist die sogenannte Coriolis- Beschleunigung , die immer dann auftritt, wenn sich Radius und Winkel gleichzeitig ändern. Es entsteht, weil bei einer gegebenen Winkelgeschwindigkeit die jede Sekunde zurückgelegte Bogenlänge mit dem Radius zunimmt (die Tangentialgeschwindigkeit nimmt mit dem Radius zu). Somit hat ein Objekt mit einer gegebenen Winkelgeschwindigkeit unterschiedliche Tangentialgeschwindigkeiten bei unterschiedlichen lokalen Rotationsradien. Ändert sich der Radius mit der Zeit ($\dot{r}\not=0$) und der Winkelgeschwindigkeit$\dot{\theta}$ungleich Null ist, dann ändert sich die Tangentialgeschwindigkeit mit der Zeit, was per Definition eine Tangentialbeschleunigung ist.

Ich skizziere dies und gebe das Endergebnis an, damit das OP den Spaß daran hat, dies selbst herauszufinden. Zukünftige Antwortende, bitte arbeiten Sie das nicht aus

Alles, was Sie tun müssen, ist zuzulassen$\omega(t)$eine Funktion der Zeit sein. Du bekommst extra${\dot \omega} = \alpha$Terme in Ihrer Gleichung, und Sie erhalten ein Endergebnis, das dies aussagt

Wo$\vec a_{T}$ist proportional zu$\alpha r$und zeigt tangential zum Kreis und$a_{C}$ist proportional zu$\frac{v^{2}}{r}$und zeigt radial nach innen.

Die Antwort von Bryson S. ist solide, gründlich und sehr gut, ebenso wie der Hinweis von Jerry Schirmer. Dies ist lediglich eine andere Betrachtungsweise des Problems.

Wir können, wie Jerry Schirmer betont, zwei Komponenten der Beschleunigung betrachten; eine Tangential- und eine Normalkomponente. Beachten Sie, bevor wir beginnen, dass die Geschwindigkeit immer tangential zum Weg zeigt, den ein Teilchen zurücklegt. Dies ist intuitiv leicht zu erkennen (stellen Sie sich vor, Sie fahren auf einer Straße) und kann anhand der Definition der Geschwindigkeit nachgewiesen werden.

$\mathbf a = \frac{d}{dt} \mathbf v = \frac{d}{dt} v \mathbf T = \mathbf T \frac{dv}{dt} + v\frac{d\mathbf T}{dt}$

Nun ist die Krümmung, eine geometrische Eigenschaft von Kurven, wie folgt definiert:$\kappa = |\frac{d\mathbf T}{ds}|$, Wo$s$ist die Bogenlänge einer beliebigen Kurve. Die Krümmung ist in diesem Fall nützlich, weil wir vereinfachen können$\frac{d\mathbf T}{dt}$mit der Kettenregel in$\frac{d\mathbf T}{dt} = \frac{d\mathbf T}{ds} \frac{ds}{dt} = \kappa \frac{d\mathbf T}{ds}$. Nun, mit der Tatsache, dass$\mathbf T$ein Einheitsvektor ist und somit eine konstante Größe hat, können Sie das Skalarprodukt nehmen$\mathbf T$Und$\frac{d\mathbf T}{ds}$und zeigen, dass das Ergebnis Null ist, dh dass$\mathbf T$Und$\frac{d\mathbf T}{ds}$sind senkrecht. Daraus erhalten wir unter Verwendung des Einheitsnormalenvektors (senkrecht zur Tangente und zur konkaven Seite zeigend).$\frac{d\mathbf T}{dt} = v\frac{d\mathbf T}{ds} = v^2 \kappa \mathbf N$. Wir hätten dieses Ergebnis auch erhalten können, indem wir die Frenetschen Gleichungen direkt angewendet hätten.

$\mathbf a = (\frac{dv}{dt})\mathbf T + (v^2 \kappa) \mathbf N$

Nun ist der Krümmungsradius tatsächlich der Kehrwert der Krümmung; Während dies die Definition für nicht kreisförmige Kurven ist, kann dies für Kreise nachgewiesen werden, indem ein Referenzrahmen mit dem Mittelpunkt des Kreises als Ursprung genommen wird, dann der Tangenteneinheitsvektor in seine Komponenten zerlegt und dann geschrieben wird Winkel in Bezug auf die Bogenlänge, dann differenzieren und dann die Größe des resultierenden Vektors finden (wenn ein Beweis gewünscht wird, dann fragen Sie ihn in den Kommentaren).

Von hier bekommen wir

$\mathbf a = (\frac{dv}{dt})\mathbf T + (\frac{v^2}{r}) \mathbf N$

Und von hier aus folgt das gesuchte Ergebnis.

Aus Wikipedia ,

Nehmen wir als Verallgemeinerung des Falls der gleichförmigen Kreisbewegung an, dass die Winkelgeschwindigkeit der Drehung nicht konstant ist. Die Beschleunigung hat jetzt eine tangentiale Komponente, wie im Bild unten gezeigt. Dieser Fall wird verwendet, um eine Ableitungsstrategie basierend auf einem Polarkoordinatensystem zu demonstrieren.

Bildquelle: Wikipedia

Lassen$\textbf{r}(t)$ein Vektor sein, der die Position eines Massenpunktes als Funktion der Zeit beschreibt. Da wir von einer Kreisbewegung ausgehen, lassen wir$\textbf{r}(t) = R·\textbf{u}_r$, Wo$R$ist eine Konstante (der Radius des Kreises) und$\textbf{u}_r$ist der Einheitsvektor, der vom Ursprung zur Punktmasse zeigt. Die Richtung von$\textbf{u}_r$wird beschrieben von$θ$, der Winkel zwischen der x-Achse und dem Einheitsvektor, gemessen gegen den Uhrzeigersinn von der x-Achse. Der andere Einheitsvektor für Polarkoordinaten,$\textbf{u}_θ$steht senkrecht dazu$\textbf{u}_r$und zeigt in Richtung steigend$θ$. Diese polaren Einheitsvektoren können als kartesische Einheitsvektoren in x- und y-Richtung bezeichnet werden$i$Und$j$bzw.

Und

$$\mathbf{u}_{\theta}=-\sin \theta \mathbf{i}+\cos \theta \mathbf{j}$$ Man kann differenzieren, um die Geschwindigkeit zu finden: $$\begin{aligned} \mathbf{v} &=r \frac{\mathrm{d} \mathbf{u}_{\mathrm{r}}}{\mathrm{d} t}=r \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\cos \theta \mathbf{i}+\sin \theta \mathbf{j}) \\ &=r \frac{d \theta}{d t}(-\sin \theta \mathbf{i}+\cos \theta \mathbf{j}) \\ &=r \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t} \mathbf{u}_{\theta} \\ &=\omega r \mathbf{u}_{\theta} \end{aligned}$$ Wo$\omega$ist die Winkelgeschwindigkeit$d \theta / d t$.

Dieses Ergebnis für die Geschwindigkeit stimmt mit den Erwartungen überein, dass die Geschwindigkeit tangential zum Kreis gerichtet sein sollte und dass die Größe der Geschwindigkeit so sein sollte$rω$. Wieder differenzieren, und das merken

Wir finden, dass die Beschleunigung,$\mathbf{a}$Ist:

$$\mathbf{a}=r\left(\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} \mathbf{u}_{\theta}-\omega^{2} \mathbf{u}_{\mathrm{r}}\right)$$ Somit sind die radialen und tangentialen Komponenten der Beschleunigung: $$\mathbf{a}_{\mathrm{r}}=-\omega^{2} r \mathbf{u}_{\mathrm{r}}=-\frac{|\mathbf{v}|^{2}}{r} \mathbf{u}_{\mathrm{r}} \quad \text { and } \quad \mathbf{a}_{\theta}=r \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} \mathbf{u}_{\theta}=\frac{\mathrm{d}|\mathbf{v}|}{\mathrm{d} t} \mathbf{u}_{\theta}$$ Wo$|\mathbf{v}|=r \omega$ist die Größe der Geschwindigkeit (der Geschwindigkeit).

Diese Gleichungen drücken mathematisch aus, dass bei einem Körper, der sich auf einer Kreisbahn mit sich ändernder Geschwindigkeit bewegt, die Beschleunigung des Körpers in eine senkrechte, die Bewegungsrichtung ändernde Komponente (Zentripetalbeschleunigung) und eine Parallele zerlegt werden kann , oder tangentiale Komponente, die die Geschwindigkeit ändert.

Verweise:

• Zentripetalkraft , Wikipedia.