Wie sollte ein Physikstudent Mathematik studieren? [abgeschlossen]

Diese Frage liegt mir sehr am Herzen. Ich glaube, dass es für einen Experimentalisten in Ordnung ist, überhaupt nicht sehr tief in die fortgeschrittene Mathematik einzusteigen. Meistens müssen Experimentatoren jeweils ein bestimmtes Experiment sehr gut verstehen, und es gibt so viele Fähigkeiten, die ein Experimentator braucht, um seine ganze Zeit/Energie darauf zu konzentrieren, sich als Schüler weiterzuentwickeln.

Ich glaube, Experimentatoren sollten ihre physikalische Intuition aus viel Zeit beziehen, die sie im Labor verbringen, während Theoretiker ihre physikalische Intuition aus einem Sinn für „mathematische Schönheit“ im Geiste von Dirac entwickeln sollten.

Theoretiker sollten meiner Meinung nach Mathematik wie Mathematik im Hauptfach studieren und die Physik für eine Weile fast vergessen; Das ist der Punkt, der mir so wichtig ist. Die Sache ist die, dass Mathematik ein so großes Thema ist, und sobald Sie den Fahrplan dessen haben, was für die theoretische Physik wichtig ist; dann braucht es wirklich Jahre des Studiums, um die ganze Mathematik zu lernen. Ich finde es so schlimm, wie viele Physikprofessoren, die selbst Experimentatoren sind, jungen Theoretikern Mathematik unangemessen beibringen. Ich persönlich musste viele Dinge, die ich über Mathematik zu wissen glaubte, verlernen, als ich einen Kurs belegte, der auf Rudins „Prinzipien der Analyse“ basierte.

Beim Mathematikstudium ist es wichtig, dies mit der folgenden Perspektive zu tun

Mathematiker erlauben nutzlose, nicht berechenbare Fantasieobjekte

Mathematiker entscheiden sich oft dafür, in einer Welt zu leben, in der das Auswahlaxiom für Mengen der Größe des Kontinuums gilt. Das ist aus vielen Gründen idiotisch, sogar für sie, aber es ist besonders idiotisch für die Physik. Es gibt einfache intuitive Argumente, die belegen, dass jede Menge ein Volumen oder ein Lebesgue-Maß hat, und sie gehen so:

Wähle aus einer gegebenen Menge S in einer großen Kiste B zufällig Punkte und überlege, wann sie in S landen. Definiere das Maß von S im Grenzfall vieler Würfe als das Volumen von B multipliziert mit dem Bruchteil der Punkte, die in S landen. Wann das funktioniert, und es funktioniert immer, jeder Satz ist messbar.

Diese Definition ist in der Mathematik nicht zulässig, da das Konzept der zufälligen Auswahl eines Punktes eine Begrenzung des zufälligen Prozesses der zufälligen Auswahl der Ziffern erfordert. Der begrenzende Zufallsprozess muss getrennt von den Näherungsprozessen innerhalb der üblichen Mathematik definiert werden, auch wenn die Näherungen fast immer zu einer eindeutigen Antwort konvergieren! Der einzige Grund dafür ist, dass es Axiome von Wahlkonstruktionen nicht messbarer Mengen gibt, so dass das obige Argument nicht durchgehen kann. Dies führt zu vielen umständlichen Konventionen, die das Verständnis hemmen.

Wenn Sie Mathematik lesen, behalten Sie im Hinterkopf, dass jede Menge reeller Zahlen wirklich messbar ist, dass jede Ordinalzahl wirklich zählbar ist (selbst diejenigen, die vorgeben, nicht zählbar zu sein, fallen in tatsächlichen Modellen der Mengenlehre zu zählbaren zusammen) und dass all die fantastischen Ergebnisse der Mathematik aus der Abbildung der reellen Zahlen auf eine Ordnungszahl stammen. Wenn Sie die reellen Zahlen auf eine Ordinalzahl abbilden, tun Sie so, als ob ein mengentheoretisches Modell, das nach dem Skolem-Theorem heimlich zählbar ist, alle reellen Zahlen enthält. Dies bewirkt, dass die Menge der reellen Zahlen heimlich zählbar ist. Dies führt nicht zu einem Paradoxon, wenn Sie sich nicht erlauben, reelle Zahlen zufällig auszuwählen, da alle reellen Zahlen, für die Sie Symbole erstellen können, zählbar sind, da es nur zählbar viele Symbole gibt. Aber, Wenn Sie diese Zählbarkeit aufdecken, indem Sie ein Symbol zulassen, das eine Eins-zu-Eins-Abbildung zwischen einigen Ordnungszahlen und den reellen Zahlen darstellt, erhalten Sie Vitali-Theoreme über nicht messbare Mengen. Diese Sätze könnenniemals die Physik beeinflussen, weil diese "Theoreme" in jeder wirklichen Interpretation falsch sind, sogar innerhalb der Mathematik.

Aus diesem Grund können Sie Folgendes grundsätzlich ignorieren:

• Fortgeschrittene Punktmengentopologie --- Die nicht trivialen Ergebnisse der Punktmengentopologie sind nutzlos, da sie oft die Auswahlstruktur des Kontinuums analysieren. Die trivialen Ergebnisse wiederholen lediglich elementare Kontinuitätseigenschaften in mengentheoretischer Sprache. Das ganze Feld ist bankrott. Das einzig Nützliche daran ist das Studium von Topologien auf diskreten Mengen.
• Elementare Maßtheorie: Während die fortgeschrittene Maßtheorie (Wahrscheinlichkeit) sehr wichtig ist, beschäftigen sich die elementaren Behandlungen der Maßtheorie im Wesentlichen mit der Fantasie, dass es nicht messbare Mengen gibt. Sie sollten niemals beweisen, dass eine Menge messbar ist, weil alle Mengen messbar sind. Ignorieren Sie diesen Teil des Buches und springen Sie direkt zu den fortgeschrittenen Teilen.

Diskrete Mathematik ist wichtig

Für Physiker ist das zunächst etwas schwierig zu verstehen, weil sie sich einbilden, dass für die Physik nur kontinuierliche Mathematik erforderlich sei. Das ist ein Haufen Unsinn. Die eigentliche Arbeit in der Mathematik liegt in den diskreten Ergebnissen, die kontinuierlichen Ergebnisse sind oft nur blasse Schatten viel tieferer kombinatorischer Beziehungen.

Der Grund dafür ist, dass das Kontinuum durch einen einschränkenden Prozess definiert wird, bei dem Sie eine Art diskrete Struktur nehmen und diese vervollständigen. Sie können ein Gitter nehmen und es feiner machen, oder Sie können die Rationalität nehmen und Dedekind-Schnitte betrachten, oder Sie können Dezimalentwicklungen oder Cauchy-Folgen oder was auch immer nehmen. Es ist immer eine diskrete Struktur, die vollendet wird.

Das bedeutet, dass jede Beziehung auf reelle Zahlen wirklich eine Beziehung auf diskrete Strukturen ist, die im Grenzwert wahr ist. Zum Beispiel die Lösung einer Differentialgleichung

Ist wirklich eine asymptotische Beziehung für die Lösungen der folgenden diskreten Näherungen

Der Punkt ist natürlich, dass viele verschiedene diskrete Näherungen dasselbe exakte Kontinuumsobjekt ergeben. Dies wird in der Mathematik als "Existenz einer Kontinuumsgrenze" bezeichnet, in der statistischen Physik jedoch als "Universalität".

Beim Studium von Differentialgleichungen sind die diskreten Strukturen zu elementar, als dass man sich an sie erinnern könnte. Aber in der Quantenfeldtheorie gibt es derzeit keine Kontinuumsdefinition. Wir müssen die Quantenfeldtheorie explizit durch eine Art Gittermodell definieren (dies wird immer wahr sein, aber in Zukunft werden die Leute die zugrunde liegende diskrete Struktur verschleiern, um die universellen asymptotischen Beziehungen zu betonen, wie sie es für Differentialgleichungen tun). Denken Sie also an die Übersetzung zwischen kontinuierlichen und asymptotischen diskreten Ergebnissen und daran, dass die diskreten Ergebnisse wirklich die grundlegenderen sind.

Also lerne so viel wie möglich:

• Graphentheorie: insbesondere Ergebnisse im Zusammenhang mit der Erdos-Schule
• Diskrete Gruppentheorie: Das ist auch wichtig, obwohl die fortgeschrittenen Teile nie auftauchen.
• Kombinatorik: Die asymptotischen Ergebnisse sind wesentlich.
• Wahrscheinlichkeit: Dies ist am schwierigsten zu empfehlen, weil die Literatur so verschleiert ist. Aber was können Sie tun? Du brauchst es.

Studieren Sie keine mathematischen Versionen von Dingen, die zuerst in der Physik entwickelt wurden

Die Mathematiker haben es nicht gut gemacht, die in der Physik entwickelte Mathematik in Mathematik zu übersetzen. Daher können die folgenden Bereiche der Mathematik ignoriert werden:

• Allgemeine Relativitätstheorie: Lesen Sie die Physiker, ignorieren Sie die Mathematiker. Sie haben nichts zu sagen.
• Stochastische Prozesse: Lesen Sie die Physiker, ignorieren Sie die Mathematiker. Sie verstehen Pfadintegrale nicht wirklich, also haben sie nichts zu sagen. Die Nützlichkeit für die Finanzierung hat sich nachteilig ausgewirkt, wenn die Bücher absichtlich verschleiert wurden, um elementare Ergebnisse zu verschleiern. Alle Ergebnisse sind irgendwo in der Physikliteratur in der nützlichsten Form zu finden.
• Quantenfelder: Lesen Sie die Physiker, insbesondere Wilson, Polyakov, Parisi und diese Generation. sie haben das Problem wirklich gelöst. Die Mathematiker sind nutzlos. Connes-Kreimer sind eine Ausnahme von dieser Regel, aber sie erwecken Ergebnisse von Zimmermann wieder zum Leben, von denen ich glaube, niemand außer Zimmermann hat sie jemals verstanden. Atiyah/Segal über topologische Felder ist ebenfalls wichtig, und Kac könnte genauso gut Physiker sein.

Physik ist die Wissenschaft von Dingen, die tot sind. Keine Logik.

Es gibt viele Ergebnisse in der Mathematik, die die allgemeine Natur einer Berechnung analysieren. Diese Berechnungen sind lebendig, sie können so komplex sein, wie Sie möchten. Aber die Physik interessiert sich für die tote Welt, Dinge, die eine einfache Beschreibung in Form einer kleinen Berechnung haben. Dinge wie das Sonnensystem oder ein Salzkristall.

Es macht also keinen Sinn, Logik/Berechnung/Mengenlehre in der Physik zu studieren, Sie werden es nicht einmal anwenden. Aber das halte ich für kurzsichtig, denn Logik ist eines der wichtigsten Gebiete der Mathematik und um ihrer selbst willen wichtig. Leider ist die Logikliteratur undurchsichtiger als jede andere, obwohl Wikipedia und Mathe-Überlauf helfen.

• Logik/Berechnung/Mengenlehre: Sie werden es nie benutzen, aber trotzdem studieren.

Offensichtlich ist dies keine vollständige Liste, und mein Ziel ist lediglich, Ihnen einen Hinweis auf den grundlegenden Stoff zu geben, den Sie frühzeitig abdecken müssen. Während Sie fortschreiten, werden Sie möglicherweise spezialisierter und Ihr Fachgebiet kann bestimmte mathematische Techniken und Formalismen aufweisen, die ihm eigen sind.

Ein Großteil der in der Physik verwendeten Mathematik ist kontinuierlich. Dies reicht von der elementaren Infinitesimalrechnung zur Lösung einfacher Newtonscher Systeme bis hin zur Differentialgeometrie in der Allgemeinen Relativitätstheorie. Vor diesem Hintergrund ist es im Allgemeinen notwendig, die Infinitesimalrechnung, die reelle und komplexe Analysis, die Fourier-Analyse usw.

Darüber hinaus haben viele physische Transformationen sehr schöne Gruppenstrukturen, und daher ist es eine sehr gute Idee, die grundlegende Gruppentheorie zu behandeln.

Schließlich ist eine starke lineare Algebra eine Voraussetzung für viele der Techniken, die in den anderen Bereichen, die ich oben erwähnt habe, verwendet werden, und ist auch äußerst wichtig bei der Matrixformulierung der Quantenmechanik. Das Finden von Grundzuständen diskreter Systeme (z. B. Spinnetzwerke) bedeutet, den minimalen Eigenwert und den entsprechenden Eigenvektor des Hamilton-Operators zu finden.

Die Frage ist viel zu weit gefasst. Verschiedene Bereiche der Physik erfordern unterschiedliche Niveaus (und Bereiche) der Mathematik.

Eine allgemeine Liste ist hier: Gerard 't Hooft, Theoretical Physics as a Challenge .

Ein Ansatz ist auch, Mathematik zu lernen, wenn man ihr in der Physik begegnet (*), und jedes Mal darauf zu achten, dass man etwas mehr lernt, als nur zu verstehen (*).

Lesen Sie The Road to Reality: ein vollständiger Leitfaden zu den Gesetzen des Universums von Roger Penrose. Es ist ein praktischer Begleiter für Physikstudenten im Grund- und ersten Studienjahr. | Die ersten sechzehn Kapitel bieten – (in Gliederungsform) – das gesamte mathematische Material, das für ein Grundstudium in (insbesondere theoretischer) Physik benötigt wird – geschrieben von einem führenden theoretischen Physiker (dh es bietet die „Tiefe“, die Sie sonst nicht hätten finden Sie in Lehrbüchern oder anderen standardisierten Lesematerialien).

Aus demselben Grund muss ein Literaturstudent Englisch lernen. Anders kann man sich nicht ausdrücken. Längst sind die Zeiten vorbei, in denen man physikalische Phänomene mit Worten hätte beschreiben können; Faraday tat es. Zu dieser Zeit waren unerklärliche physikalische Phänomene auf menschlicher Ebene und die menschliche Sprache reichte aus. Heute gehen die Grenzen der Physik weit über Meter, Kilogramm, Ampere und wenige eV hinaus. Zufällig haben wir entdeckt, dass das Universum viel seltsamer ist, als wir uns jemals hätten vorstellen können, und so greifen wir auf den einzigen Ausdruck von absoluter Bedeutung zurück - Mathematik. Ich habe den Drang zu erläutern, warum Mathematik so effizient die Realität malt, aber normalerweise werde ich des platonischen Extremismus beschuldigt, und da ich so wenig Zeit habe, werde ich es unterlassen.

Kurz gesagt, sie sollte es beiläufig zum Vergnügen und intensiv nach Bedarf studieren.

Ich finde, dass viele der Leute, die ich in wissenschaftlichen und technologischen Bereichen kenne, die versuchen, alles zu studieren, abgelenkt werden und am Ende nur obskure und relativ weniger nützliche Themen studieren. Obwohl es einige interessante Korrelationen liefern könnte, bevorzuge ich den Ansatz des Arztes: "Wenn Sie Hufschläge hören, suchen Sie nach Pferden, nicht nach Zebras." Tatsache ist, dass die Brot- und Butterrechnung, Algebra, Trigonometrie und Geometrie den durchschnittlichen Wissenschaftler sehr weit bringen werden. Wenn Sie zu fortgeschritteneren Gebieten übergehen, sind Differentialgleichungen und lineare Gleichungen ebenfalls sehr hilfreich. Lernen Sie diese Felder gut genug, um sie regelmäßig zu verwenden, und lernen Sie gerade genug über andere Zweige der Mathematik, um deren Nutzen erkennen zu können, falls dies erforderlich sein sollte.

PS: Wenn Sie nach Empfehlungen zu Büchern suchen, ist mein Favorit Mathematical Methods for Physics and Engineering von Riley, Hobson und Bence.

Ich werde eine sehr allgemeine und kurze Antwort auf die Frage geben, wie man Mathe studiert usw.

Überspringen Sie die Beweise, aber studieren Sie die Definitionen sorgfältig.

Jetzt möchte ich eine sehr allgemeine Bemerkung hinzufügen, die mir einmal eine weise Frau gemacht hat: Sie hat nie etwas durch Lesen gelernt (eine Zeitung oder ein Buch), außer wenn sie es las , um ein Problem zu lösen, das sie hatte . Aber ich möchte nicht, dass Sie denken, dass dies impliziert, dass Sie niemals etwas lesen sollten, es sei denn, Sie haben ein Problem im Sinn ....

Relevant für das OP ist: „Was ist der Unterschied zwischen dem Mathematikstudium, wie es ein Mathematiker tun würde, und dem, wie ein Physiker es tun würde? Ich werde nur zwei klassische Zitate geben. Nicolas Bourbaki (und André Weil) wiederholten das oft gesagte Sprichwort:

« Depuis les Grecs, qui dit mathématiques dit demonstration »

Aber Dirac sagte es Harish-Chandra

„ Ich interessiere mich nicht für Beweise, sondern nur für das, was die Natur tut .“