Allgemeiner Ausdruck der Rotverschiebung: Erklärung?

Question

Allgemeiner Ausdruck der Rotverschiebung: Erklärung?

Vinzenz

In einigen Veröffentlichungen haben Autoren die folgende Formel für die kosmologische Rotverschiebung aufgestellt $z$ :

$1+z=\frac{\left(g_{\mu\nu}k^{\mu}u^{\nu}\right)_{S}}{\left(g_{\mu\nu}k^{\mu}u^{\nu}\right)_{O}}$

Wo :

$S$ ist die Quelle und $O$ der Beobachter
$g_{\mu\nu}$ ist die Metrik
$k^{\mu}=\frac{dx^{\mu}}{d\lambda}$ die Koordinatenableitung bezüglich des affinen Parameters ist $\lambda$
$u^{\nu}$ ist die 4-Geschwindigkeit der kosmischen Flüssigkeit

Meine erste Frage ist: Ist es nach der Einstein-Summierung ein Bruchteil von Summen? $\left(\frac{\sum_{\mu\nu}X}{\sum_{\mu\nu}Y}\right)$ oder eine Summe von Brüchen $\left(\sum_{\mu\nu}\frac{X}{Y}\right)$ ?

Meine zweite (und wichtigere) Frage ist: Woher kommt diese Formel? Wo finde ich eine "Demonstration"/"Ableitung"/"Erklärung" davon?

Benutzer4552

Sagen Sie uns bitte, wo Sie das gefunden haben, damit wir etwas Kontext haben. Das einzig Vernünftige, auf das ich mir vorstellen kann, wäre das Ruhesystem des CMB oder des Hubble-Flusses. Betrachten wir den einfachsten Fall, in dem sowohl Quelle als auch Beobachter relativ zum CMB in Ruhe sind. Dann die Geschwindigkeits-Vier-Vektoren

u

$u$ haben beide die Form (1,0,0,0) in ihren jeweiligen Rahmen S und O. Die Gleichung wird

1 + z = f_{S} / f_{O}

$1+z=f_S/f_O$ , was sich einfach als Definition von liest

z

$z$ in Bezug auf die Dopplerverschiebung.

Benutzer4552

Sie können auch den Fall betrachten, in dem S und O durch einen kleinen Abstand getrennt sind, sodass die kosmologische Expansion vernachlässigbar ist. Dann kann derselbe Lorentz-Rahmen beide abdecken, und ich nehme an (habe es nicht ausgearbeitet), dass Sie dann die SR-Doppler-Verschiebung wiederherstellen.

MBN

Der

u^{λ}

$u^\lambda$ ist vermutlich die 4-Geschwindigkeit eines Beobachters. Das Skalarprodukt ist einfach die Frequenz (bis auf eine Konstante) die der Beobachter mit der 4-Geschwindigkeit misst. Die Identität ist ziemlich trivial, einen Beweis in jedem Lehrbuch zu erwarten.

Benutzer4552

@MBN: Es mag eine triviale Identität in SR sein, aber er sagt, dass es für GR in kosmologischen Raumzeiten gültig ist. Das erscheint mir äußerst unspektakulär. Wenn es kosmologisch gültig ist, können Sie uns auf ein Lehrbuch verweisen, in dem es diskutiert wird?

MBN

@BenCrowell: Ich dachte, es folgt direkt aus dem Äquivalenzprinzip. Es ist eine lokale Aussage, die Frequenz, die ein Beobachter misst. Ich habe es in Wald gesehen, wo er die Rotverschiebung für Schwarzschild und FRWL-Raumzeit herleitet. Aber er sagt es nur.

Benutzer4552

@MBN: Entschuldigung, nicht genug Kaffee, Gehirn funktioniert nicht. Mein letzter Kommentar war falsch.

Antworten (2)

Allgemeiner Ausdruck der Rotverschiebung: Erklärung?

Sagen Sie uns bitte, wo Sie das gefunden haben, damit wir etwas Kontext haben. Das einzig Vernünftige, auf das ich mir vorstellen kann, wäre das Ruhesystem des CMB oder des Hubble-Flusses. Betrachten wir den einfachsten Fall, in dem sowohl Quelle als auch Beobachter relativ zum CMB in Ruhe sind. Dann die Geschwindigkeits-Vier-Vektoren $u$ haben beide die Form (1,0,0,0) in ihren jeweiligen Rahmen S und O. Die Gleichung wird $1+z=f_S/f_O$ , was sich einfach als Definition von liest $z$ in Bezug auf die Dopplerverschiebung.
Sie können auch den Fall betrachten, in dem S und O durch einen kleinen Abstand getrennt sind, sodass die kosmologische Expansion vernachlässigbar ist. Dann kann derselbe Lorentz-Rahmen beide abdecken, und ich nehme an (habe es nicht ausgearbeitet), dass Sie dann die SR-Doppler-Verschiebung wiederherstellen.
Der $u^\lambda$ ist vermutlich die 4-Geschwindigkeit eines Beobachters. Das Skalarprodukt ist einfach die Frequenz (bis auf eine Konstante) die der Beobachter mit der 4-Geschwindigkeit misst. Die Identität ist ziemlich trivial, einen Beweis in jedem Lehrbuch zu erwarten.
@MBN: Es mag eine triviale Identität in SR sein, aber er sagt, dass es für GR in kosmologischen Raumzeiten gültig ist. Das erscheint mir äußerst unspektakulär. Wenn es kosmologisch gültig ist, können Sie uns auf ein Lehrbuch verweisen, in dem es diskutiert wird?
@BenCrowell: Ich dachte, es folgt direkt aus dem Äquivalenzprinzip. Es ist eine lokale Aussage, die Frequenz, die ein Beobachter misst. Ich habe es in Wald gesehen, wo er die Rotverschiebung für Schwarzschild und FRWL-Raumzeit herleitet. Aber er sagt es nur.
@MBN: Entschuldigung, nicht genug Kaffee, Gehirn funktioniert nicht. Mein letzter Kommentar war falsch.

Jorge Lavin · Answer 1

Für die erste Frage ist es dieselbe Größe, das Minkowski-Punktprodukt der vier Vektoren $k$ Und $u$ dass Sie anrufen können $A_{O}$ Und $A_{S}$ , Im Algemeinen

G_{μ v} k^{μ} u^{v} = k_{v} u^{v} \equiv A

$g_{\mu\nu}k^{\mu}u^{\nu}=k_{\nu}u^{\nu}\equiv A$

berechnet für die Quelle und berechnet für den Beobachter. Also hast du

1 + z = \frac{A_{S}}{A_{Ö}}

$1+z=\frac{A_{S}}{A_{O}}$

Das ist also ein Bruchteil von Summen und keine Summe von Bruchteilen?
Ja. Der Beweis geht in die Richtung, dass die Energie des Photons ( $E=h\nu$ ) ist genau dieses Punktprodukt, aber ich kann keine detaillierte Erklärung geben
Dies ist in Bezug auf die rein notatorischen Probleme in Ordnung, erklärt jedoch nicht, warum das innere Produkt $k_\nu u^\nu$ interessant ist, oder warum das "kosmische Fluid" relevant ist.
@BenCrowell, fair genug, ich habe nur die Hälfte der OP-Frage beantwortet, und ich behaupte, dass ich keine vollständige Erklärung dafür geben kann, warum diese Menge relevant ist.
@BenCrowell: $k_\nu u^\nu$ ist nur die Energie, und das "kosmische Fluid" kommt herein, weil wir es mit Quelle und Beobachter zu tun haben, die sich mit dem Hubble-Fluss mitbewegen

Christoph · Answer 2

Die Energie $h\nu$ eines Photons ist einfach die Kontraktion

H v = G_{a β} k^{a} u^{β}

$h\nu = g_{\alpha\beta} k^\alpha u^\beta$ seines Schwungs

k^{μ}

$k^\mu$ mit der Geschwindigkeit des Rahmens

u^{μ}

$u^\mu$ .

Die Frequenzverschiebung ist dann gegeben durch

1 + z = \frac{v_{S}}{v_{Ö}} = \frac{(G_{a β} k^{a} u^{β})_{S}}{(G_{σ ρ} k^{σ} u^{ρ})_{Ö}}

$1 + z = \frac{\nu_S}{\nu_O} = \frac{(g_{\alpha\beta} k^\alpha u^\beta)_S}{(g_{\sigma\rho} k^\sigma u^\rho)_O}$ wobei wir die Geschwindigkeiten von Quelle und Beobachter mit bezeichnen

u^{μ}

$u^\mu$ da wir es mit dem Spezialfall der kosmologischen Rotverschiebung zu tun haben, wo Quelle und Beobachter mit dem Hubble-Fluss mitbewegt werden sollen.

Das Momentum $(k^\mu)_S$ Und $(k^\mu)_O$ des Photons zu Zeiten der Emission und Absorption sind durch parallelen Transport entlang der Photonen-Weltlinie miteinander verbunden, und wenn die Weltlinie nicht affin parametrisiert ist, ist das Lösen der parallelen Transportgleichung eine Möglichkeit, die Frequenzverschiebung zu berechnen, die für beliebige Raumzeiten funktioniert.

Dies ist eigentlich nichts anderes als die Verallgemeinerung des speziellen relativistischen Doppler-Effekts und reduziert sich in der Minkowski-Raumzeit (oder sogar nur in normalen Koordinaten, wenn wir die Quellgeschwindigkeit entlang der Photonen-Geodäte transportieren) auf den Doppler-Faktor.

Ich habe mir die Zeit genommen, das ausführlicher zu schreiben .

Allgemeiner Ausdruck der Rotverschiebung: Erklärung?

Vinzenz

Benutzer4552

Benutzer4552

MBN

Benutzer4552

MBN

Benutzer4552

Antworten (2)

Jorge Lavin

Vinzenz

Jorge Lavin

Benutzer4552

Jorge Lavin

Christoph

Christoph

Isotropie der 3-Raum- und Raumzeitmetrik

Rotverschiebungslicht in einem expandierenden Universum

Manipulation der Tensor-Index-Notation

Wie kann ich zwei separate Gleichungen für Christoffel-Symbole erstellen, die dieselbe Antwort geben?

Problem beim Erhöhen / Senken von Indizes in kovarianten Ableitungen [geschlossen]

Zwei Robertson-Walker-Beobachter, wann wird ein Lichtsignal empfangen?

Unterschied zwischen schrägen Indizes auf einem Tensor

Frage von Schutz

Ist ein metrisches Tensorfeld dasselbe wie ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds²=−dt²+dx²+dy²+dz²ds² = -dt² + dx²+ dy² + dz²?

Warum ist die kovariante Ableitung des metrischen Tensors Null?