Ableitung des Post-Newtonschen (PN) Ausdrucks für die Beschleunigung in der Schwarzschild-Geometrie

Question

Ableitung des Post-Newtonschen (PN) Ausdrucks für die Beschleunigung in der Schwarzschild-Geometrie

Rumpelstillhaut

Der Ausdruck für die Beschleunigung eines erdnahen Satelliten, wie er in der IERS Technical Note vorgestellt wird , ist gegeben durch

\begin{matrix} (1) & \frac{D^{2} R}{D T^{2}} = \frac{G M_{E}}{C^{2} R^{3}} {[2 (β + γ) \frac{G M_{E}}{R} - γ \dot{R} \cdot \dot{R}] R + 2 (1 + γ) (R \cdot \dot{R}) \dot{R}} . \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq:problemeq} \tag{1} \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \frac{GM_E}{c^2r^3} \left\{\left[2(\beta+\gamma)\frac{GM_E}{r} - \gamma \dot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}} \right] \mathbf{r} + 2(1+\gamma)(\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{r}})\dot{\mathbf{r}} \right\}. \end{equation}$

Wir arbeiten im parametrisierten Post-Newtonschen Formalismus, daher die dimensionslosen Konstanten $\beta,\gamma$ .

Nach dem, was ich hier und hier sammeln kann, kann dieser Ausdruck aus der "Schwarzschild-isotropen Einkörper-Punktmassenmetrik" abgeleitet werden.

Jetzt weiß ich, wie die Schwarzschild-Metrik in isotropen Koordinaten aussieht, aber ich kann nicht sehen, wo Gl. ( $\ref{eq:problemeq}$ ) kommt von.

Ein weiterer Punkt ist, dass in GR die dimensionslosen Parameter $\beta,\gamma$ sind gleich eins und wenn sie oben ersetzt werden, ergibt sich eine bekannte Formel für die Schwarzschild-Präzession, die gegeben ist durch

\begin{matrix} (1) & \frac{D^{2} R}{D T^{2}} = \frac{G M_{E}}{C^{2} R^{3}} {[4 \frac{G M_{E}}{R} - \dot{R} \cdot \dot{R}] R + 4 (R \cdot \dot{R}) \dot{R}} . \end{matrix}

$\begin{equation} \label{eq:problemeq2} \tag{1} \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \frac{GM_E}{c^2r^3} \left\{\left[4\frac{GM_E}{r} - \dot{\mathbf{r}} \cdot \dot{\mathbf{r}} \right] \mathbf{r} + 4(\mathbf{r}\cdot\dot{\mathbf{r}})\dot{\mathbf{r}} \right\}. \end{equation}$

Auch daran erinnere ich mich wieder nicht.

Irgendwelche Vorschläge?

N0va

Die Ableitung dieses Ausdrucks scheint ziemlich kompliziert zu sein. Ich habe die verschiedenen Referenzen in IERS Technical Note No. 36 und AU Resolutions B1.3 und B1.4 (2000) durchgesehen und der beste Ausgangspunkt, den ich finden konnte, ist [Klioner 2001; arxiv.org/abs/astro-ph/0107457] Gl. (3) und die Referenzen dazu [Will 1993] und [Klioner & Soffel 2000; arxiv.org/abs/gr-qc/9906123] .

Rumpelstillhaut

Es ist definitiv ziemlich involviert. Ich erwarte nicht, dass es in einer Sitzung erledigt wird :) Auf der Suche nach einigen Ressourcen, die verstanden werden können. Ich finde es ziemlich schwierig, den PN-Typen der alten Schule zu folgen!

Michael B.

Die Bewegungsgleichung für Ihren Fall ist

\frac{d^{2} x^{σ}}{d s^{2}} = Γ_{μ ν}^{σ} \frac{d x^{μ}}{d s} \frac{d x^{ν}}{d s}

$\frac{d^2x^\sigma}{ds^2} = \Gamma^\sigma_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}$ . Stecken Sie einfach den Schwarzschild-Metrik-Tensor ein

g_{μ ν}

$g_{\mu\nu}$ hinein

Γ_{μ ν}^{σ} = 1 / 2 g^{σ α} (\frac{\partial g_{μ α}}{\partial x_{ν}} + \frac{\partial g_{ν α}}{\partial x_{μ}} - \frac{\partial g_{μ ν}}{\partial x_{α}})

$\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} = 1/2 g^{\sigma\alpha}( \frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x_\nu} + \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x_\mu} -\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha})$ und rechnen Sie mit der Bewegungsgleichung. Dies ist, denke ich, der einfachste Ansatz.

Rumpelstillhaut

@MihaiB. Leider würde dies nicht funktionieren. Das würden Sie in einem völlig relativistischen Rahmen tun. Dies wird jedoch in Begriffen des PPN-Formalismus ausgedrückt.

David Hammen

Das ist der Form sehr ähnlich, die in Yeomans, DK, et al. verwendet wird. "Bestimmung der Kometenbahn und nichtgravitative Kräfte." Comets II (2004): 137–151, die auf Anderson JD, et al. "Experimenteller Test der Allgemeinen Relativitätstheorie mit Zeitverzögerungsdaten von Mariner 6 und Mariner 7." Astrophie. J., 200, 221–233. Der einzige Unterschied ist die Verwendung der Gaußschen Gravitationskonstante

k

$k$ anstatt

G M_{E}

$GM_E$

steveOw

Wo in der IERTS Technical Note erscheint Ihre eqtn(1)? Ihre Gleichung (10.12) auf S.155 sieht ähnlich aus, hat aber zusätzliche Terme.

Antworten (1)

Ableitung des Post-Newtonschen (PN) Ausdrucks für die Beschleunigung in der Schwarzschild-Geometrie

Die Ableitung dieses Ausdrucks scheint ziemlich kompliziert zu sein. Ich habe die verschiedenen Referenzen in IERS Technical Note No. 36 und AU Resolutions B1.3 und B1.4 (2000) durchgesehen und der beste Ausgangspunkt, den ich finden konnte, ist [Klioner 2001; arxiv.org/abs/astro-ph/0107457] Gl. (3) und die Referenzen dazu [Will 1993] und [Klioner & Soffel 2000; arxiv.org/abs/gr-qc/9906123] .
Es ist definitiv ziemlich involviert. Ich erwarte nicht, dass es in einer Sitzung erledigt wird :) Auf der Suche nach einigen Ressourcen, die verstanden werden können. Ich finde es ziemlich schwierig, den PN-Typen der alten Schule zu folgen!
Die Bewegungsgleichung für Ihren Fall ist $\frac{d^2x^\sigma}{ds^2} = \Gamma^\sigma_{\mu\nu} \frac{dx^\mu}{ds}\frac{dx^\nu}{ds}$ . Stecken Sie einfach den Schwarzschild-Metrik-Tensor ein $g_{\mu\nu}$ hinein $\Gamma^{\sigma}_{\mu\nu} = 1/2 g^{\sigma\alpha}( \frac{\partial g_{\mu\alpha}}{\partial x_\nu} + \frac{\partial g_{\nu\alpha}}{\partial x_\mu} -\frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x_\alpha})$ und rechnen Sie mit der Bewegungsgleichung. Dies ist, denke ich, der einfachste Ansatz.
@MihaiB. Leider würde dies nicht funktionieren. Das würden Sie in einem völlig relativistischen Rahmen tun. Dies wird jedoch in Begriffen des PPN-Formalismus ausgedrückt.
Das ist der Form sehr ähnlich, die in Yeomans, DK, et al. verwendet wird. "Bestimmung der Kometenbahn und nichtgravitative Kräfte." Comets II (2004): 137–151, die auf Anderson JD, et al. "Experimenteller Test der Allgemeinen Relativitätstheorie mit Zeitverzögerungsdaten von Mariner 6 und Mariner 7." Astrophie. J., 200, 221–233. Der einzige Unterschied ist die Verwendung der Gaußschen Gravitationskonstante $k$ anstatt $GM_E$
Wo in der IERTS Technical Note erscheint Ihre eqtn(1)? Ihre Gleichung (10.12) auf S.155 sieht ähnlich aus, hat aber zusätzliche Terme.

Agerhell · Answer 1

Ich sehe, dass Sie auf meine alte Arbeit verweisen. Nun, in meiner Arbeit bezog ich mich auf die andere Ihrer beiden Referenzen, das Buch von JPL. Es gibt einen Ausdruck mit der Nummer 4-26 auf Seite 4-19 in diesem Buch, der sich auf den Ausdruck reduziert, den Sie oben im Fall einer statischen großen Masse und eines kleinen "Testkörpers" geschrieben haben. Die Ableitung des Ausdrucks 4-26 wird auf Seite 4-22 bis Seite 4-24 im gleichen Buch vom Jet Propulsion Laboratory bereitgestellt. Die Herleitung ist mir etwas schleierhaft muss ich aber trotzdem sagen.

https://descanso.jpl.nasa.gov/monograph/series2/Descanso2_all.pdf

Bearbeiten Ich wollte nur hinzufügen, falls jemand hier ankommt und nach einem Ausdruck sucht, dass der obige Ausdruck nur in der schwachen Feldgrenze gut funktioniert. Wie man sieht, nähert es GR an, indem es zwei geschwindigkeitsabhängige Terme und einen abstoßenden inversen Würfelterm einführt. Dies funktioniert im Starkfeldregime nicht gut. Wenn der abstoßende Begriff stärker wird, wenn Sie sich dem Schwarzen Loch nähern, kommt es zu einem „Aufprallen“. In den Simulationen unten repräsentiert der grüne Kreis den Schwarzschild-Radius und der rote Kreis den Radius des "innersten stabilen Kreisradius". Wie in diesem Beitrag zu sehen ist , ist die post-newtonsche Erweiterung auch auf 3PN-Ebene verfügbar, einschließlich weiterer Terme. Vielleicht funktioniert dieser Ausdruck in stärkeren Feldern besser.

Schätzen Sie die Antwort und die Informationen. Ich habe es vor einiger Zeit herausgefunden ;)

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Rumpelstillhaut

N0va

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Michael B.

Rumpelstillhaut

David Hammen

steveOw

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Agerhell

Rumpelstillhaut

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