Kleine Schwingungen des Doppelpendels

Question

Kleine Schwingungen des Doppelpendels

Pricklebush Tickletush

Aus dem Lagrange habe ich die folgenden Bewegungsgleichungen für das Doppelpendel in 2D. (Die Massen sind unterschiedlich, aber die Längen der beiden Pendel sind gleich.) Let $m_2$ sei die am tiefsten hängende Masse.

$(M_{1} + M_{2}) \ddot{θ_{1}} + 2 M_{2} {\ddot{θ}}_{2} \cos (θ_{2} - θ_{1}) = - 2 M_{2} {\dot{θ}}_{1} {\dot{θ}}_{2} Sünde (θ_{1} - θ_{2}) - (M_{1} + M_{2}) G / l Sünde (θ_{1})$ $(m_1+m_2)\ddot{\theta_1}+2m_2\ddot\theta_2\cos(\theta_2-\theta_1)=\\ -2m_2\dot\theta_1\dot\theta_2\sin(\theta_1-\theta_2)-(m_1+m_2)g/l\sin(\theta_1)$

Und

$M_{2} \ddot{θ_{1}} + 2 M_{2} {\ddot{θ}}_{2} \cos (θ_{2} - θ_{1}) = 2 M_{2} {\dot{θ}}_{1} {\dot{θ}}_{2} Sünde (θ_{1} - θ_{2}) - M_{2} G / l Sünde (θ_{1})$ $m_2\ddot{\theta_1}+2m_2\ddot\theta_2\cos(\theta_2-\theta_1)=\\ 2m_2\dot\theta_1\dot\theta_2\sin(\theta_1-\theta_2)-m_2g/l\sin(\theta_1)$

In der Kleinwinkelnäherung werden diese resp

$(M_{1} + M_{2}) \ddot{θ_{1}} + 2 M_{2} {\ddot{θ}}_{2} = - 2 M_{2} {\dot{θ}}_{1} {\dot{θ}}_{2} (θ_{1} - θ_{2}) - θ_{1} (M_{1} + M_{2}) G / l$ $(m_1+m_2)\ddot{\theta_1}+2m_2\ddot\theta_2= -2m_2\dot\theta_1\dot\theta_2(\theta_1-\theta_2)-\theta_1(m_1+m_2)g/l$

Und

$M_{2} \ddot{θ_{1}} + 2 M_{2} {\ddot{θ}}_{2} = 2 M_{2} {\dot{θ}}_{1} {\dot{θ}}_{2} (θ_{1} - θ_{2}) - θ_{1} M_{2} G / l$ $m_2\ddot{\theta_1}+2m_2\ddot\theta_2= 2m_2\dot\theta_1\dot\theta_2(\theta_1-\theta_2)-\theta_1m_2g/l$ .

Die meisten Quellen haben keine Bestellbedingungen $\dot\theta$ . Dies liegt daran, dass sie die Kleinwinkel-Näherung auf die Lagrange-Funktion anwenden, bevor sie die Ableitungen nehmen, wodurch die Ordnungsbedingungen ignoriert werden $\theta.$ Welche Rechtfertigung haben wir, diese Begriffe abzuschaffen?

Antworten (2)

Kleine Schwingungen des Doppelpendels

AJK · Answer 1

Ich denke, das Problem hier ist, dass Sie in Ihrer "Kleinwinkel-Näherung" ein konsistentes Annäherungsniveau beibehalten müssen. Mit kleinen Winkeln meinen wir typischerweise $\theta_1$ Und $\theta_2$ sind beide in ordnung $\epsilon$ , Wo $\epsilon \ll 1$ . Dann ist die Frage - in welcher Reihenfolge $\epsilon$ willst du die bewegungsgleichungen aufschreiben?

Wenn Sie den Begriff vernachlässigen $\frac{3}{2} \dot\theta_1 \dot \theta_2 (\theta_1 - \theta_2)^2$ im Lagrange sagt man das in Bezug auf die Größe $\epsilon^4$ sind klein im Vergleich zu Begriffen wie $\dot \theta_1^2$ , die von der Größe ist $\epsilon^2$ . In der Bewegungsgleichung erhalten Sie Terme, die sind $\dot \theta_1 \dot \theta_2 (\theta_1 - \theta_2)$ , die von der Größe sind $\epsilon^3$ , im Vergleich zu $\theta_1$ , das ist Größe $\epsilon$ .

Wenn Sie also den zusätzlichen Term in der Lagrange-Funktion vernachlässigen, erhalten Sie die gleiche Bewegungsgleichung, als würden Sie die gesamte Lagrange-Funktion beibehalten und dann Terme mit Größe fallen lassen $\epsilon^3$ .

Diese Art von Argumentation ist ein wenig umständlich und könnte (im Prinzip) explodieren, wenn die Zeitableitungen von $\theta_{1,2}$ waren groß - irgendwann möchten Sie vielleicht einige Bücher über Störungstheorie in einem formelleren Sinne lesen.

An der Grenze des Großen $g$ Ich finde es schwer, das zu kaufen $\dot\theta^2$ ist in Ordnung $\epsilon^2$ . (Im Grunde das, was Sie am Ende Ihrer Antwort sagen.) Ich denke, es fällt mir schwer, das zu sehen, wenn $f(t)$ ist in Ordnung $\epsilon$ dann muss es auch $\dot f(t)$ .
Daraus kann man sicherlich nicht pauschal schließen $f(t)$ Ordnung sein $\epsilon$ dass dasselbe für die Ableitung gilt. Anders sieht es hingegen beim Pendel aus. Nimm einfach ein einfaches Pendel. Die Höhe hängt damit zusammen $\cos \theta$ . Es ist also von Ordnung $\epsilon^2$ . Die entsprechende potentielle Energie wird dann in kinetische Energie umgewandelt. Folglich, $\dot\theta^2$ muss in Ordnung sein $\epsilon^2$ . Dies ist unabhängig von der Größenordnung $g$ . Das ist beim Doppelpendel komplizierter, wird aber im Kleinwinkelfall wieder annähernd richtig.

Trimok · Answer 2

Ich denke, dass die Annäherung auf der Lagrange-Ebene die richtige Methode ist.

Die Lagrange-Funktion ist wichtig, da sie aufgrund des Noether-Theorems einen direkten Einfluss auf Erhaltungsgrößen hat.

Durch die Annäherung auf der Lagrange-Ebene wird sichergestellt, dass die Bewegungsgleichungen und die Lagrange-Gleichung kompatibel und kohärent sind und dass die konservierten globalen Noether-Erhaltungsgrößen tatsächlich leicht aus den Bewegungsgleichungen erhalten werden können.

Kleine Schwingungen des Doppelpendels

Pricklebush Tickletush

Antworten (2)

AJK

Pricklebush Tickletush

mikuszefski

Trimok

Wie funktioniert die Kleinwinkelnäherung für Kosinus?

Lagrange im nicht-trägen Bezugssystem

Wie behandle ich die Lagrange-Funktion bei einem starren Körper?

Kriterien für eine gute Inertialsystem-Approximation

Lagrange für kleine Schwingungen

Warum ist im Wirkungsprinzip die Taylorsche Reihe auf die erste Ordnung beschränkt?

Trägheits- und Nicht-Trägheitsbezugsrahmen

Euler-Lagrange-Gleichung mit logarithmischem Potential

Was ist der Unterschied zwischen Newtonscher und Lagrangescher Mechanik auf den Punkt gebracht?

Warum gelten Saiten und Federn oft als masselos?