Außerdiagonale Elemente der Dichtematrix, Messung der Kohärenz?

Wenn es um Dekohärenz geht, wird oft gesagt, dass die nichtdiagonalen Elemente der Dichtematrix für die Kohärenz verantwortlich sind. Sie verschwinden, wenn kein Zusammenhang besteht. Ich habe viel Zeit damit verbracht, das zu verstehen, und bin mir immer noch nicht sicher, ob meine Erklärung richtig ist. Mal sehen:

Stellen Sie sich vor, wir könnten ein von beschriebenes Ensemble klonen$\rho$bevor Sie Messungen daran vornehmen. Diese magische Technik würde es uns ermöglichen, Wahrscheinlichkeiten für Messergebnisse zu erhalten, ohne das ursprüngliche Ensemble zu zerstören. Im ersten Durchlauf würden wir die Wahrscheinlichkeit für bestimmen$|\psi_0\rangle$Und$|\psi_1\rangle$was sein sollte$\langle \psi_0 | \rho | \psi_0 \rangle$Und$\langle\psi_1|\rho|\psi_1\rangle$bzw. Für die nächsten Experimente ändern wir das Messgerät, um eine andere Observable zu messen. Nehmen wir an, dass die Menge der orthonormalen Eigenvektoren dieser zweiten Observablen ein Element der Form enthält

$$|\sigma\rangle := \alpha |\psi_0\rangle + \beta|\psi_1\rangle.$$ Wenn es keine Kohärenz im Ensemble gibt, würden wir die Wahrscheinlichkeit für erwarten $|\sigma\rangle$sein $$|\alpha|^2 \langle\psi_0|\rho|\psi_0\rangle + |\beta|^2 \langle \psi_1 | \rho| \psi_1 \rangle.$$ Aber wenn unsere Experimente eine andere Wahrscheinlichkeit zeigen, würde man wahrscheinlich sagen: "Bazinga, da geht ein Quantengeheimnis (auch bekannt als Kohärenz) vor sich". Die Quantentheorie sagt, dass die Wahrscheinlichkeit für $|\sigma\rangle$Ist $$\langle \sigma |\rho |\sigma \rangle = |\alpha|^2 \langle\psi_0|\rho|\psi_0\rangle + |\beta|^2 \langle \psi_1 | \rho| \psi_1 \rangle + 2\Re\big( \alpha^*\beta \langle \psi_0|\rho|\psi_1\rangle\big),$$ was sich von dem obigen unterscheidet, wenn das Element außerhalb der Diagonale ist $\langle\psi_0|\rho|\psi_1\rangle$verschwindet nicht. Zusammenfassend sehen wir Dekohärenz, wenn die Dichtematrix nicht verschwindende Elemente außerhalb der Diagonale hat.

Es gibt noch einen weiteren Punkt, den ich in diesem Zusammenhang erwähnen möchte. Nehmen wir an, unsere Dichtematrix hat alle verschwindenden Elemente außerhalb der Diagonale. Bedeutet dies, dass es keine Kohärenz im Ensemble gibt? Ich denke, die richtige Antwort auf diese Frage ist "nein, aber...". Lass uns genauer hinschauen. Für eine Dichtematrix

$$\rho = \sum_k p_k |\varphi_k\rangle\langle\varphi_k|,$$ Wo $p_k$ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich ein System in dem Zustand befindet $|\varphi_k\rangle$, verschwindende außerdiagonale Elemente bedeuten nur das $$0 = \sum_k p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle,$$ dh die Elemente $p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle$ auf null summieren . Um sicher zu sagen, dass es keine Kohärenz gibt, brauchen wir alle Elemente $p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle$Null ist, aber dies ist nicht das, was aus dem Verschwinden von Elementen außerhalb der Diagonale folgt. Der entscheidende Punkt ist, dass wir keine Möglichkeit haben, zwischen verschiedenen Ensembles zu unterscheiden, die durch dieselbe Dichtematrix beschrieben werden. Für unsere Experimente also ein Ensemble, in dem alle $p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle$ Sum up to Zero verhält sich genau wie ein Ensemble, in dem all $p_k \langle \psi_0 | \varphi_k \rangle \langle \varphi_k | \psi_1 \rangle$verschwinden, dh ein Beispiel ohne kohärente Zustände. Zusammenfassend lässt sich sagen, dass sich ein durch eine Dichtematrix mit verschwindenden außerdiagonalen Elementen beschriebenes Ensemble so verhält, als gäbe es keine kohärenten Zustände. Es mag in unserem Ensemble noch kohärente Zustände geben, aber wir haben keine Chance, sie zu erkennen.

Du hast Recht. Die Nebendiagonalen repräsentieren die Kohärenz zwischen den beiden Möglichkeiten.

Es kann tatsächlich gemessen werden. Erwägen Sie, im +/- Bais zu messen. IE wirkt auf Ihre Dichtematrix mit dem Operator$|+\rangle \langle+|$Wo:

$|+\rangle = (|0\rangle + |1\rangle) / \sqrt2$.

Der Erwartungswert dieses Operators ist gegeben durch Tr($\rho |+\rangle \langle+|$).

Wenn Sie dies in Ihr Beispiel einfügen, stellen Sie fest, dass das Ergebnis der Messung über die Zeit oszilliert, mit einer Frequenz, die der Energiedifferenz entspricht. Wenn Sie stattdessen die Dichtematrix ohne Nebendiagonalen hätten, wäre diese Größe "flach" (zeitlich unveränderlich, Wert 1/2).

Ihr Qubit könnte sich im Zustand befinden$|0\rangle$, in diesem Fall hat der obige Operator einen Erwartungswert von 1/2. Wenn es im Staat wäre$|1\rangle$wieder ist der Wert 1/2. Wenn wir eine Maschine hätten, die eine Münze wirft und beides macht$|0\rangle$oder$|1\rangle$dann gehört die von der Maschine ausgespuckte Dichtematrix Ihnen, aber ohne Nebendiagonalen, und in diesem Fall ist das erwartete Ergebnis der Messung wieder 1/2.

Aber Ihr Zustand ist auf diese Weise keine zufällige Auswahl der beiden Optionen, sondern eine Quantenüberlagerung, sodass sich die Wahrscheinlichkeiten der beiden möglichen Fälle nicht einfach auf die normale Weise addieren, was die Off-Diagonalen verfolgen.