Argument für die quantentheoretische Konformität der N=2N=2\cal{N}=2 Super-Chern-Simon-Theorie in 2+12+12+1 Dimensionen

Das übliche Argument dafür, warum die Chern-Simons-Aktion genau konform ist, ist, dass die Aktion nur dann eichinvariant ist, wenn die Kopplungskonstante oder das Chern-Simons-Niveau ist$k$(die Sie nicht in Ihren Lagrange aufgenommen haben) ist ganzzahlig. Wenn die Theorie nicht konform wäre, gäbe es eine Beta-Funktion ungleich Null, die die Kopplung kontinuierlich von der Renormierungsskala abhängig machen würde$\Lambda$. Aber die Ganzzahl$k$kann keine stetige Funktion von sein$\Lambda$, und daher muss die Beta-Funktion verschwinden. Dieses Argument hängt nicht von der Supersymmetrie ab und gilt daher genauso gut für die$\mathcal{N}=2$Fall in Ihrer Frage.

Was die Erweiterung an$\mathcal{N}=3$: Wenn ich mich richtig erinnere, müssen Sie zwei chirale Multipletts hinzufügen$Q$Und$\tilde{Q}$in konjugierten Darstellungen der Eichgruppe und mit einem kinetischen Term plus einem Superpotential der von Ihnen angegebenen Form (etwas wie$W = \frac{1}{k} (\tilde{Q}T^aQ) (\tilde{Q}T^aQ)$). Von$\mathcal{N}=3$Supersymmetrie ist die Kopplung dieselbe wie das Chern-Simons-Niveau, und daher ist die Theorie wieder konform. Leider kenne ich keine gute Referenz, die eine allgemeine Einführung in diese Theorie gibt. Für einige neuere Anwendungen siehe zB Artikel von Gaiotto und Yin (arXiv:0704.3740) und Aharony, Bergman, Jafferis und Maldacena (arXiv:0806.1218). Diese Referenzen enthalten auch Diskussionen darüber, wie die$\mathcal{N}=3$Chern-Simons-Theorie tritt als konformer Fixpunkt ausgehend auf$\mathcal{N}=2$oder$3$Chern-Simons-Materie-Theorie oder Yang-Mills-Chern-Simons.