Anfänger-Feedback zu echten Analyse-Proofs

Was Sie tun, ist die richtige Logik mit Worten zu schreiben. Sie müssen es nur in Form von mengentheoretischen Symbolen schreiben und ein paar Entartungen aussortieren (auch dies wird als Gesetz von De-Morgan bezeichnet ). Angenommen, Sie arbeiten unter dem universellen Satz$U$.

Schritt 0:- Nehmen Sie die Nicht-Leerheit von an$(A\cap B)^c$Und$A^c\cup B^c$

Schritt 1. auswählen$x\in (A\cap B)^{c}$. So$x\notin A\cap B$.

Schritt 2.$x\notin A\cap B\implies x\notin A\,\text{or}x\notin B$.

Schritt 3.$x\notin A\,\text{or}x\notin B\implies x\in A^c\text{or}\,x\in B^{c}$

Schritt 4:-$x\in A^c\text{or}\,x\in B^{c}\implies x\in A^c \cup B^c$

So$(A\cap B)^{c}\subset A^c\cup B^c$.

Schritt 5:-Jetzt wählen$y\in A^c\cup B^c$.

Schritt 6:-$y\in A^c\cup B^c\implies y\in A^c\,\text{or}\,y\in B^c$

Schritt 7:-$y\in A^c\text{or}y\in B^c\implies y\notin A\,\text{or}\,y\notin B$

Schritt 8:-$y\notin A\,\text{or}\,y\notin B\implies y\notin A\cap B$

Schritt 9:-$y\notin A\cap B\implies y\in (A\cap B)^c$

So$A^c\cup B^c\subset (A\cap B)^c$.

Das siehst du jetzt also$A^c\cup B^c\subset (A\cap B)^c$Und$(A\cap B)^{c}\subset A^c\cup B^c$. Das kann nur so gemeint sein$(A\cap B)^{c}=A^c\cup B^c$

Jetzt sortieren Sie die degenerierten Fälle aus:- if$(A\cap B)^{c}=\phi$. Dann$A\cap B=U$. So$A=U$Und$B=U$als$A\cap B\subset A$Und$A\cap B\subset B$. In diesem Fall ist es die LHS$\phi$und die RHS ist$A^c\cup B^c=U^c\cup U^c = \phi\cup \phi = \phi$. Gleichheit gilt also.

Wenn$A^c\cup B^c=\phi$implizieren$A^c=\phi$Und$B^c=\phi$als$A^c\subset A^c\cup B^c$Und$B^c\subset A^c\cup B^c$. Also hast du$A^c=\phi\implies A=U$Und$B^c=\phi\implies B=U$. Also nochmal$LHS=\phi=RHS$. Also gilt wieder Gleichheit.

Damit ist der Beweis abgeschlossen.

Beachten Sie, dass Sie die Kisten aussortieren müssen, wenn sie leer sind, da wir in diesem Fall keine „aussuchen“ können$x$von überall. Sie müssen die Fälle also getrennt behandeln

Mit etwas Übung können Sie prägnantere Beweise schreiben, indem Sie das logische „oder“ und „und“ verwenden, d. h.$\lor$Und$\land$, sowie die Symbole$\implies$Und$\iff$. Behandeln$\lor$Und$\land$als binäre Operationen, wobei jede über die andere distributiv ist.

Angenommen, wir nehmen Ergänzungen in einem Satz$X$, mit$A\subseteq X$Und$B\subseteq X.$Dann für alle$x$wir haben

Die in den anderen Antworten teilweise zum Ausdruck gebrachte Idee, dass das Ersetzen von Wörtern durch Symbole die Beweise irgendwie verbessert, ist (zumindest aus meiner persönlichen Sicht) falsch. Wann immer ich Studenten im Grundstudium das Schreiben von Korrekturen beigebracht habe, bestand das Haupthindernis zu Beginn des Kurses darin, sie dazu zu bringen, verständliche englische Aussagen zu schreiben und nicht nur Folgen von Symbolen. Das heißt natürlich nicht, dass Sie Symbole vermeiden müssen. Aber es gibt keinen Grund, sich die Mühe zu machen, mehr Symbole in einen Beweis zu stopfen, nur damit er "formeller" oder "mathematischer" aussieht. Ob ein Beweis gültig ist oder nicht, hat nichts mit dem Verhältnis von Wörtern zu Symbolen zu tun.

Die Vorstellung, dass Symbole irgendwie besser sind als Worte, ist eher eine Cargo-Kult-Idee der Mathematik als eine Meinung, die eine Mehrheit der Mathematiker vertritt. Sie scheinen diesen Teil des Beweisschreibens gut verstanden zu haben, daher rate ich Ihnen, auf Ihrer guten Angewohnheit aufzubauen , perfekt verständliches Englisch zu schreiben, anstatt zu versuchen, es durch Symbole zu ersetzen.

Nun zu etwas Feedback: Das stilistische Feedback wäre, Sätze wie „Elemente stammen aus$A$" oder "... kann man sich als die Menge der Elemente vorstellen, die nicht enthalten sind$A$Und$B$". Wir sagen nicht wirklich, dass Elemente aus einer Menge stammen. Sie sagen vielmehr, dass sie zu einer Menge gehören oder darin liegen oder Elemente einer Menge sind. Auch wenn Sie das sagen wollen$X$Ist$Y$, sag das einfach$X$ Ist $Y$. Zu sagen, dass es "angedacht werden kann als$Y$" lässt es nur so klingen, als würden Sie sich absichern, weil Sie sich nicht sicher sind, ob oder inwieweit das stimmt. Der Ausdruck das$X$kann man sich vorstellen als$Y$ist besser geeignet, wenn Sie versuchen, eine komplizierte Konstruktion in einem kurzen Slogan intuitiv zu erklären, was Sie hier nicht wirklich tun.

Die Formulierung „die Menge der Elemente nicht in$A$Und$B$“ ist etwas zweideutig: Es könnte auch gelesen werden als „Elemente, die nicht in sind$A$und nicht drin$B$". Wenn Sie etwas sagen wie "Elemente, die nicht zu beiden gehören$A$Und$B$“, wäre es weniger zweideutig.

Soweit die Logik des Beweises geht, macht es Sinn, aber es hat einige redundante Teile und geht irgendwie hin und her, anstatt von Punkt A (Annahme) zu Punkt B (Schlussfolgerung) zu gehen. Zum Beispiel könnte man den ersten Absatz des Beweises komplett entfernen und es wäre immer noch ein gutes Argument. So könnten Sie einen prägnanteren Beweis schreiben:

Wenn$x \in (A \cap B)^c$, Dann$x$ist kein Element der Menge$A \cap B$. Jetzt$x$ist ein Element von$A \cap B$wenn und nur wenn beides$x \in A$Und$x \in B$. Daher, wenn$x \notin A \cap B$, dann entweder$x \notin A$oder$x \notin B$. Mit anderen Worten,$x \in A^c$oder$x \in B^c$. In beiden Fällen,$x \in A^c \cup B^c$.

(Außerdem ist mein letztes Feedback, dass dies nicht wirklich das ist, was man sich als "echten Analysebeweis" vorstellen würde, obwohl es in einem echten Analyselehrbuch vorkommt, da es keine der charakteristischen Begriffe der echten Analyse wie Derivate beinhaltet , Integrale oder auch Funktionen, eher als elementare Mengenlehre einzuordnen.)