Wie man die pythagoreische Dreifachformel beweist

Der Ausgangspunkt ist Folgendes zu beachten:$b^2 = c^2-a^2 = (c-a)(c+a)$. Also wenn$b$ist sogar, dann da$(c+a) - (c-a) = 2a$was gerade ist. So$c-a,c+a$sind beide gerade. Dann kannst du setzen$c-a = 2p^2, c+a = 2n^2$. Wenn$b$ist seltsam, dann beides$c-a, c+a$sind seltsam. Damit kannst du schreiben$c-a = k^2, c+a=r^2$. In beiden Fällen werden Sie zur obigen Lösung geführt.

Ableitung der Euklid-Funktion zur Erzeugung von pythagoreischen Tripeln:

Eine Frage zur visuellen pythagoreischen Demonstration erhielt Antworten darauf, wie ein Bild wahrscheinlich zu dieser Idee geführt hat$A^2+B^2=C^2$aber wie kommt man auf Gleichungen für$A,B,\text{ and }C$?

In jedem pythagoreischen Tripel ist ein Bein ungerade, ein Bein ist gerade und die Hypotenuse ist ungerade, wenn es kein gerades Vielfaches eines Primitivs ist.

Beginnen wir mit der geraden Seite und experimentieren. Zum Beispiel$(3,4,5)$wir haben$2X$etwas und das einzige andere$somethings$es könnte sein$2$Und$1$. Das merken wir vielleicht$2^2-1^2=3$und das$2^2+1^2=5$und dass es sich zu erkunden lohnt. Unsere Eingaben für diese 2-Eingabe-Funktion waren eine gerade Zahl und eine ungerade Zahl (2,1) und wir können nicht kleiner sein als$(3,4,5)$also versuchen wir es größer.

Wenn wir lassen$A=2^2-2^2=0$, wir haben bestenfalls einen trivialen Anfang und eine gerade Zahl für$A$wenn wir sowohl ungerade als auch gerade Eingänge verwenden$(m,n)$. Für$f(3,2):$ $A=3^2-2^2=5$,$B=2*3*2=12$, Und$C=3^2+2^2=13$? Es scheint zu funktionieren; jetzt können wir versuchen, es zu beweisen.

Sie können damit beginnen, die natürlichen Zahlen auf einfachste Weise zu vergleichen:$a < b < c < ... < N$, aber ihre Unterschiede werden trivial sein$(c-b= b-a=1)$, also kannst du sie alle quadrieren, ohne ihre Reihenfolge zu verlieren, weil sie alle positive ganze Zahlen sind und ihre Differenzen größer werden.

Fragen Sie sich nun: Wie kann ich diese Zahlen in Gleichungen verwenden, wenn sie durch Ungleichheitszeichen begrenzt sind? Die Antwort ist, eine Zahl hinzuzufügen$n$zum niedrigsten Term, um den nächsten in eine Gleichung wie diese zu bringen:

Damit Sie damit arbeiten können$n=b^2-a^2$indem man die anderen verwirft. Keine Sorge, es wird für alle funktionieren, aber jetzt$n$muss in Bezug auf definiert werden$b^2$Und$a^2$. Sie stellen eine Differenz von Quadraten dar, die meistens kein Quadrat ist, es sei denn, diese$a$Und$b$sind zwei der Pythagoren-Tripel, und das gibt uns einen Hinweis darauf, was als nächstes zu tun ist: Beide Seiten quadrieren, um diese Terme im gleichen Grad zu haben. Ich gehe jetzt schneller vor:

Jetzt ersetzen$n^2$mit diesem Ergebnis, wenn es gleich dieser Differenz der Quadrate ist, führen Sie die notwendigen Transformationen für die Addition durch, und Sie erhalten:

Das sieht aus wie der Satz des Pythagoras, weil die pythagoreischen Tripel diese Gleichung erfüllen müssen, aber:

... sind nur diese Tripel wenn$a$Und$b$sind keine Vielfachen voneinander, mit Ausnahme des trivialen Falls, wenn sie alle Vielfache von 1 sind, was bedeutet, dass sie teilerfremd sein können. Sollten beide gerade sein, hat der Ausdruck einen gemeinsamen Faktor, und sie sind nicht in reduzierter Form. Das ist ein Beweis für später.