Was ist eigentlich Zeitdilatation?

Einführung

Diese Antwort verwendet Ideen, die in den Antworten auf Was ist Zeit, fließt sie und wenn ja, was ihre Richtung definiert? , also müssen Sie wirklich die Antworten auf diese Frage lesen, bevor Sie diese angehen.

Das Schlüsselkonzept, das Sie brauchen, um die Zeitdilatation zu verstehen, ist, dass eine Uhr den Zeitfluss nicht misst – Zeit fließt nicht in der Relativitätstheorie (siehe die Frage Was ist Zeit…? für mehr dazu). Eine Uhr misst Entfernungen. Um zu erklären, was ich meine, verwende ich die Analogie des Kilometerzählers in Ihrem Auto. Wenn Sie irgendwann anfangen$A$und bis zu einem bestimmten Punkt fahren$B$Dann sagt Ihnen der Kilometerzähler, wie weit Sie sich im Weltraum bewegt haben. Die Änderung des Kilometerstands ist also die Entfernung im Raum$A-B$gemessen entlang der Route, die Sie genommen haben. Die Uhr in Ihrem Auto misst den zeitlichen Abstand zwischen den Raumzeitpunkten$A$und$B$dh die Änderung der Uhr misst die Anzahl der Sekunden zwischen dem Verlassen des Punktes$A$und am Punkt ankommen$B$, und die Anzahl der Sekunden wird auch entlang der Route gemessen , die Sie in der Raumzeit zurückgelegt haben . Dieser letzte Punkt ist wichtig, denn wie wir sehen werden, hängt die zeitliche Entfernung, die Sie zurücklegen, von Ihrer Route ab, genau wie die zurückgelegte Entfernung im Raum.

Der Grund, warum wir die Zeit als Entfernung behandeln müssen, liegt darin, dass es in der Relativitätstheorie keine eindeutige Unterscheidung zwischen Zeit und Raum gibt. Sie können die Raumzeit in drei räumliche Dimensionen und eine Zeitdimension aufteilen, aber ein anderer Beobachter könnte diese Aufteilung auf andere Weise vornehmen, und Sie beide würden sich nicht darauf einigen, was Zeit und was Raum ist. In der Relativitätstheorie müssen wir die Zeitdimension genauso behandeln wie die Raumdimensionen. Es ist nur eine Koordinate, die (im Prinzip) läuft$-\infty$zu$\infty$genau wie die$x$,$y$und$z$Koordinaten laufen von$-\infty$zu$\infty$. Siehe Was ist Zeit...? Frage nach mehr dazu.

Der Punkt von all dem ist, dass es uns eine sehr spezifische Definition der Zeitdilatation gibt. Wenn zwei verschiedene Beobachter den Abstand zwischen zwei Raumzeitpunkten messen$A$und$B$dann ist dieser Abstand ein Vierervektor mit Zeit- und Raumkomponenten. Zeitdilatation bedeutet einfach, dass verschiedene Beobachter sich über die Größe der Zeitkomponente dieser Entfernung nicht einig sind, dh sie werden eine unterschiedliche Zeitdauer zwischen den beiden Punkten beobachten.

Ein Beispiel für Zeitdilatation

Um zu erklären, warum dies geschieht, nehmen wir ein konkretes Beispiel. Angenommen, ich beobachte Sie, wie Sie sich bewegen, dann ist Ihre Flugbahn in meinen Koordinaten eine Linie in der Raumzeit. Da ich keine vierdimensionalen Graphen zeichnen kann, nehmen wir an, Sie bewegen sich nur entlang der$x$Achse, also muss ich nur Ihre Flugbahn einzeichnen$x$und$t$(Zeit). Angenommen, Ihre Flugbahn sieht so aus:

Abbildung 1

Also fangen wir beide an dem Punkt an$A$. Da ich in diesen Koordinaten stationär bin, verläuft meine Flugbahn gerade nach oben auf der Zeitachse$B$, während Ihre Flugbahn (die rote Linie) zunimmt$x$, hält dann an, dreht sich um und kommt zu mir zurück. Die Distanz, die ich in der Zeit zurückgelegt habe, ist einfach die Distanz, die auf der Zeitachse nach oben verläuft$A$zu$B$– nennen wir diese Distanz$t_{ab}$. Die Entfernung, die Sie in der Zeit zurückgelegt haben, ist, nun, mal sehen, wie man das berechnet.

Abbildung 1 zeigt, was in meinem Koordinatensystem passiert, aber jetzt zeichnen wir das gleiche Diagramm in Ihrem Koordinatensystem, dh die Koordinaten, in denen Sie im Ursprung stationär bleiben und ich mich bewege:

Figur 2

In deinen Koordinaten bin ich es, der sich bewegt (dargestellt durch die schwarze Linie) und du bleibst stationär, also verläuft deine Flugbahn (die rote Linie) in deinen Koordinaten direkt auf der Zeitachse und die Entfernung, die du bewegst, ist nur die zeitliche Entfernung dazwischen$A$und$B$. Wir nennen diese Distanz$\tau_{ab}$.

Nun, das ist der Punkt, an dem die Dinge seltsam werden, aber eigentlich ist es der einzige Punkt, an dem die Dinge seltsam werden, also wenn du diesen Punkt überwinden kannst, bist du zu Hause. Die Distanz$\tau_{ab}$in Abbildung 2 hat eine besondere Bedeutung in der Relativitätstheorie. Sie wird Eigenzeit genannt, und es ist ein grundlegendes Prinzip der Relativitätstheorie, dass die Eigenzeit eine Invariante ist . Das bedeutet, dass die richtige Zeit für alle Beobachter gleich ist, und insbesondere für Sie und mich gleich. Das bedeutet, dass – und hier ist der entscheidende Punkt:

Die Länge der roten Linie ist in Abbildung 1 und Abbildung 2 gleich

Lassen Sie uns für einen Moment zu Abbildung 1 zurückkehren und sehen, warum dies bedeutet, dass es eine Zeitdilatation geben muss:

Figur 3

Die Länge meiner Leitung aus$A$zu$B$,$t_{ab}$, weicht offensichtlich von der Länge der roten Linie ab$A$zu$B$,$\tau_{ab}$. Aber wir haben uns bereits darauf geeinigt, dass die Länge der roten Linie die Zeit ist, die Sie zwischen den beiden Punkten messen, und das bedeutet die Zeit, die ich dazwischen messe$A$und$B$unterscheidet sich von der Zeit, zwischen der Sie messen$A$und$B$:

$$t_{ab} \ne \tau_{ab}$$

Und das meinen wir mit Zeitdilatation.

Wenn es mein Ziel war, eine intuitive Vorstellung davon zu geben, wie die Zeitdilatation entsteht, dann bin ich wahrscheinlich gescheitert, weil es alles andere als intuitiv offensichtlich ist, warum die Länge der roten Linie in Abbildung 1 und Abbildung 2 gleich sein sollte. Ich habe es auf einen nicht intuitiven Schritt eingegrenzt, und wenn Sie bereit sind, dies zu akzeptieren, folgt der Rest ganz einfach. Um dies quantitativ zu machen und genau zu erklären, was ich mit der Länge der roten Linie meine , müssen wir uns in etwas Mathematik vertiefen.

Und jetzt etwas Mathe

Die Situation, die ich in den Abbildungen 1 und 2 gezeichnet habe, ist tatsächlich etwas kompliziert, weil sie eine Beschleunigung beinhaltet, dh Sie rasen von mir weg, bremsen bis zum Stillstand und beschleunigen dann wieder auf mich zu. Zu Beginn verwenden wir den einfacheren Fall, in dem Sie einfach mit konstanter Geschwindigkeit losfahren und nicht beschleunigen. Unsere beiden Raumzeitdiagramme sehen so aus:

Figur 4

In meinem Rahmen reist du mit Geschwindigkeit$v$, also nach einiger Zeit$t$Gemessen an meiner Uhr ist deine Position$(t, vt)$. In Ihrem Rahmen sind Sie stationär, also nach einiger Zeit$T$Gemessen auf Ihrer Uhr ist Ihre Position$(T, 0)$. Und denken Sie daran, dass wir gesagt haben, dass die Länge der roten Linie für Sie und mich gleich sein muss.

Um die Länge der roten Linie zu berechnen, verwenden wir eine Funktion namens Metrik. Sie erinnern sich wahrscheinlich, dass Ihnen in der Schule der Satz des Pythagoras beigebracht wurde. Was sagt Ihnen für das rechtwinklige Dreieck:

Die Länge der Hypotenuse ist gegeben durch:

$$s^2 = a^2 + b^2$$

Diese Gleichung sagt einem, wie man Gesamtentfernungen (d. h. in diesem Fall diagonal ) misst, wenn die Verschiebungen in jeder Koordinatenrichtung gegeben sind. Genau das ist die Information, die in einer Metrik enthalten ist: Sie sagt Ihnen, wie Sie Entfernungen messen. Die obige Gleichung tut dies, indem sie eine explizite Formel für die Länge einer Linie angibt, die sich aus Koordinatenverschiebungen in horizontaler und vertikaler Richtung ergibt (nennen wir diese$x$und$y$). Nun kann man natürlich auch an infinitesimale (in einem einschränkenden Sinne unendlich kleine) Entfernungen denken . Die Formel wird dann einfach

$$\mathrm ds^2=\mathrm dx^2+\mathrm dy^2$$

Dies wird als Linienelement für den zweidimensionalen euklidischen Raum bezeichnet und codiert die entsprechende (euklidische) Metrik. Für die spezielle Relativitätstheorie müssen wir diese Idee erweitern, um alle drei räumlichen Dimensionen plus Zeit einzubeziehen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, das Linienelement für die spezielle Relativitätstheorie zu schreiben, und für die Zwecke dieses Artikels werde ich es wie folgt schreiben:

$$\mathrm ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 + \mathrm dx^2 + \mathrm dy^2 +\mathrm dz^2$$

wo$\mathrm dt$ist die in der Zeit zurückgelegte Strecke und$\mathrm dx$,$\mathrm dy$,$\mathrm dz$sind die Entfernungen, die im Raum zurückgelegt werden.

Diese Gleichung kodiert die Minkowski-Metrik und die Menge$\mathrm ds$heißt Eigenabstand. Es sieht ein bisschen wie der Satz von Pythagoras aus, aber beachten Sie, dass wir nicht einfach die Zeit zur Entfernung addieren können, weil sie unterschiedliche Einheiten haben – Sekunden und Meter –, also multiplizieren wir die Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit$c$also das produkt$ct$hat Einheiten von Metern. Beachten Sie auch, dass wir geben$ct$ein Minuszeichen in der Gleichung – wie Sie sehen werden, erklärt dieses Minuszeichen die Zeitdilatation. Da wir nur zwei Dimensionen betrachten, lautet unsere Gleichung:

$$\mathrm ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 + \mathrm dx^2$$

OK, machen wir die Berechnung. Da alle Bewegungen in einer geraden Linie verlaufen, brauchen wir das infinitesimale Linienelement nicht und können stattdessen verwenden:

$$\Delta s^2 = -c^2\Delta t^2 + \Delta x^2$$

Beginnen Sie in Ihrem Rahmen – Sie bewegen sich also nicht im Raum$\Delta x = 0$und du bewegst dich weit$\tau$rechtzeitig, also$\Delta t = \tau$, geben uns:

$$\Delta s^2 = -c^2 \tau^2$$

Lassen Sie uns nun die Berechnung in meinem Rahmen durchführen. In meinem Rahmen bewegst du dich eine Strecke im Raum$\Delta x=vt$und eine zeitliche Distanz$\Delta t = t$Die Gleichung für die Länge der roten Linie lautet also:

$$\Delta s^2 = -c^2t^2 + (vt)^2 = -t^2c^2\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)$$

Da die Längen$\Delta s$in beiden Rahmen gleich sind, kombinieren wir die beiden Gleichungen und erhalten:

$$-c^2 \tau^2 = -t^2c^2\left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right)$$

Und Umstellen ergibt:

$$\tau = t\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{t}{\gamma}$$

wo$\gamma$ist der Lorentzfaktor :

$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$

Und das ist das Ergebnis, das wir brauchen, um die Zeitdilatation zu zeigen. Die Entfernung, die Sie in der Zeit zurückgelegt haben$\tau$ist kleiner als die Entfernung, die ich in der Zeit zurückgelegt habe$t$um einen Faktor von$\gamma$.

Anhang - beschleunigte Bewegung

Ich begann die Hauptantwort mit diesem Raumzeitdiagramm:

Abbildung 1

wechselte dann aber zu einem einfacheren Beispiel, wenn es darum ging, die Mathematik durchzuarbeiten. Dies liegt daran, dass ich in meiner Antwort nicht von der Hauptbotschaft ablenken wollte, aber wenn es jemanden interessiert, werde ich erklären, wie wir jetzt mit beschleunigter Bewegung umgehen.

Übrigens werden Sie Leute behaupten hören, dass die spezielle Relativitätstheorie nicht mit beschleunigter Bewegung umgehen kann, aber wie Sie gleich sehen werden, ist das einfach nicht wahr. Das Grundprinzip ist dasselbe – die Länge der Flugbahn ist für alle Beobachter gleich. Es ist nur so, dass die Berechnung der Länge der Flugbahn etwas schwieriger ist.

Die Berechnung, die wir durchführen werden, ist dieselbe wie zuvor, dh ich berechne die Entfernung von$A$zu$B$entlang meiner Flugbahn, berechnen Sie dann die Entfernung entlang Ihrer Flugbahn, und die Zeitdilatation ist die Differenz zwischen ihnen. Die Entfernung entlang meiner Flugbahn ist offensichtlich nur die Entfernung nach oben$t$(Zeit-)Achse, aber für Sie müssen wir die Länge der roten Kurve berechnen.

Dazu zerlegen wir die Kurve in „ infinitesimale “ Geraden:

Figur 2

Wenn wir die rote Kurve durch eine Reihe gerader Längenlinien annähern$\mathrm ds$dann die Gesamtlänge der Kurve,$\Delta s$, ist einfach die Summe der Längen all dieser geraden Linien. Wir lassen die Längen$\mathrm ds$gehe auf Null und ersetze die Summe durch ein Integral:

$$\Delta s = \int_A^B \,\mathrm ds \tag{1}$$

Und die Länge$\mathrm ds$wird durch dieselbe Gleichung gegeben, die wir in der Hauptantwort verwendet haben:

$$ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 + \mathrm dx^2 \tag{2}$$

Der Trick, den wir verwenden, besteht darin, dies zu beachten, wenn Sie sich über eine Entfernung bewegen$dx$in einer Zeit$dt$dann ist deine Geschwindigkeit$v = {\mathrm dx}/{\mathrm dt}$, denn genau so definieren wir Geschwindigkeit. Das Umstellen ergibt:

$$\mathrm dx = v\,\mathrm dt$$

Und wir können dies in Gleichung (2) einsetzen, um zu erhalten:

$$\mathrm ds^2 = -c^2\mathrm dt^2 + v^2(t) \mathrm dt^2$$

wo$v(t)$ist Ihre Geschwindigkeit als Funktion der Zeit, gemessen in meinem Rahmen. Setzen Sie dies nun in Gleichung (1) ein und wir erhalten:

$$\Delta s = \sqrt{-c^2} \int_A^B \, \sqrt{1 - \frac{v(t)^2}{c^2}}\, \mathrm dt \tag{3}$$

Schließlich stellen wir fest, dass in Ihrem Rahmen die Entfernung, die Sie sich bewegen, immer noch durch dieselbe Gleichung wie zuvor angegeben ist:

$$\Delta s = \sqrt{-c^2}T_{AB}$$

wo$T_{AB}$ist die verstrichene Zeit, die auf Ihrer Uhr aufgezeichnet ist, und wenn Sie diese gleichsetzen, erhalten Sie:

$$T_{AB} = \int_A^B \, \sqrt{1 - \frac{v(t)^2}{c^2}}\,\mathrm dt$$

Um die Berechnung durchzuführen, müssen wir die Gleichung für Ihre Geschwindigkeit als Funktion der Zeit kennen, und dies hängt davon ab, wie Sie beschleunigen. Das eigentliche Rechnen wird ziemlich schnell ziemlich kompliziert, also werde ich nicht auf die Details eingehen. Wir können jedoch sofort sehen, dass es eine Zeitdilatation gibt, und Sie messen weniger verstrichene Zeit als ich.

Ob Ihre Geschwindigkeit$v(t)$ist positiv oder negativ das Quadrat,$v^2(t)$ist immer positiv, und das bedeutet, dass der Faktor in der Quadratwurzel immer kleiner als 1 ist:

$$1 - \frac{v(t)^2}{c^2} \lt 1$$

Wir integrieren also eine Funktion, die immer kleiner als eins ist$t = t_A$zu$t = t_B$und das bedeutet, dass das Ergebnis kleiner als sein muss$t_B - t_A$, das ist:

$$T_{AB} \lt t_B - t_A$$

Also deine verstrichene Zeit,$T_{AB}$ist immer weniger als meine verstrichene Zeit,$t_B - t_A$, egal wie Sie Ihre Geschwindigkeit während Ihrer Hin- und Rückfahrt ändern.

Und inzwischen sollten Sie erkannt haben, dass dies nur das verkleidete Zwillingsparadoxon ist. Dies zeigt, dass die verstrichene Zeit für den beschleunigenden Zwilling immer kürzer ist als die verstrichene Zeit für den stationären Zwilling, obwohl es mehr Details gibt, die an einem anderen Tag auf einen anderen Post warten müssen .

Anhang - was hat der Zwilling beobachtet?

Den Aufmerksameren unter Ihnen ist vielleicht etwas aufgefallen, das ich in meiner Berechnung im letzten Abschnitt der Hauptantwort ausgelassen habe . Ich habe diese Abbildung gegeben, die die Raumzeitdiagramme zeigt:

Dann habe ich die Länge der roten Linie in meinem Rahmen berechnet und gezeigt, dass Ihre verstrichene Zeit kürzer ist als meine verstrichene Zeit. Natürlich alles ganz richtig, aber Moment mal, ist die Zeitdilatation nicht symmetrisch? Solltest du nicht meine Zeit zum Dilatieren beobachten? Ja, in der Tat, und der Zweck dieses Anhangs ist es, zu erklären, was vor sich geht.

Wenn wir uns mein Raumzeitdiagramm ansehen, stellen wir fest, dass Sie und ich nicht an denselben Punkten gelandet sind. Sie sind von angereist$A$zu$B$während ich aus reiste$A$zu$C$. In meinem Rahmen die Punkte$B$und$C$sind simultan, dh sie haben die gleiche Zeitkoordinate,$t_B = t_C$, und deshalb kann ich behaupten, dass es Zeitdilatation gibt. Meine Behauptung ist, dass wir beide gleichzeitig angefangen haben$t=t_A$und wir endeten beide gleichzeitig$t=t_B=t_C$aber unsere Uhren haben dabei unterschiedliche verstrichene Zeiten gemessen. Es muss also eine Zeitdilatation vorliegen.

Aber meine Behauptung, dass die Punkte$B$und$C$simultan sind, gilt nur in meinem Frame und in allen anderen Frames$B$und$C$sind nicht gleichzeitig. Dies bedeutet, dass verschiedene Beobachter meiner Berechnung der Zeitdilatation widersprechen werden, und deshalb können Sie und ich beide denken, dass die Zeit der anderen Person verlängert ist. Mal sehen, wie das funktioniert.

Ich werde viel Mathematik abkürzen und Ihnen einfach sagen, dass wir ein paar Gleichungen verwenden, die Lorentz-Transformationen genannt werden, um herauszufinden, wo sich Raumzeitpunkte in verschiedenen Rahmen befinden . Diese sind:

$$\begin{align} t’ &= \gamma\left(t - \frac{vx}{c^2}\right) \\ x’ &= \gamma\left(x - vt \right) \end{align}$$

Nehmen Sie den Punkt$B$, was in meinen Koordinaten liegt$(t,vt)$. Um den entsprechenden Punkt zu finden$B’$in Ihre Koordinaten einfach einstecken$t = t$und$x = vt$in die Gleichungen um zu erhalten:

$$\begin{align} t’ &= \gamma\left(t - \frac{v(vt)}{c^2}\right) = \gamma t \left(1 - \frac{v^2}{c^2}\right) = \frac{t}{\gamma} \\ x’ &= \gamma\left(vt - vt \right) = 0 \end{align}$$

Also in Ihrem Rahmen der Punkt$B = (t/\gamma, 0)$. Aber das wussten wir schon. In Ihrem Rahmen sind Sie stationär am Ursprung, also Ihrer Position$x$ist immer Null, und wir haben bereits herausgefunden, dass Ihre verstrichene Zeit gleich ist$T = t/\gamma$. Die Lorentz-Transformationen sagen uns also, was wir bereits wussten, was eigentlich genauso gut ist!

Aber nimm jetzt den Punkt$C$, welches ist$(t, 0)$in meinem Rahmen, und lassen Sie uns sehen, wo es in Ihrem Rahmen ist. Nochmals, stecken Sie einfach diese Werte für$t$und$x$in die Lorentztransformationen und wir erhalten:

$$\begin{align} t’ &= \gamma\left(t - \frac{v\,0}{c^2}\right) = \gamma t \\ x’ &= \gamma\left(0 - vt \right) = -\gamma vt \end{align}$$

Zeichnen wir unsere Rahmen mit all diesen Punkten darauf:

Also in meinem Rahmen das auf meiner Uhr gemessene Zeitintervall, während ich mich bewege$A$zu$C$ist$t$, aber in deinem Rahmen das Zeitintervall, während ich mich bewege$A$zu$C$ist die Distanz$AD$dh es ist$\gamma t$. Und da$\gamma t \gt t$Du beobachtest, dass meine Zeit erweitert wird, genauso wie ich beobachte, dass deine Zeit erweitert wird. Es ist nur so, dass wir uns über unsere Start- und Endpunkte nicht einig sind.

Frame-to-Frame-Vergleich von Diagrammen und Intervallen

Dies ist eine Ergänzung zu John Rennies Hauptdiskussion, in der wir das klassische Zwillingsparadoxon untersuchen, indem wir explizit das Raum-Zeit-Diagramm der Routen beider Zwillinge in zwei verschiedenen Frames zeichnen und ihre Intervalle explizit in beide Richtungen berechnen, um zu zeigen, dass das Ergebnis dies nicht tut hängen davon ab, aus welchem ​​(einzelnen, inertialen) Rahmen das Experiment betrachtet wird.

Die Szenario-Show hier hat den reisenden Zwilling (Heidi) gemacht$0.5c$relativiert die Erde auf beiden Etappen ihrer Reise und besucht ein Zielobjekt, das ein Lichtjahr von der Erde entfernt ist, ohne Zwischenstopp. Der zu Hause bleibende Zwilling (Hans) bleibt natürlich auf der Erde und wartet sehnsüchtig auf ihr Wiedersehen.

Als vereinfachende Annahme wird hier angenommen, dass die Beschleunigung schnell genug ist, dass wir sie nicht zeigen oder zu unseren Berechnungen hinzufügen müssen.

Erdrahmen

Im Rahmen der Erde dauern beide Etappen der Reise zwei Jahre, was das Diagramm ergibt

Das Warten auf Hans ist

$$\begin{align*} \tau_\text{Hans} = -\frac{\sqrt{\Delta s^2_\text{Hans}}}{c} &= \frac{\sqrt{c^2(4\,\text{years})^2 - (0\,\text{light years})^2}}{c}\\ &= \frac{\sqrt{(4\,\text{light years})^2}}{c} \\ &= 4\,\text{years}\;, \end{align*}$$ was bedeutet, dass Hans 4 Jahre gewartet hat. Beachten Sie, dass$c$ist einfach 1 Lichtjahr pro Jahr.

Für Heidi ist die Situation etwas komplizierter, sie begibt sich auf zwei Trägheitsreisen und es ist einfach, die jeweils verstrichene Zeit zu messen und sie dann zusammenzuzählen

$$\begin{align*} \tau_\text{Heidi} &= \tau_\text{out-bound} + \tau_\text{in-bound} \\ &= \frac{\sqrt{c^2(2\,\text{years})^2 - (+1\,\text{light years})^2}}{c} + \frac{\sqrt{c^2(2\,\text{years})^2 - (-1\,\text{light years})^2}}{c}\\ &= \frac{2\sqrt{3\,(\text{light years})^2}}{c}\\ &= 2\sqrt{3}\,\text{years} \end{align*}$$

Bei ihrem Wiedersehen ist Heidi sechseinhalb Monate jünger als Hans.

Ausgehender Rahmen

Das ist großartig, aber einer der Nachteile der Verwendung eines Minkowski-Diagramms (im Gegensatz zu einem Loedel-Diagramm ) ist, dass es dem Rahmen mit den aufrechten Achsen einen besonderen Platz einzuräumen scheint.

Wählen wir also einen anderen Bezugsrahmen und wiederholen die ganze Arbeit, um zu sehen, ob wir die gleiche Antwort erhalten.

In diesem Fall verwende ich den Referenzrahmen, in dem Heidis nach außen gerichtetes Bein ruht. Das bedeutet, dass sich die Erde um rückwärts bewegt$0.5c$in diesem Rahmen.

Um diese Figur zu zeichnen, müssten wir die Koordinaten von Heidis Ankunft am Zielobjekt finden und in diesem Rahmen zur Erde zurückkehren. Dies kann durch direkte Anwendung der Lorentz-Transformation auf die bekannten Koordinaten dieser Punkte im erdverbundenen Rahmen erfolgen, oder indem man weiß, dass ein Boost von$beta = v/c$schwingt eine Linie in einem Diagramm um einen Winkel von$\alpha = \tan \beta$und bewirkt, dass die Linie um einen Faktor von skaliert wird

$$s = \frac{\sqrt{1 + \beta^2}}{\sqrt{1 - \beta^2}} \;$$ was Sie vielleicht als den Doppler-Verschiebungsfaktor für Licht erkennen.

In jedem Fall ist die Ankunftszeit am Zielobjekt$t_a = 1.73\,\text{years}$, ist die Zeit der Rückkehr zur Erde$t_r = 4.62\,\text{years}$, und der Ort der Rückkehr zur Erde ist$-2.31\,\text{light years}$.

Diesmal bekommen wir

$$\begin{align*} \tau_\text{Hans} &= \frac{\sqrt{\Delta s^2}}{c} \\ &= \frac{\sqrt{c^2(4.62\,\text{years})^2 - (-2.31\,\text{light years})^2}}{c} \\ &= 4\,\text{years} \;. \end{align*}$$

Ebenso für Heidi bekommen wir

$$\begin{align*} \tau_\text{Heidi} &= \tau_\text{out-bound} + \tau_\text{in-bound} \\ &= \frac{\sqrt{c^2(1.73\,\text{years})^2 - (0\,\text{light years})^2}}{c} + \frac{\sqrt{c^2((4.62-1.73)\,\text{years})^2 - (-2.31\,\text{light years})^2}}{c}\\ &= 3.466\,\text{years} \approx 2\sqrt{3}\,\text{years} \;, \end{align*}$$ wobei die sehr kleine Diskrepanz am Ende nur ein Rundungsfehler ist, weil die Zahlen im Laufe der Zeit abgeschnitten wurden. (Haben Sie das bemerkt$1.73 \approx \sqrt{3}$? Das ist kein Zufall, das Intervall jeder Etappe von Heidis Reise muss in jedem Bezugsrahmen gleich sein.)

Kurz gesagt, das gleiche Ergebnis.

Eingehender Rahmen oder ein Rahmen, der nicht mit einem der beiden Zwillinge verbunden ist.

Links als Übung. Es lohnt sich, die ganze Arbeit noch einmal durchzugehen und zu sehen, dass Sie in anderen Frames weiterhin die gleichen Ergebnisse erzielen.

Auflösung des Paradoxons

Das Paradoxon wird vollständig gelöst, indem man akzeptiert, dass die richtige Zeit ist$\tau$ist (bis auf ein Zeichen und einen Faktor von$c$) die Quadratwurzel des Intervalls. Sobald Sie dies akzeptieren (sowohl die Aussage als auch das Schema, nach dem das Intervall berechnet wird), besteht alles andere nur darin, Pfade zu zeichnen und die richtige Zeit zu addieren.

Warum ist es wichtig, das Rechenschema zu akzeptieren? In der gewöhnlichen Geometrie ist eine gerade Linie der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten. In der Minkowski-Geometrie ist der Vorzeichenunterschied zwischen$(\Delta t)^2$und$(\Delta x)^2$bedeutet, dass eine gerade Linie die längste richtige Zeit zwischen zwei Ereignissen ist.

Ich sollte die Rolle der Beschleunigung erwähnen, weil sie oft als eine Art Feenstaub behandelt wird, der das Paradoxon auflöst.

Was Beschleunigung bedeutet, ist, dass sich die Steigung einer Weltlinie ändert: Das heißt, diese Weltlinie ist nicht gerade. Und da es nicht gerade ist, ist es nicht die längste Eigenzeit zwischen zwei Ereignissen. Die Beschleunigung hat diesen Effekt also nicht, weil Beschleunigung etwas Magisches an sich hat, sondern weil sie bewirkt, dass die Weltlinie abweicht. Manipulierte Schemata, bei denen eine Nachricht so weitergegeben wird, dass kein „Ding“ beschleunigt wird, ändern nichts an der Tatsache, dass Ihre Nachricht zwischen Ereignissen eine nicht gerade Weltlinie einnimmt.

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Die Bilder hier sind meine Originalarbeit und wurden zuerst (in LaTeX , mit TikZ ) für eine kurze Notiz über das Raum-Zeit-Intervall vorbereitet, das in meinem Unterricht in moderner Physik verwendet wird.

Was ist eigentlich Zeitdilatation?

Eine reduzierte lokale Bewegungsrate. Siehe Was ist Zeit, fließt sie und wenn ja, was bestimmt ihre Richtung? Wie Einstein sagte, Zeit ist das, was Uhren messen . Und wenn Sie wissenschaftlich empirisch untersuchen, was eine Uhr wirklich tut, werden Sie feststellen, dass sie nicht wirklich die zeitliche Entfernung zwischen den Raumzeitpunkten A und B misst. Sie besteht lediglich aus einem vibrierenden Kristall oder einer Wippe oder einem Pendel. und eine Art Getriebe oder Elektronik zum Zählen oder Übersetzen dieser regelmäßigen zyklischen lokalen Bewegung , um eine Art kumulative Anzeige bereitzustellen. Eine Uhr "taktet" lokale Bewegungen hoch, das ist alles. Und wenn die Uhr langsamer geht, liegt das daran, dass diese lokale Bewegung langsamer geht.

Bitte kann jemand erklären, was Zeitdilatation wirklich ist und wie sie auftritt.

Wie oben ist die Zeitdilatation eine reduzierte lokale Bewegungsrate. Siehe Über die Elektrodynamik bewegter Körper , wo Einstein über die Zeit sprach:

Nun müssen wir uns bewusst machen, dass eine solche mathematische Beschreibung keine physikalische Bedeutung hat, wenn wir uns nicht ganz klar darüber sind, was wir unter „Zeit“ verstehen. Wir müssen berücksichtigen, dass alle unsere Urteile, in denen die Zeit eine Rolle spielt, immer Urteile über gleichzeitige Ereignisse sind. Wenn ich zum Beispiel sage: „Dieser Zug kommt hier um 7 Uhr an“, dann meine ich etwa so: „Das Zeigen des kleinen Zeigers meiner Uhr auf 7 Uhr und die Ankunft des Zuges sind gleichzeitige Ereignisse“.

Diese operative Definition von Zeit ist nichts anderes als die Position der Zeiger, die nur eine kumulative Version aller regelmäßigen zyklischen lokalen Bewegungen innerhalb der Uhr ist. Der innere Mechanismus einer Uhr wird nicht umsonst Uhrwerk genannt. Einstein sprach später über die „Zeit“, die das Licht benötigt, um von A nach B zu reisen, was sich gut auf die einfache Schlussfolgerung der Zeitdilatation auf Wikipedia bezieht:

^{Gemeinfreies Bild von Mdd4696}

Dies kennzeichnet Licht, das sich in einer Lichtuhr mit parallelem Spiegel bewegt. Die Zeit ist nichts anderes als die Anzahl der Male, die das Licht von den Spiegeln reflektiert wurde. Zeitdilatation tritt auf, wenn sich das Ensemble schnell bewegt, da das Licht eher einen Zickzackpfad als einen geraden Auf-und-Ab-Pfad nimmt. Aber wenn es über den klaren Nachthimmel gesaust wäre und Sie es durch Ihr gedankenes Teleskop beobachten könnten, müssten Sie schwenken, um es in Ihrem Sichtfeld zu halten. Und in diesem Sichtfeld würde sich der Lichtstrahl langsamer als normal gerade nach oben und unten bewegen. Das ist spezielle Relativitäts-Zeitdilatation. Das ist alles. So einfach ist das. Der Lorentzfaktor

$$\Delta t' = \frac{\Delta t}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$$ wird einfach aus dem Satz des Pythagoras abgeleitet, wobei die Hypotenuse der Lichtweg und die Basis die Geschwindigkeit als Bruchteil von c ist. Die Höhe ergibt den Lorentz-Faktor, und wir verwenden einen Kehrwert, um die Zeitdilatation von der Längenkontraktion zu unterscheiden.

Es gibt viele Fragen und Antworten zur Berechnung der Zeitdilatation, aber keine, die ein intuitives Gefühl dafür vermitteln, wie dies geschieht.

Ich denke, der Wikipedia-Artikel ist gut genug für die spezielle Relativitätstheorie. Es ist sehr einfach. Die Geschwindigkeit der lokalen Bewegung wird notwendigerweise durch die makroskopische Bewegung durch den Raum reduziert, weil die maximale Bewegungsgeschwindigkeit c ist. Diese Zeitdilatation gilt nicht nur für Licht, sondern auch für alle materiellen Dinge.

Frage von Lukas :

Ich weiß nichts über Relativitätstheorie, aber ich kann nicht akzeptieren, dass es ein Phänomen namens Zeitdilatation gibt. Allerdings habe ich kein Problem damit, weil Mathematik dahintersteckt. Ich habe kein Problem, wenn die Zeit verlängert wird, weil ich nicht weiß, wie spät es ist. Aber ich frage mich, wann sie sagen, dass eine Uhr in Bezug auf die andere gleiche Uhr langsamer arbeitet, wenn ihre Geschwindigkeit höher ist.

1. Welche Art von Uhren meinen sie? Analoguhr, Digitaluhr usw.

2. Soweit ich weiß, arbeiten einige mechanische Uhren mit einer Torsionsfeder in ihrem Inneren. Woher also weiß das Material der Feder, dass es sich bei höherer Geschwindigkeit langsam abrollen muss? Verändert eine höhere Drehzahl die chemische Struktur oder die physikalischen Eigenschaften des Federmaterials?

Antwort von Gennaro Tedesco:

Die Uhr wird offensichtlich weder verlangsamt noch beschleunigt. Das ist nur eine unglückliche Terminologie, die besagt, dass Zeitintervalle vom Referenzrahmen abhängen und verschiedene Beobachter in verschiedenen Referenzrahmen unterschiedliche Zeitintervalle messen können, wenn sie sich in relativer Bewegung zueinander befinden.

Wir haben in der Physik einen wohldefinierten Begriff von Zeit, einfach weil experimentell festgestellt wurde, dass die relativen Geschwindigkeiten physikalischer Prozesse unter denselben Bedingungen immer gleich sind. Daher wählen Sie einen periodischen physikalischen Prozess, dessen Geschwindigkeit von Faktoren beeinflusst wird, die leicht und wiederholbar kontrolliert werden können, und Sie verwenden diesen als Uhr. Das heißt, Sie messen die verstrichene Zeit, indem Sie die Perioden dieses Standardprozesses zählen und alle anderen physikalischen Prozesse mit diesem vergleichen. Siehe meine Antwort hier für weitere Details.

Einer der Faktoren, von denen experimentell festgestellt wurde, dass sie die relativen Raten physikalischer Prozesse beeinflussen, ist die relative Geschwindigkeit zwischen den Trägheitsrahmen, in denen verglichene physikalische Prozesse stattfinden. Das heißt, der Zeitdilatationsfaktor und die Lorentz-Transformation ermöglichen es uns, die relative Rate zu berechnen zwei Prozesse in verschiedenen Inertialsystemen, wenn wir ihre relative Geschwindigkeit kennen, wenn sie im selben System stattfinden.

Das ist alles, was Zeitdilatation ist: eine Änderung der relativen Raten physikalischer Prozesse, die beobachtet wird, weil sie aus relativer Bewegung zwischen verschiedenen physikalischen Prozessen entsteht. Sobald Sie das kulturelle Gepäck über "Zeit" verlieren, ist dieser Unterschied nicht überraschend: Wenn Sie einen Faktor in einem Experiment ändern, ist eine Änderung des experimentellen Ergebnisses völlig die Norm oder zumindest extrem häufig.

Nun, leider kann ich @Rennie nicht kommentieren, aber ich möchte der ansonsten guten Antwort von John Rennie hinzufügen, dass es nicht richtig ist, das zu sagen:

die Menge d$s$ heißt Eigenabstand

Denn das stimmt einfach nicht!

Richtiger Abstand,$σ$, in SR ist analog zur Eigenzeit$\tau$. Es ist das unveränderliche raumartige Intervall zwischen zwei Ereignissen A und B anstelle eines zeitartigen Intervalls.

Der Unterschied besteht darin, dass die richtige Entfernung zwischen zwei räumlich getrennten Ereignissen (oder entlang eines räumlichen Pfads) definiert wird, während die richtige Zeit zwischen zwei zeitähnlich getrennten Ereignissen (oder entlang eines zeitähnlichen Pfads) definiert wird.

Mit d$s$und d$s^2$das Linienelement und nichts anderes ist in der Relativitätstheorie gemeint. Und mit$Δs$oder$Δs^2$statt d$s$oder d$s^2$, handelt es sich um ein Raum-Zeit-Intervall.

Und:

Dieses Minuszeichen erklärt die Zeitdilatation

Ist ein bisschen irreführend imo. Es erklärt nicht die Zeitdilatation. Überhaupt nicht, körperlich.

Das Minuszeichen hat zum Beispiel mit einer hyperbolischen Geometrie (wie der des Minkowski-Raums) zu tun, sonst stimmt die Mathematik nicht, erklärt aber physikalisch gar nichts.

Wieder geht es nur um (einfache) kinematische Zeitdilatation für Leute, die versuchen, zuerst etwas über die Relativitätstheorie zu verstehen oder zu lernen. Aber dann denke ich, speziell für sie, es sollte nichts davon zu möglichen hartnäckigen Missverständnissen führen.

Also keine Kritik, sondern .. "zusätzlich", versuchen hilfreich zu sein.

Die Zeit selbst verlangsamt sich nicht oder keimt auf. Wir verlangsamen oder beschleunigen die Zeit, indem wir im Raum beschleunigen (oder abbremsen).

Wenn wir jemals die Lichtgeschwindigkeit im Weltraum erreichen, wird unsere Geschwindigkeit in der Zeit Null erreichen und die Zeitdilatation wird unendlich sein.

Wenn wir uns als stationär im Raum betrachten, wird unsere Geschwindigkeit im Raum als Null betrachtet, unsere Geschwindigkeit in der Zeit ist also gleich der Lichtgeschwindigkeit. Daher können wir davon ausgehen, dass wir mit maximaler Geschwindigkeit altern.

Ich habe die Antworten hier durchgelesen und denke, ich könnte eine andere Perspektive bieten.

Gehen wir zurück bis zum Ende des 19. Jahrhunderts, als von allen uns bekannten Grundkräften nur Elektromagnetismus und Schwerkraft bekannt waren. Vergessen wir die Schwerkraft und schauen wir uns einfach die Maxwellschen Gleichungen an und stellen uns vor, dass die ganze Welt von ihnen regiert wird. Alle Strukturen, die man in einer solchen Welt sieht, sind nur einige Manifestationen von Lösungen der Maxwell-Gleichungen.

Betrachten wir eine Uhr C in einer solchen Welt. Die Uhr ist eine Art besondere lokalisierte Struktur, die wahrscheinlich auf einem Oszillator basiert und die Maxwellschen Gleichungen erfüllt. Wir gehen davon aus, dass wir wissen, wie die Uhr aussieht, wenn sie sich nicht im Raum bewegt, und wir werden versuchen, „ abzuleiten “, wie eine sich bewegende Uhr aussieht. Das Spiel besteht darin, mit einer sich nicht bewegenden (im Durchschnitt) Konfiguration der Maxwell-Gleichungen eine entsprechende sich bewegende Konfiguration zu konstruieren. Im Allgemeinen ist es für eine beliebige partielle Differentialgleichung eine knifflige Aufgabe. Beispielsweise können Sie keine "bewegliche" Lösung für eine Diffusionsgleichung konstruieren. Sie können jedoch eine bewegliche Lösung für eine Navier-Stokes-Gleichung (Strömungsdynamik) konstruieren, indem Sie die Koordinaten ändern

$$x' =x-vt,$$ aber eine solche Änderung funktioniert nicht für die Maxwell-Gleichungen!

Lorentz und Larmore entdeckten eine entscheidende Tatsache (siehe A Note on Relativity Before Einstein ), dass die Form der Maxwell-Gleichungen unter Lorentz-Transformationen invariant bleibt:

$$\begin{array}[c]\\ x' =(x-vt)\gamma,\\ t' =(t-vx)\gamma, \end{array}\tag{1}$$ (hier Lichtgeschwindigkeit gleich 1 angenommen)

Warum die Invarianz wichtig? Weil es uns erlaubt, aus einer stationären Uhr eine bewegliche Uhr zu machen. Stellen Sie sich vor, Sie haben eine stationäre Uhr gebaut und wenden die Lorentz-Transformation (1) auf alle ihre Teile an. Was wirst du bekommen? Sie werden eine bewegliche Uhr bekommen, die zusammengedrückt wird$x$und das tickt langsamer. Let is sink: (1) Die Maxwell-Gleichungen sind in den neuen Koordinaten noch gültig; (2) Wir haben eine Uhr, die nach den gleichen Prinzipien wie die Originaluhren funktioniert, aber (a) sich bewegt, (b) mitläuft$x$(c) tickt langsamer. Und genau das wollten wir! Wenn Sie wissen, wie eine stationäre Uhr aussieht, wissen Sie, wie eine entsprechende bewegliche Uhr aussehen wird! Und das gilt natürlich nicht nur für Uhren, sondern für jegliche Konstruktionen. Mit einer stationären Konfiguration des Feldes können wir eine bewegliche Konfiguration durch Anwendung der Lorentz-Transformation erstellen.

Nun, echte Uhren bestehen nicht aus Lösungen der Maxwell-Gleichungen, sondern beinhalten viele andere Dinge. Die entscheidende Idee von Einstein war, dass Lorentz-Transformationen nicht nur Maxwells Gleichungen invariant lassen, sondern alle Gesetze des Universums invariant lassen, was bedeutet, dass Sie durch Anwendung von Transformation (1) aus jeder Art von stationärer Uhr eine bewegliche Uhr machen können.

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass Uhren langsamer werden, weil die Gesetze des Universums unter Lorentz-Transformationen unveränderlich sind, was uns sagt, wie man aus einer stationären Uhr eine sich bewegende Uhr macht.

Zeitdilatation ist keine Verlangsamung der Zeit. In SR vergeht die Zeit an jedem Punkt in jedem Trägheitsbezugssystem mit der gleichen Geschwindigkeit.

Die Ebenen konstanter Zeit in einem beliebigen Referenzrahmen sind jedoch relativ zu denen eines anderen Referenzrahmens geneigt, der sich relativ zum ersten bewegt (der Grad der Neigung nimmt mit der Geschwindigkeit zu, mit der sich die beiden Rahmen relativ zueinander bewegen). Das bedeutet, dass einem horizontalen Zeitschnitt durch das eine Bezugssystem, also einer Ebene, auf der überall in diesem Bezugssystem die gleiche Zeit ist, eine schiefe Ebene im anderen Bezugssystem entspricht, auf der die Zeit zunehmend in Richtung Zukunft ansteigt Bewegung und zunehmendes Zurückfallen in die entgegengesetzte Richtung.

Dies bedeutet, dass Sie, wenn Sie sich relativ zu einem Frame bewegen, kontinuierlich sozusagen den Hang hinauf zu Punkten in diesem Frame gehen, an denen die Zeit fortschreitend fortgeschritten ist. Obwohl Ihre Zeit mit normaler Geschwindigkeit vergeht, bewegen Sie sich zu Punkten in der Zeit voraus im anderen Frame, sodass das Zeitintervall, durch das Sie sich in diesem Frame bewegen, größer ist als die Zeit, die Sie in Ihrem eigenen erlebt haben.

Um ein konkretes Beispiel zu nehmen, nehmen Sie an, Sie bewegen sich mit einer bestimmten Geschwindigkeit, beginnend um 12:00 Uhr sowohl in Ihrem Rahmen als auch in dem Rahmen, durch den Sie sich bewegen. Nach fünf Minuten auf Ihrer Uhr sind Sie auf der schiefen Zeitebene im anderen Rahmen bis zu einem Punkt aufgestiegen, der im Vergleich zu dem Punkt, an dem Sie gestartet sind, um eine Minute voraus ist, sodass Ihre Uhr 12:05 und die Zeit in der zeigt stationärer Rahmen, wo Sie jetzt sind, ist 12:06. Nach weiteren fünf Minuten auf Ihrer Uhr haben Sie sich auf der geneigten Zeitebene im anderen Rahmen bis zu einem Punkt bewegt, der um eine weitere Minute vorgerückt ist, sodass Sie jetzt 12:10 auf Ihrer Uhr und 12:12 auf einer benachbarten Uhr darin sehen der stationäre Rahmen. Usw. Die Zeit vergeht auf Ihrer Uhr mit normaler Geschwindigkeit, aber Sie bewegen sich im anderen Rahmen von Regionen früherer Zeit zu Regionen späterer Zeit,

Die Wirkung ist vollkommen symmetrisch. Aus der Perspektive einer Person in dem Rahmen, durch den Sie sich bewegen, ist ihre Zeitebene eben und Ihre ist geneigt. Wenn diese Person um 12:00 Uhr bei Ihnen war, als Sie sich zu bewegen begannen, wird sie nach fünf Minuten auf ihrer Uhr sehen, dass eine benachbarte vorbeilaufende Uhr in Ihrem Rahmen 12:06 Uhr anzeigt, und fünf Minuten später um 12 Uhr: 10 auf ihrer Uhr, sie werden sehen, dass eine andere benachbarte Uhr in Ihrem Rahmen 12:12 anzeigt, also ist es ihre Uhr, die zunehmend hinter die Zeit in Ihrem Rahmen zurückfällt.

Die Zeitdilatation ist also nicht das Ergebnis einer Verlangsamung der Zeit – die Zeit läuft für beide Personen in dem Szenario, das ich gerade beschrieben habe, mit der gleichen Geschwindigkeit weiter – es ist ein Ergebnis der Tatsache, dass Ebenen mit konstanter Zeit geneigt sind, wenn man sich bewegt durch einen Rahmen bewegt man sich nach und nach zu Regionen späterer Zeit in diesem Rahmen, so dass der Zeitgewinn in diesem Rahmen größer erscheint als die Zeit, die verstrichen ist, wo Sie sich in Ihrem eigenen Rahmen befinden.

Der geläufige Ausdruck „bewegte Uhren gehen langsam“ ist irreführend, wenn er aus dem Zusammenhang gerissen wird, und führt häufig zu Verwirrung.

Bevor Sie verstehen können, was Zeitdilatation ist, müssen Sie verstehen, was Zeit ist. Das Wort Zeit ist ein Begriff, der zeitliche Bewegung beschreibt. Es ist die Bewegung physischer Dinge durch die zeitliche Dimension. Laienhaft ausgedrückt bewegen wir uns durch die räumliche Dimension und zeitlich durch die zeitliche Dimension.

Da diese beiden Dimensionen miteinander verbunden sind, ist unsere zeitliche Geschwindigkeit umgekehrt proportional zu unserer räumlichen Geschwindigkeit, und dies führt zu einer Zeitdilatation. Zeitdilatation bedeutet nicht, dass Zeit beschleunigt oder verlangsamt wird. Zeitdilatation ist, wenn jemand oder etwas langsamer oder schneller malt.

Da unsere zeitliche Geschwindigkeit die Geschwindigkeit atomarer, biologischer und mechanischer Prozesse bestimmt, nehmen wir leider niemals eine lokale Veränderung wahr. Unsere Wahrnehmung verlangsamt sich genau so stark wie unsere Uhren. Für uns scheint alles normal zu sein. Nur wenn wir unsere Uhr mit jemandem vergleichen, der eine andere zeitliche Geschwindigkeit hat, sehen wir einen Unterschied.

Die Schwerkraft wirkt sich auch auf die Geschwindigkeit aus, mit der wir timen, aber darauf gehe ich ein anderes Mal ein.