Addition von Winkelgeschwindigkeiten

Ich versuche, ein Argument in Taylors Classical Mechanics Abschnitt 9.3 zu verstehen.

Betrachten Sie zwei Rahmen, 1 und 2, und einen Körper, 3. Lassen Sie v 21 sei die Relativgeschwindigkeit von Frame 2 bzgl. Frame 1 und sei v 3 ich sei die Relativgeschwindigkeit des Körpers 3 bzgl. des Rahmens ich . Taylor stellt das dann einfach fest

v 31 = v 32 + v 21 .

Dann betrachtet er den Fall, in dem die beiden Frames denselben Ursprung haben und Frame 2 sich relativ zu Frame 1 um diesen Ursprung dreht. Als nächstes verwendet er das wohlbekannte Ergebnis (für das er ein geometrisches Argument angibt) that v = ω × R , Wo ω ist die Winkelgeschwindigkeit des rotierenden Rahmens. Er verwendet dies, um dies (durch Linearität des Kreuzprodukts) zu zeigen

ω 31 = ω 32 + ω 21 ,

wobei sich die Indizes auf dieselben Dinge wie zuvor beziehen und Körper 3 ebenfalls um den gemeinsamen Ursprung rotiert.

Zunächst einmal, was bedeutet es, dass ein Körper eine Geschwindigkeit "relativ zu einem Rahmen" hat? Es macht für mich Sinn, über Geschwindigkeit relativ zu einem Punkt zu sprechen, aber die Art und Weise, wie wir unsere Achsen ausrichten, ändert sicherlich nicht den Geschwindigkeitsvektor, sondern nur die Koordinaten.

Zweitens, was bedeutet es, dass zwei Frames eine relative Geschwindigkeit haben? Wenn sich ein Frame dreht, scheint die relative Geschwindigkeit der beiden Frames davon abzuhängen, zu welchen Punkten Sie sie relativ messen. Aber die einzige nicht willkürliche Art, sie zu messen, wäre die relative Geschwindigkeit ihrer Ursprünge, aber das ist Null, wenn ihre Ursprünge zusammenfallen (wie sie es hier tun).

Ich denke, ich mache mir auch Sorgen darüber, was relative Winkelgeschwindigkeit bedeutet, aber in diesem Fall scheint es weniger problematisch zu sein, da die Ursprünge (um die sich alles dreht) zusammenfallen.

Optimalerweise suche ich nach genauen Definitionen von Begriffen und rigorosen Argumenten für die oben genannten Identitäten und verlasse mich so wenig wie möglich auf meine körperliche Intuition.

Antworten (2)

Zunächst einmal, was bedeutet es, dass ein Körper eine Geschwindigkeit "relativ zu einem Rahmen" hat? Es macht für mich Sinn, über Geschwindigkeit relativ zu einem Punkt zu sprechen, aber die Art und Weise, wie wir unsere Achsen ausrichten, ändert sicherlich nicht den Geschwindigkeitsvektor, sondern nur die Koordinaten.

Dies bedeutet nur, dass Sie, wenn Sie relativ zum Rahmen ruhen würden, beobachten würden, dass der Körper diese Geschwindigkeit hat.

Zweitens, was bedeutet es, dass zwei Frames eine relative Geschwindigkeit haben? Wenn sich ein Frame dreht, scheint die relative Geschwindigkeit der beiden Frames davon abzuhängen, zu welchen Punkten Sie sie relativ messen. Aber die einzige nicht willkürliche Art, sie zu messen, wäre die relative Geschwindigkeit ihrer Ursprünge, aber das ist Null, wenn ihre Ursprünge zusammenfallen (wie sie es hier tun).

Ich denke, hier muss man nur Punkt für Punkt nachdenken. Da sich ein Rahmen relativ zum anderen dreht, hat sicherlich jeder Punkt in einem Rahmen eine andere Relativgeschwindigkeit. v 21 hängt davon ab, welche Koordinate Sie betrachten. Dies zeigt sich in Ihrem Ausdruck v = ω × R . Mit anderen Worten, v 21 ist eine Funktion von R bei den Drehrahmen.

Aber ich kann relativ zu vielen verschiedenen Frames gleichzeitig in Ruhe sein, also wären vermutlich die Geschwindigkeiten relativ zu allen gleich. Ich denke, das macht Sinn. Nur relativ zu Frames, die relativ zueinander beschleunigen, wäre die Geschwindigkeit unterschiedlich. Und was ist ein "Punkt in einem Rahmen"? Ich stelle mir einen Punkt im Raum vor, der relativ zu einer Reihe von Achsen fixiert ist. Die Geschwindigkeit von Frame 2 gegenüber Frame 1 ist also tatsächlich eine (im Allgemeinen) zeitabhängige Funktion, die Punkte in Frame 2 auf ihre Geschwindigkeit abbildet, wie sie von einer Beobachtung im Ruhezustand relativ zu Frame 1 gemessen wird. Wäre das richtig zu sagen?
@DannyHansen Es gibt nur einen Rahmen, in dem Sie sich ausruhen. Er wird Ihr "Ruherahmen" genannt. Dieser Rahmen kann träge sein oder nicht. Und Ihr zweiter Punkt ist richtig. Zum Beispiel in dem rotierenden Fall, nach dem Sie fragen v 21 eines Punktes wäre zeitabhängig.
Ich denke, das verwendet eine andere Definition des Referenzrahmens als die, die mir beigebracht wurde (die einen Ursprung und eine Reihe von Achsen als dem Rahmen innewohnend zu betrachten scheint), aber ich glaube nicht, dass ich jemals eine Definition gesehen habe davon Referenzrahmen, mit denen ich mich wohl fühlte, also egal. Der Unterschied in der Definition spielt sicherlich keine Rolle, wenn nur Geschwindigkeiten und keine Positionen berücksichtigt werden. Vielleicht muss ich auf Sie zurückkommen, nachdem ich das gründlich durchdacht habe. Aber danke schon mal für deine Hilfe!
Um den Punkt zu verdeutlichen, Taylor selbst definiert/charakterisiert einen Referenzrahmen als „eine Wahl des räumlichen Ursprungs und von Achsen, um Positionen zu kennzeichnen [...] und eine Wahl des zeitlichen Ursprungs, um Zeiten zu messen“. Ich fühle mich mit einer solchen Definition viel wohler als mit einer, die sich zB auf einen abstrakten starren Körper bezieht, der sich mit einem Beobachter bewegt. Letzteres kann dann aus ersterem konstruiert werden, indem der Satz von Referenzrahmen durch die offensichtliche Äquivalenzbeziehung partitioniert wird.

Diese Notation ergibt für mich keinen Sinn:

v → 31 = v → 32 + v → 21

Wie können Sie die Vektorkomponenten hinzufügen, wenn sie sich in verschiedenen Frames befinden?

Daher bevorzuge ich diese Schreibweise:

ein Vektor von Punkt 1 zu Punkt 2, wo der Pfeil an Punkt ist 2 Ist:

v → 12

Wenn Sie die Indizes ändern, ändern Sie das Vorzeichen:

v → 21 = − v → 12

Ich brauche einen zusätzlichen Index für den Rahmen, in dem die Vektorkomponenten angegeben sind.

( v → 12 ) B

bedeutet, dass die Vektorkomponenten im Koordinatensystem angegeben sind B

Vektoraddition:

( v → 12 ) B = R C B ( v → 13 ) C + R D B ( v → 32 ) D

Wo R ist die Transformationsmatrix zwischen den Frames

Sie können den Frame-Index weglassen, wenn sich alle Komponenten im selben Frame befinden

Es ist eigentlich eine ziemlich übliche Notation für Relativgeschwindigkeiten.
aber wie können Sie diese Vektoren in einem anderen Rahmen hinzufügen? Warum das nur Notation ist und wir auch verschiedene Sprachen sprechen
Das ist der Punkt der relativen Geschwindigkeiten. Die Geschwindigkeit von 3 wie beobachtet von 1 ist die Geschwindigkeit von 2 wie beobachtet 1 zuzüglich der Geschwindigkeit von 3 wie beobachtet von 2 .
Im ersten Beispiel sind die beiden Frames parallel, aber nicht deckungsgleich.
Dies ist nicht der allgemeine Fall
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