Wie man pythagoräische Tripel bestimmt, die eine Steigung haben, die 1 am nächsten kommt

Damit wirst du es schwer haben. Ihre pythagoreischen Tripel sind eindeutig primitiv. Das bedeutet, dass es natürliche Zahlen gibt$u,v$so dass Ihr sogenanntes Hauptbein gleich ist$u^2-v^2$, das gerade Bein ist gleich$2uv$und die Hypotenuse ist gleich$u^2+v^2$.

Die Tatsache, dass Ihr erstklassiges Bein gleich ist$u^2-v^2=(u-v)(u+v)$, und gleichzeitig bedeutet eine Primzahl, dass wir haben müssen$u-v=1$. Das Umschreiben der obigen Ausdrücke für die drei Seiten unter Verwendung von this ergibt ein erstklassiges Bein der Länge$2v+1$und sogar Beinlänge$2(v^2+v)$. Das Verhältnis zwischen diesen beiden Seiten wird sich immer weiter entfernen$1$während Sie immer größere Primzahlen für Ihre Primzahl wählen.

Als Randnotiz wird die Länge der Hypotenuse immer sein$(v+1)^2+v^2=2(v^2+v)+1$, welches ist$1$mehr als die Länge des geraden Beins. Sie haben dieses Muster wahrscheinlich schon von Ihrem Tisch aus gesehen.

Bei den Primzahlen kann ich nicht viel helfen, aber ich kann helfen, mich einer Steigung von anzunähern$1$in pythagoräischen Tripeln. Wir wollen Tripel wo finden$|A-B|=1$und um das zu tun, lösen wir$A^2+(A\pm1)^2=C^2$für$n$. (Ich erspare Ihnen die Details.) Diese Nummern werden immer seltener, sodass die meisten nur programmgesteuert gefunden werden können.

$$\text{We let }(n=\sqrt{2m^2\pm1}-m)\text{ and select }m,n\text{ whenever n is an integer and }n<m.\text{ We use }\pm\text{in our test because sometimes }A>B\text{ and sometimes }A<B.$$ Dann können wir die folgenden Tripel als erzeugen$f(m,n)$mit der Formel von Euklid. $$f(2,1)=(3,4,5)\quad 0.75$$ $$f(5,2)=(21,20,29)\quad 1.05$$ $$f(12,5)=(119,120,169)\quad 0.991666666666667$$ $$f(29,12)=(697,696,985)\quad 1.0014367816092$$ $$f(70,29)=(4059,4060,5741)\quad 0.999753694581281$$ $$f(169,70)=(23661,23660,33461)\quad 1.00004226542688$$ $$f(408,169)=(137903,137904,195025)\quad 0.999992748578721$$ $$f(985,408)=(803761,803760,1136689)\quad 1.00000124415248$$ $$f(2378,985)=(4684659,4684660,6625109)\quad 0.999999786537337$$ $$f(5741,2378)=(27304197,27304196,38613965)\quad 1.00000003662441$$ $$f(13860,5741)=(159140519,159140520,225058681)\quad 0.999999993716245$$ $$f(33461,13860)=(927538921,927538920,1311738121)\quad 1.00000000107812$$ $$f(80782,33461)=(5406093003,5406093004,7645370045)\quad 0.999999999815024$$ $$f(195025,80782)=(31509019101,31509019100,44560482149)\quad 1.00000000003174$$ $$f(470832,195025)=(183648021599,183648021600,259717522849)\quad 0.999999999994555$$ $$f(1136689,470832)=(1070379110497,1070379110496,1513744654945)\quad 1.00000000000093$$ $$f(2744210,1136689)=(6238626641379,6238626641380,8822750406821)\quad 0.99999999999984$$ $$f(6625109,2744210)=(36361380737781,36361380737780,51422757785981)\quad 1.00000000000003$$ $$f(15994428,6625109)=(211929657785303,211929657785304,299713796309065)\quad 0.999999999999995$$