Könnte die Navier-Stokes-Gleichung direkt von der Boltzmann-Gleichung abgeleitet werden?

Ich weiß, wie man Navier-Stokes-Gleichungen aus der Boltzmann-Gleichung ableitet, falls Volumen- und Viskositätskoeffizienten auf Null gesetzt werden. Ich brauche es nur mit Impuls zu multiplizieren und über Geschwindigkeiten zu integrieren.

Aber als ich versuchte, NS-Gleichungen mit Viskositäts- und Massenkoeffizienten abzuleiten, bin ich gescheitert. Die meisten Lehrbücher enthalten folgende Worte: "Um den Austausch von Teilchen zwischen Fluidschichten zu berücksichtigen, müssen wir den Tensor der Impulsflussdichte modifizieren". Sie behaupten also, dass NS-Gleichungen mit Viskosität nicht aus der Boltzmann-Gleichung abgeleitet werden können, oder?

Die Zielgleichung ist

∂ t ( ρ v 2 2 + ρ ϵ ) = − ∂ x ich ( ρ v ich ( v 2 2 + w ) − σ ich j v j − κ ∂ x ich T ) ,
wo
σ ich j = η ( ∂ x [ ich v j ] − 2 3 δ ich j ∂ x ich v ich ) + ε δ ich j ∂ x ich v ich ,
w = μ − T s entspricht Wärmefunktion, ϵ bezieht sich auf innere Energie.

Bearbeiten. Es scheint, dass ich diese Gleichung habe. Nach Multiplizieren der Boltzmann-Gleichung weiter m ( v − u ) 2 2 und integriert es über v Ich habe eine Transportgleichung, die Objekte enthält

Π ich j = ρ ⟨ ( v − u ) ich ( v − u ) j ⟩ , q ich = ρ ⟨ ( v − u ) 2 ( v − u ) ich ⟩
Um es zu berechnen, muss ich einen Ausdruck für die Verteilungsfunktion kennen. Der Einfachheit halber habe ich die Tau-Näherung verwendet; Am Ende habe ich Ausdruck f = f 0 + g . Ein Ausdruck für Π ich j , q ich werden dann dargestellt durch
Π ich j = δ ich j P − μ ( ∂ [ ich u j ] − 2 3 δ ich j ∂ ich u ich ) − ϵ δ ich j ∂ ich u ich ,
q ich = − κ ∂ ich T ,
damit habe ich das gewünschte ergebnis.

Es scheint in Landau und Lifshitz 10, Kapitel 1 gemacht worden zu sein.
@RobinEkman: meinst du "Kinetik"?
Ja, das ist richtig.
Schlagen Sie die Chapman-Enskog-Gleichungen nach.
@RobinEkman, kein Wunder... alles ist in Landau und Lifshitz. Ich mag besonders ihr Rezept für Bananenbrot.
@RobinEkman: Aber ich sehe die Ableitung dort nicht. Es gibt nur eine Ableitung der Boltzmann-Gleichung mit Spannungstensor. Sollte es multipliziert werden m v 2 2 und integriert über v um die hydrodynamische Gleichung mit der Viskosität zu erhalten?
@NameYYY - Alle Flüssigkeitsgleichungen sind effektiv Momente der Boltzmann-Gleichung. Die Navier-Stokes-Gleichungen sind nur die kombinierten Effekte der Gleichungen des nullten bis zweiten oder dritten Moments, je nach Problem. Also bin ich wohl etwas verwirrt. Viskosität ist nur eine andere Art zu sagen, dass in einem Drucktensor nicht-diagonale Terme vorhanden sind oder dass ein j-Impuls durch die i-te Ebene transportiert wird.
Da diese Frage beantwortet wurde, wird sie aktualisiert.

Antworten (2)

Um speziell eine neuere Frage anzusprechen , die als Duplikat dieser Frage geschlossen wurde:

  • Die Boltzmann-Gleichung basiert zwar auf der Annahme des molekularen Chaos , was bedeutet, dass die Geschwindigkeiten der Teilchen vor der Kollision unkorreliert sind, schließt aber Kollisionen und Energieübertragung nicht aus, was zur Dissipation (insbesondere zur Viskosität) führt.
  • Aus Sicht der BBGKY-Gleichungshierarchie bedeuten Boltzmann-Gleichung und molekulares Chaos, diese Hierarchie zu transkribieren und eine bestimmte Form des Stoßintegrals in den Gleichungen erster Ordnung anzunehmen. Allerdings verwendet man gelegentlich den Begriff Boltzmann-Gleichung für die erste Gleichung in dieser Hierarchie, ohne die Form des Stoßterms explizit anzugeben, was im Prinzip erlaubt, Ergebnisse abzuleiten, die jenseits der molekularen Chaos-Annahme liegen - so scheint die Ansicht zu sein den Wikipedia-Artikel zur Champan-Enskog-Theorie .
  • Unter der Annahme eines lokalen thermodynamischen Gleichgewichts ist das Kollisionsintegral Null, und eine solche kollisionsfreie Boltzmann-Gleichung führt zu hydrodynamischen Gleichungen ohne viskose Terme (dh Euler-Gleichungen ).
  • Die Lockerung der Annahme des lokalen thermodynamischen Gleichgewichts, dh die Berücksichtigung der lokalen Relaxation bei der lokalen Gleichgewichtsverteilung, ermöglicht die Ableitung der Navier-Stokes-Gleichungen. Siehe z. B. diese Anmerkungen für eine kurze Einführung und diese Rezension für eine strengere Behandlung.

Ich denke, du hattest recht. Der viskose Term in den NS-Gleichungen kann nicht aus den Boltzmann-Gleichungen abgeleitet werden. Wenn Sie die Erhaltungssätze aus den Boltzmann-Gleichungen unter Verwendung erster Näherung herleiten, erhalten Sie einen Kraftterm, der den Druck, die viskosen Kräfte und die in den NS-Gleichungen gezeigten äußeren Kräfte enthalten sollte.

Ich denke, die Annäherung des viskosen Terms in den NS-Gleichungen (viskose Spannung in Bezug auf den Geschwindigkeitsgradienten) wurde aus einer Kontinuumsperspektive konstruiert, wobei die Tensorform bestimmte symmetrische Eigenschaften eines Spannungstensors erfüllt. Siehe zum Beispiel "An Introduction to Fluid Dynamics" von GK Batchelor für eine nette Diskussion.

Was ich jedoch gesehen habe, ist die Ableitung der Viskosität durch die Annahme eines Geschwindigkeitsprofils aus der linearisierten Boltzmann-Gleichung. Es handelt sich um eine Frage aus dem Lehrbuch „Statistical Physics of Particles“ von Kardar, Ch. 3 Fragen 9.

Könnte die Navier-Stokes-Gleichung direkt von der Boltzmann-Gleichung abgeleitet werden?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v