Der SEP-Artikel über viele wertvolle Logik macht die folgende Aussage:
Die Einführung von Systemen der MVL durch Łukasiewicz (1920) war zunächst von der (zuletzt erfolglosen) Idee geleitet, den Möglichkeitsbegriff, dh die Modallogik, dreiwertig zu verstehen.
Warum war dies erfolglos? Es scheint fast intuitiv, einen Wert x so zuzuweisen, dass 0 < x < 1, um ein Ereignis zu beschreiben, das möglich, aber nicht wahr oder sicher ist. Wird das nicht bereits in der Wahrscheinlichkeitstheorie gemacht, wenn man Ereignissen aus dem [0,1]-Intervall Wahrscheinlichkeiten zuordnet?
Die dreiwertige Logik von Łukasiewicz hat also drei Wahrheitswerte {1,i,0}. Mit dieser Logik versuchte Łukasiewicz das Problem der künftigen Kontingente zu lösen.
Seine Ansicht ist, dass Aussagen über Vergangenheit und Gegenwart einen unveränderlichen Wahrheitswert haben, wenn sie also wahr sind, sind sie notwendigerweise wahr, wenn sie falsch sind, sind sie notwendigerweise falsch. Zukünftige Kontingente erhalten den Wert i, diese Aussagen sind möglich. Natürlich sind auch zutreffende Aussagen möglich. Wenn wir der Sprache einen Modaloperator ◇ hinzufügen, können wir diese Ideen durch die folgenden Wahrheitstabellen formalisieren.
╔═══╦═══╦
║ A ║◇A ║
╠═══╬═══╬
║ 1 ║ 1 ║
║ i ║ 1 ║
║ 0 ║ 0 ║
╚═══╩═══╩
Wenn Sie nun ◻A als ¬◇¬A definieren, erhalten Sie die Tabelle
╦═══╦═══╔
║ A ║◻A ║
╠═══╬═══╬
║ 1 ║ 1 ║
║ i ║ 0 ║
║ 0 ║ 0 ║
╚═══╩═══╩
Ein Grund, warum dies als Fehler angesehen wird, ist, dass es seltsame Konsequenzen für eine Modallogik hat. Zum Beispiel können Sie in dieser Logik zeigen (nachdem die anderen Wahrheitstabellen und die Gültigkeit definiert wurden), dass ◇A,◇B ⊨ ◇(A & B). Das ist für eine Möglichkeitslogik intuitiv nicht akzeptabel.
Siehe Eine Einführung in die nichtklassische Logik (Priester), Kapitel 7, wo meine Antwort fast wörtlich übernommen wurde. Es enthält auch einen Beweis für die von Bumble erwähnte Behauptung.
Das spezifische Zitat, das Sie zu Łukasiewicz gegeben haben, bezieht sich auf die Tatsache, dass versucht wurde, die intuitionistische Logik als mehrwertige Logik zu verstehen, aber dies scheiterte, weil Gödel in den frühen 1930er Jahren bewies, dass die intuitionistische Logik für kein n n-wertig ist.
Um Ihren letzten Absatz anzusprechen, Wahrheit und Gewissheit sind ganz verschiedene Dinge. Um zu fragen, inwieweit stimmt das? unterscheidet sich von der Frage, wie wahrscheinlich es ist, dass dies wahr ist? Das Problem ist, dass diese oft vermischt werden: Menschen denken, dass, weil es einige Aussagen gibt, von denen sie nicht wissen, ob sie wahr sind oder nicht, eine dreiwertige Logik mit den Werten wahr, falsch und unbekannt verwendet werden kann. Betreten Sie die Verwirrung. Unbekannt (oder unbestimmt oder unbestimmt) ist kein Wahrheitswert: Es ist ein epistemischer Status. Undefiniert ist auch kein Wahrheitswert, sondern das Fehlen eines solchen.
Die Verwirrung kann vermieden werden, indem Wahrheitsgrad und Gewissheitsgrad getrennt behandelt werden. Einer der beliebtesten Ansätze für den Wahrheitsgrad ist die Fuzzy-Logik, die verwendet wurde, um vage Prädikate zu erklären und Sorites Probleme zu erklären. Der Grad der Gewissheit hingegen ist bereits durch Wahrscheinlichkeit abgedeckt, sofern wir Wahrscheinlichkeit erkenntnistheoretisch als Maß für Informationen verstehen.
Es war erfolglos, weil niemand genug Zeit investierte und daran dachte, die Dinge so weit zu entwickeln, dass sie zu brauchbaren Ergebnissen führen können. Und warum hat das niemand gemacht? Vielleicht lag es daran, dass jeder, der genau hinsah, zu dem Schluss kam, dass es sich um eine Sackgasse handelt (oder dass ein Erfolg sehr unwahrscheinlich ist).
Sie haben sich den allerersten Schritt ausgedacht: Weisen Sie einen Wert 0 < x < 1 zu. Was ist nun der zweite Schritt? Wie würden Sie zum Beispiel die Aussagen „X ist ein Mann“ (da bin ich mir nicht sicher), „X ist verheiratet“ (da bin ich mir auch nicht sicher) und „X hat eine Frau“ (was nicht ganz aus dem ersten folgt Aussagen, was dies sicherlich zu einer geeigneten Situation für vielbefolgte Logik machen würde), aber unter Verwendung von Regeln, die nicht erfordern, dass Sie die Aussagen untersuchen, sondern nur ihre Wahrheitswerte?
Es gibt mehrere mögliche Gründe.
1) Es gibt beträchtlichen Widerstand gegen die Ablehnung der „Gesetze“ der Bivalenz und der ausgeschlossenen Mitte. Beispielsweise hängt ein früher und überzeugender Einwand gegen die Verwendung des dritten logischen Werts für die Darstellung zukünftiger Kontingente davon ab, ob das Gesetz der ausgeschlossenen Mitte akzeptiert wird oder nicht.
2) Die technischen Anforderungen von Möglichkeit und Notwendigkeit stehen im Widerspruch zu denen, die traditionell in der Modallogik und Philosophie anerkannt werden. Es gibt andere Schwierigkeiten bei der Interpretation des Systems. Die Lewis-Systeme und ihre Verwandten haben eine solche Akzeptanz erreicht, dass eine Alternative eine deutliche Überlegenheit zeigen muss.
3) In der Lukasewicz-Logik sind verschiedene Schlußregeln der klassischen Logik, insbesondere Modus Ponens und die Transitivitätsregel, keine Tautologien, was die praktische Nützlichkeit dieser Logik ernsthaft einschränkt. Eine akzeptable Theorie der deduktiven Schlussfolgerung unter Verwendung dieser Logik wurde nicht ausgearbeitet.
4) Es wurde bewiesen, dass eine dreiwertige Logik sowohl mit dem Intuitionismus als auch mit der Modallogik, wie sie entwickelt wurden, unvereinbar ist.
Ich habe Grund zu der Annahme, dass keiner dieser Einwände von Natur aus unüberwindbar ist, aber zusammengenommen stellen sie gewaltige psychologische Barrieren für eine ernsthafte Betrachtung der Modallogik auf der Grundlage der dreiwertigen Logik von Lukasiewicz dar.
Konifold