Das Potential und die Intensität des Gravitationsfeldes in der Achse einer kreisförmigen Platte [geschlossen]

Lassen Sie uns zuerst das Potential für einen Radiusring berechnen$a$auf Abstand$x$von der Mitte entlang der Achse

Potential aufgrund eines infinitesimalen Massenelements$dm$wird sein

$$\frac{-Gdm}{\sqrt{a^2+x^2}}$$

Potentialbedingt ist dann der Ring

$$\int{\frac{-Gdm}{\sqrt{a^2+x^2}}}=\frac{-G}{\sqrt{a^2+x^2}}\int{dm}=\frac{-Gm}{\sqrt{a^2+x^2}}$$

Seit$G, a, x$sind konstant

Lassen Sie uns nun die Scheibe in unendlich kleine Masseringe zerlegen$dm=2\pi rdr\frac{M}{\pi a^2} (=area * density)$

Das Potenzial aufgrund eines Radiusrings$r$und Masse$dm$wie oben angegeben ist

$$\frac{-Gdm}{\sqrt{r^2+x^2}}=\frac{-2GMrdr}{a^2\sqrt{r^2+x^2}}$$

Integrieren Sie diese aus$0$Zu$a$

$$\int{\frac{-2GMrdr}{a^2\sqrt{r^2+x^2}}}$$ $$=\frac{-GM}{a^2}\int{\frac{2rdr}{\sqrt{r^2+x^2}}}$$ Putten $t^2=r^2+a^2$Und $2rdr=2tdt$ $$=\frac{-GM}{a^2}\int{\frac{2tdt}{\sqrt{t^2}}}$$ $$=\frac{-GM}{a^2}[2t]^{\sqrt{a^2+x^2}}_{x}$$ $$=\frac{-2GM}{a^2}({\sqrt{a^2+x^2}}-{x})$$

Bei der Intensität ist aus der Symmetrie ersichtlich, dass sie entlang der Achse verläuft, daher arbeiten wir nur mit axialen Komponenten

Also zum Klingeln

$$\int\frac{-Gdmcos\theta}{a^2+x^2}$$ Wo $\theta$ist die Hälfte des Winkels, der von der Spitze auf dem Ring aufgespannt wird $$cos\theta=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}$$

$$K=\int\frac{-Gxdm}{(a^2+x^2)^{3/2}}=\frac{-Gxm}{(a^2+x^2)^{3/2}}$$

Für eine Scheibe, basierend auf der gleichen Argumentation wie bei Potenzial, ist es das

$$K=\int\frac{-Gxdm}{(r^2+x^2)^{3/2}}$$ $$=\int\frac{-2GMxrdr}{a^2(r^2+x^2)^{3/2}}$$ $$=\int\frac{-2GMxtdt}{a^2(t^2)^{3/2}}$$ $$=\int\frac{-2GMxdt}{a^2t^2}$$ $$=\frac{-2GMx}{a^2}[\frac{-1}{t}]^{\sqrt{a^2+x^2}}_x$$

$$K=\frac {2 G M}{a^2} \left( \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-1 \right)$$

Brechen wir die Scheibe in kleine Ringe,

Hier hat die Masse in der Scheibe den gleichen Abstand$\sqrt{x^2+r^2}$vom Achsenpunkt A.

Potenzial also

$$\mathrm dE=-\frac{G\,\mathrm dm}{\sqrt{x^2+r^2}}$$

Wo$\mathrm dm$= Masse des Rings. So,

$$\mathrm dm=2\pi r\,\mathrm dr \times \frac M{\pi R^2}$$

Auch$r=x\tan\phi$, So$\mathrm dr=x\sec^2\phi\,\mathrm d\phi$

Das Potenzial ist also vorhanden

$$\mathrm dP=-\frac{GM2\pi x\tan\phi x\sec^2\phi\,\mathrm d\phi}{\left(x\sqrt{1+\tan^2\phi}\right)\times\pi R^2}=-\frac{2 GMx}{R^2}\times\tan\phi\sec\phi\,\mathrm d\phi$$

So,

$$P=-\dfrac{2GMx}{R^2}\times\int\limits_0^{\tan^{-1}R/x} \tan\phi\sec\phi\,\mathrm d\phi$$ Sie können es selbst integrieren.

Sie können auf ähnlicher Basis für das elektrische Feld vorgehen. Vor der Integration müssen Sie jedoch Feldkomponenten entlang der Achse und senkrecht nehmen, da es sich um einen Vektor handelt und nicht direkt hinzugefügt werden kann.

Sie erhalten Feldintegranden als

$$\mathrm dE_x=\frac{2GM}{R^2}\times \int\limits_0^{\tan^{-1}R/x}\frac{\tan\phi\sec\phi}{\sec^2\phi}\,\mathrm d\phi$$

Während entlang$Y$Sie erhalten kein Feld durch symmetrisches Argument.