Basiert Mathematik auf Überzeugungen und Annahmen?

Mathematik basiert vollständig auf Annahmen. Wie Sie sagen, ist der größte Teil der Standardmathematik im Grunde von ZF oder ZFC abgeleitet.

Sie müssen sich manchmal sogar auf Annahmen verlassen, aber ich denke, Sie wissen das bereits, als Sie Gödels Unvollständigkeitssatz erwähnen. Ein berühmtes Beispiel ist die Continuum-Hypothese , die innerhalb der Grenzen von ZF oder ZFC weder falsch noch richtig bewiesen werden kann. Um also damit arbeiten zu können, muss man entweder davon ausgehen, dass es wahr ist oder nicht.

Aber: Dass die aktuellen Axiome so sind, hat einen Grund. Sie fühlen sich für viele Menschen einfach richtig an und sie scheinen die Realität korrekt zu erfassen - dh sie scheinen eine Theorie zu begründen, die auf reale Dinge angewendet werden kann (wie zum Beispiel Berechnungen in der Physik oder in der Informatik).

Werfen Sie auch einen Blick auf diese Frage: Wurde die Mathematik erfunden oder entdeckt? .

Allerdings finde ich in dieser Phase meines Lebens keine Motivation, weil ich nicht weiß, was ich weiß oder was wir wissen können oder wo ich überhaupt anfangen soll.

Alle Mathematiker, unabhängig davon, ob sie Standardmathematik verwenden (d. h. die Axiome akzeptieren, die die Standardmathematik begründen) oder Nicht-Standardmathematik (was bedeutet: andere Axiome und Regeln, sie lehnen die Mainstream-Axiome ab und glauben nicht, dass sie sie feel rightsind), akzeptieren dies der aktuelle Stand der Technik in Bezug auf die gewählten Axoime korrekt, dh wahr ist - es scheint also etwas zu geben, was es erlaubt, die Richtigkeit einer Aussage in Bezug auf beliebige Axiome zu falsifizieren. Und: Sie kommen zum gleichen Schluss.

Kurz gesagt: Es scheint etwas zu geben, das es Ihnen erlaubt, über die Wahrheit nachzudenken. Dieses Etwas wird in der Mathematik (und auch in philosophischen Debatten) nicht verletzt. Ich würde sogar so weit gehen und sagen, dass Mathematik etwas ist, das im menschlichen Geist entsteht (wobei ich denke, dass Mathematik so ist, wie sie ist, weil der menschliche Geist so ist).

Ob dieses Etwas Vernunft ist , ob es andere Denkweisen gibt und wie all diese Dinge funktionieren, ist Gegenstand einer anderen Diskussion. Ich glaube jedoch, dass am Ende alles im Glauben und Annehmen endet.

Ich zum Beispiel glaube an meine Existenz und nehme an, dass es da draußen andere, reale Menschen gibt, die, wenn ihnen ein Satz von Axioen gegeben wird, die gleiche Mathematik ableiten wie ich, wenn ich es tue. Aber es gibt keine Möglichkeit, irgendetwas davon zu erden.

Ja, Mathematik (und klassische Logik) basieren auf Überzeugungen und Annahmen.

Einige davon sind ausdrücklich als Axiome formuliert.

Andere bleiben im Allgemeinen unausgesprochen. Ein gutes Beispiel dafür findet sich in Lewis Carrolls bahnbrechendem Aufsatz What the Tortoise Said to Achilles

Es scheint, dass das, was als luftdichte Logik erschien, tatsächlich voller Paradoxien, Zirkularität und Relativität ist

Das ist in der Tat der Fall. Versuchen Sie, sich davon nicht unterkriegen zu lassen.

BEARBEITEN:

Warum dies notwendigerweise der Fall ist, finden Sie in Agrippas Trilemma .

Provokativerweise ist es buchstäblich richtig, dass Mathematik auf Überzeugungen und Annahmen basiert, aber das ist irreführend in seiner schockierenden Schlagzeilen-frechen Widersprüchlichkeit.

Was die Leute für Mathematik halten, meistens Arithmetik, ist so offensichtlich, dass es verrückt wäre, daran zu zweifeln (zB Orwells „2+2=4“-Szene in „1984“). Sobald Sie die Regeln der Geometrie gelernt haben, sind die Dinge zwar nicht offensichtlich, aber sobald eine Aussage bewiesen ist, ist sie unumstößlich.

Sobald etwas bewiesen ist, funktioniert dieses „Theorem“ psychologisch genauso wie eine Überzeugung; man hält für wahr, was vorher war (mit einem Theorem kam etwas Berechtigtes vorher). Und oft nimmt ein Mathematiker Theoreme, die jemand anderes angeblich bewiesen hat, ohne diesen Satz vollständig zu beurteilen, und behandelt ihn als wahr, genau wie einen Glauben. Es ist also wirklich ein Glaube.

Aber beim Enträtseln eines Theorems stößt man auf Theoreme darin, und in diesen sogar auf „kleinere“ oder „vorherige“ Theoreme, die bewiesen werden müssen … wo hört es auf? Nun, das ist, was ein „Axiom“ ist, eine Behauptung, die ohne Rechtfertigung künstlich für wahr gehalten wird; es ist einfach.

Solche Axiome werden im Grunde genommen, das ist eine lustige Art zu sagen, als Glaubenssache (natürlich werden die meisten Axiome wirklich als wahr 'gesehen', so wie '2+2=4' als wahr angesehen wird (mit kaum ein Gedanke).

Jetzt denken Sie vielleicht, ok, gut, aber es muss -etwas- in der Mathematik geben, das grundsätzlich unbestreitbar ist, schließlich ist es die Mathematik, wenn eine Wissenschaft die Chance hat, wirklich wahr zu sein (im Gegensatz zu Physik und anderen Naturwissenschaften, wo man es kann). kontingente Tatsachen leicht vorstellen).

Die Logik hat den größten Anspruch, dieser fundamentale Teil der Mathematik zu sein. Und es -ist- das grundlegendste. Aber mathematisches Denken ist auf etwas perverse Weise das skeptischste Denken von allen; Sie sehen ein Muster (alle Primzahlen >2, die ich gesehen habe, sind alle ungerade), aber Sie haben das Bedürfnis, es -zu beweisen-, haben -keine- Zweifel, dass es wahr ist. Und logischen Regeln gegenüber kann man immer noch skeptisch sein. Es ist eine großartige -Errungenschaft- der Logik des 20. Jahrhunderts, dass man einfachen Aussagen wie "'P oder nicht P' ist eine Tautologie" skeptisch gegenüberstehen und daher einen Beweis verlangen kann, und auch zu sehen, dass geheimnisvolle Änderungen in der Definition dieser Begriffe möglich sind machen diese Aussage eigentlich nicht wahr.

Obwohl die Mathematik so offensichtlich wahr aussieht, sind bei jedem Schritt Überzeugungen und Annahmen im Spiel.

Mathematik basiert nicht auf Annahmen und Überzeugungen, obwohl dies bei den Axiomensystemen der Fall ist. Es basiert auf dem Begriff der Berechnung. Der Begriff der Berechnung ist unveränderlich, er ist in jedem ausreichend komplexen Axiomensystem gleich, so dass die Computer von PRA, PA, ZF, ZFC, ZF + große Kardinäle oder jedes andere Axiomensystem mit ausreichender Leistung beschrieben werden, um einen Computer zu beschreiben ; sind alle gleich.

Dies unterscheidet sich von anderen Konzepten in der Mathematik – die Menge der reellen Zahlen zum Beispiel unterscheidet sich notorisch von Axiomensystem zu Axiomensystem und innerhalb eines gegebenen Axiomensystems von Modell zu Modell. In einigen Axiomensystemen für die Mengenlehre haben die reellen Zahlen die Kardinalität Aleph-1 (die erste nicht zählbare Kardinalzahl), wobei die bekannteste V = L (Godels konstruierbares Universum) ist. In einigen Modellen von ZFC hat es die Kardinalität Aleph-19. Die Frage nach der Kardinalität reeller Zahlen ist nicht unbedingt aussagekräftig, weil sie nicht rechnerisch ist.

Wenn Sie eine rechnerische Grundlage verwenden, können Sie Ihre Verwirrung loswerden – was ich „Godel-Krankheit“ nennen werde. Jeder Mathematiker durchläuft die Gödel-Krankheit, wenn er von Gödels Theorem hört, bis er tatsächlich Logik studiert. Gödels Argument zeigt im Wesentlichen nur, dass der Begriff Berechnung, der absolut ist, verwendet werden kann, um Axiomensysteme stärker zu machen, bis Sie die Grenzen der Berechnung erreichen.

Man kann Mathematik (vernünftigerweise) wie folgt definieren:

Das Problem, herauszufinden, welche Computerprogramme anhalten und welche nicht.

Die Sache mit Computerprogrammen ist, dass Sie es in endlicher Zeit sehen können, wenn sie anhalten (aber es könnte zu lange dauern, zu warten), und wenn sie es nicht tun, können Sie es manchmal beweisen (aber es könnte zu lange dauern). finden Sie den Beweis, oder das Axiomensystem könnte zu schwach sein). Diese Dinge sind absolut und beziehen sich nur auf ganze Zahlen und Operationen, die eindeutig sinnvoll sind. Das einzige womöglich Unsinnige ist hier die Grenze der unendlichen Zeit, aber ich gehe davon aus, dass Sie diese mildeste aller Unendlichkeiten akzeptieren können.

Um zu sehen, dass diese Definition fast die gesamte gewöhnliche Mathematik umfasst, betrachten Sie eine beliebige Vermutung C und fragen Sie:

Implizieren die Axiome von ZF (oder ZF+große Kardinalzahlen) C?

Bei dieser Frage geht es um das Anhalten eines Computerprogramms; es fragt:

Betrachten Sie das Computerprogramm DEDUCE, das mit den Axiomen von ZF beginnt und Logik anwendet, und wenn es Anweisung C findet, stoppt. Hält DEDUCE an?

Wenn Sie das Halteproblem lösen können, wissen Sie, welche Sätze Folgen von ZF sind.

Aber das ist noch nicht alles Mathematik, wie Sie sehen, wenn Sie die Anweisung „C“ für „Programm R hält nicht“ nehmen, wobei R der Code des Programms DEDUCE selbst ist. Diese Konstruktion beweist den Satz von Gödel.

Gödels Theorem ist keine Einschränkung der Mathematik, und Chaitins Interpretation ist wahrscheinlich völlig falsch. Wenn Sie das Axiom hinzufügen, dass das obige Programm nicht anhält (dies entspricht der Konsistenz der Axiome von ZF), dann erhalten Sie ein stärkeres System. Die Iteration von Gödels Konstruktion über alle zählbaren berechenbaren Ordinalzahlen (die Art, die Sie auf einem Computer manipulieren können) beweist nach allem, was wir wissen, jeden Satz der Form „Programm P hält nicht an“ (und sogar mit Orakeln, so dass es die Antwort auf produziert alle mathematischen Fragen).

Der Iterationsprozess macht das Axiomensystem komplexer und ermöglicht sogar die Beantwortung von Chaitins Fragen (nachweislich langsam, nur wenn die Ordnungszahl komplex genug wird, um eine rechnerische Komplexität zu haben, die größer ist als die Komplexität des Programms, das Sie beweisen möchten, ist minimale Länge). Dadurch wird die Mathematik am oberen Ende unvollständig – Sie müssen immer genauere Beschreibungen großer zählbarer Ordinalzahlen geben.

Dieser Standpunkt stellt Berechnungen an die Grundlagen, da das Konzept der Berechnung im Gegensatz zu jedem anderen grundlegenden Konzept unabhängig von den Axiomen ist – es ist die Turing-Berechnung in allen vernünftigen Definitionen. Alle mathematischen Fragen rechnerisch auszudrücken macht deutlich, wann sie testbar sind, und die rechnerischen Darstellungen von Modellen der Mengenlehre machen deutlich, dass Banach Tarsky genauso falsch wie wahr ist, da es in beide Richtungen erzwungen werden kann.

Der beste Weg, sich von der Gödel-Krankheit zu befreien, ist wie folgt:

• Ordnungsanalyse: Dies ist Hilberts Programm unter einem neuen Namen. Es ist in Deutschland lebendig und wohlauf. Es strebt danach, die Konsistenz von ZF anhand einer großen zählbaren Ordinalzahl zu beweisen. Ein Highlight dabei ist die Kripke-Platek-Mengentheorie, die im Gegensatz zu ZF eine vollständig verstandene ordinale Komplexität aufweist.
• Cohen-Forcing: Dies ist die Analyse von Modellen der Mengentheorie, die es jedoch ermöglicht, neue Elemente an das Modell anzufügen, die in jeder Menge vorkommen, in der Sie eine unendliche Anzahl von binären Auswahlmöglichkeiten haben, um ein Element auszuwählen (wie die Menge der Realzahlen, die haben unendlich viele Binärziffern). Das Erzwingen macht es offensichtlich, dass Banach Tarsky genauso gut falsch sein könnte (ZFC ist nicht genau bei der Modellierung der intuitiven Realzahlen), Sie können jede Teilmenge von R messbar machen, Sie können die Kontinuumshypothese wahr oder falsch machen, und im Allgemeinen werden Sie absolut unentscheidbar Fragen zu allen Sammlungen, die zu groß sind, um sie auf einem Computer aufzuzählen.
• Umgekehrte Mathematik: Dies versucht, die genaue axiomatische Stärke jedes Theorems in der Mathematik zu identifizieren

All dies sind ziemlich aktive Dinge in der Logik, aber sie werden nicht beworben, weil Logiker dazu neigen, in obskurem Jargon zu sprechen und die Dinge für sich behalten, indem sie hohe Eintrittsbarrieren in ihrem Bereich errichten. In Manins Buch finden Sie eine gute Einführung in die Logik und insbesondere in das Forcieren. Es gibt online gute englische Artikel (von der deutschen Schule) über Ordinalanalyse, und Harvey Friedman ist der Gründer des Programms für umgekehrte Mathematik.

Wenn Sie damit beginnen, den Vollständigkeitssatz zu lernen, ist dies der erste Schritt, um die Gödel-Krankheit loszuwerden, die nicht das unüberwindliche Dilemma ist, das sie zu sein scheint.

Mathematik basiert nicht auf Annahmen.

Die am häufigsten verwendete Mathematik ist ja, aber nicht als Ganzes. Wenn Sie sich das gesamte mathematische Gebiet ansehen, stellen Sie fest, dass jede mögliche Gruppe von Annahmen untersucht wird, was auf keine Annahme hinausläuft. Die Mathematik ist nicht auf eine Reihe von Axiomen beschränkt, denen jeder folgt, die Menschen erforschen tatsächlich fast jedes denkbare axiomatische System und mögliche Ableitungsregeln. Was jedoch beobachtet wurde, ist, dass viele dieser Systeme nicht interessant sind oder keine fruchtbaren Strukturen bieten und dass ein Großteil der Mathematik, die wir brauchen oder an der wir interessiert sind, mit einigen kleinen gemeinsamen Annahmen möglich ist.

Um zu beweisen, dass wir keine Annahmen verwenden, versuchen Sie, ein beliebiges deterministisches System aufzuschreiben. Sofern Sie die Church-Turing-These nicht gerade widerlegt haben, ist Ihr System bereits durch unser mathematisches System beschreibbar und wahrscheinlich isomorph zu einem bereits entdeckten Modell. Wie wäre es möglich, dass wir jedes System, das Sie machen, auf irgendwelchen Annahmen modellieren und beschreiben können, wenn unser System auf engen Annahmen und Überzeugungen basiert?

Kurzgesagt:

Man mag es als unglücklich ansehen, dass die Absolutheiten der Mathematik bedingt sind.

Es ist jedoch befriedigender, sich darüber zu freuen, dass die Bedingungen der Mathematik absolut sind!

[Auf die Gefahr hin, entgegen meiner ursprünglichen Frage zu antworten...]

„Die Reductio ad absurdum, die Euklid so sehr liebte, ist eine der besten Waffen eines Mathematikers. Es ist ein viel feineres Gambit als jedes Schachspiel: Ein Schachspieler kann das Opfer eines Bauern oder sogar einer Figur anbieten, aber ein Mathematiker bietet das an Spiel." - GHHardy, A Mathematician's Apology (London 1941).

Die Mathematik wirft nicht nur Fragen zu ihrer Vollständigkeit und Konsistenz auf, sondern versucht, die „Paradoxien, Zirkularität und Relativität“ durch eine Vielzahl von Apparaten zu diagnostizieren. Das Thema hierarchisch zu betrachten, würde den Punkt verfehlen. Ein Logiker geht noch einen Schritt weiter und fragt, ob es Grade solcher Überzeugungen und Mittel gibt, um sie zu quantifizieren, wenn das Thema auf Überzeugungen beruhte. Im Gegensatz zu anderen Wissenschaften muss der Mathematiker mit Beweisen vorsichtig sein, widerlegen sie aber, wenn die Hypothese nicht beweisbar ist. Eine mögliche Neuformulierung wäre, wenn Mathematik auf Intuition und nicht auf Überzeugungen basiert, wobei letztere eine wunschverwaschene Epistemologie eines Universums konnotieren, in dem die Logik zusammenbrechen kann. (Vladimir Voevodsky in seinem Video: What if Current Foundations of Mathematics are Inconsistent?wies darauf hin, dass Flugzeuge trotzdem nicht vom Himmel fallen würden).

Darüber hinaus hat das Thema auch viele Wege (Modallogik, Informationstheorie, Unsicherheitstheorie, neuronale Vernetzung, zelluläre Automaten und natürlich Metalogik) eröffnet, die der Oberbegriff in der ursprünglichen Frage verfehlt, um unser Verständnis zu formen und unseren Horizont zu erweitern .

Einen interessanten Blickwinkel auf diese Frage findet man in dem Buch „How Mathematicians Think“ von William Byers.

Seine Behauptung ist, dass Mehrdeutigkeit (definiert als die Existenz von zwei völlig inkompatiblen Erklärungsrahmen für ein bestimmtes Phänomen ... dh starke Entweder-Oder-Dualität) mathematische Ideen hervorbringt (Organisationsprinzipien, die die Mehrdeutigkeit beinhalten). Wenn ich mir das erlauben darf ... Mathematik ist das kreative Finden von Interpretationsschemata, die scheinbar unvereinbare Weltanschauungen beinhalten.

Dies hat interessante Implikationen für die Natur der Problematik in der Mathematik. Atiyah hat einmal gesagt, wenn wir eine Frage stellen, sind wir dabei, sie zu beantworten. Außerdem hat Wittgenstein, glaube ich, behauptet, dass wir jede Frage beantworten können, die wir stellen können. (Ich paraphrasiere hier sicherlich schlecht.) Die Dualität von Frage-Antwort ist vielleicht durch einen kreativen Zugang zur Mathematik zu überwinden. Die Problematik, P zu unterhalten und nicht P gleichzeitig zu öffnen, um sein Wesen zu öffnen (siehe Gadamers Wahrheit und Methode), trifft meines Erachtens auf mathematische Probleme zu. Das Thema so zu betrachten, geht über die dummen grundlegenden Fragen hinaus, die beispielsweise die Endgültigkeit von 1 + 1 = 2 betreffen. In der Mathematik geht es mehr darum, neue Wege zu entdecken, um scharf über die Welt nachzudenken … und dieser Prozess ist nie erschöpft.

Sie erwähnen, dass Sie bereits über Intuitionismus nachgedacht haben, aber dies ist meine spezielle Lieblingsinterpretation des Intuitionismus.

Die Mathematik ist der älteste Zweig der Psychologie. Es identifiziert und klassifiziert Intuitionen – Dinge, die Menschen nur schwer nicht akzeptieren können, sobald sie ihnen begegnen. Und es tut dies empirisch, indem es in den Köpfen der Menschen nach Dingen sucht, die sie aufgrund zuvor identifizierter Intuitionen automatisch annehmen, und das Neue mit dem Bewährten testet.

Natürlich sind nicht alle grundlegenden Intuitionen konsistent, daher strebt die Mathematik nach einem möglichst konsistenten Satz einfachster ausdrückbarer Prinzipien, ähnlich wie jede andere empirische Wissenschaft. Wir mögen unsere Bestandsaufnahmen wissenschaftlicher Fakten sparsam, elegant, kompakt und reduzierbar.

Die umstrittene Eigenschaft, Dinge wie vollendete Unendlichkeiten und doppelte Negation abzulehnen, kommt von dieser Annahme, dass die Dinge inkonsistent sein werden und dass die Mathematik, die wir haben, möglicherweise bereits inkonsistent ist. Wir müssen uns möglicherweise von Dingen zurückziehen, die wir derzeit wissen, genauso wie wir uns von Infinitesimalzahlen oder der pythagoräischen Annahme der universellen Kommensurabilität zurückgezogen haben. Wir sollten also nichts anderes annehmen, indem wir uns auf Tatsachen verlassen, die wir noch nicht untersucht haben.

Brouwer und Kleene formulieren dies nicht so, aber sie haben einen durchgängigen Psychologismus, ausgehend von Brouwers Ableitung der anfänglichen Intuitionen aus dem Studium der Zeit und seinem Beharren darauf, dass Heytings Formalisierungen sinnlos waren und die zentralen Aspekte der mathematischen Entdeckung verfehlten.

Sie können die Erfahrung der Mathematik als freie kreative Aktivität, den Fokus auf den Konstruktivismus, die Suche nach alternativen Intuitionen der Unendlichkeit usw. konsequent in diesen Begriffen der Suche nach dem Geist und der Korrelation dessen, was wir zwischen Individuen finden, neu interpretieren.

Also ja, es kommt aus dem Nichts. Es ist voller unbegründeter Annahmen, gerade weil die Interaktion zwischen Annahmen, die natürlicherweise im Menschen entstehen, sein Thema ist.

Dies rechtfertigt den Formalismus auf eine neue und interessante Weise, während gleichzeitig anerkannt wird, dass sein erklärtes Endziel sinnlos ist. Sätze von Axiomen sind unbegründete Annahmen – alles, was Sie vernünftigerweise damit tun können, ist festzustellen, wie die Ideen zusammenpassen. Wir wollen aber nicht alle möglichen Axiomensätze studieren, das wäre Zeitverschwendung. Wir wollen diejenigen identifizieren, die wir gut in den Griff bekommen und produktiv kombinieren können.

Sie haben gefragt, was die "Grundlage" der Mathematik ist oder (anders ausgedrückt) worauf die Mathematik "basiert". Universelle Wahrheiten? Soziale Konstruktion?

Darf ich vorschlagen, dass Sie „ Where Mathematics Comes From “ von Lakoff und Nunez und „What is Mathematics Really“ von Reuben Hirsh lesen ? .

Diese Quellen oben schlagen eine dritte Art der Interpretation von „basierend auf“ vor, die aus der Kognitionswissenschaft abgeleitet ist: Lasst uns Mathematik genauso studieren wie jeden anderen Bereich des Verhaltens, wie wir Ehe oder Musik oder jede andere interessante menschliche Aktivität studieren würden. Wenn wir fragen, worauf eine menschliche Aktivität „basiert“, könnten die folgenden relevanten Fragen lauten: Warum haben wir angefangen, Mathematik zu machen? Wofür verwenden wir Mathematik? Wie lösen Menschen mathematische Probleme? Wie visualisieren oder "denken" wir Mathematik? Wie hängt das mit anderen menschlichen Aktivitäten zusammen? Wie haben sich die Ideen im Laufe der Geschichte entwickelt?

Aus dieser Perspektive ist Mathematik eine riesige Struktur, die auf menschlichen Aktivitäten aufgebaut ist – aus Problemen, die wir lösen mussten, aus Situationen, in denen wir uns befanden. Sie enthält Dinge wie „Weltraum“, weil Menschen im Weltraum leben. Wir betrachten alles gerne als „Objekte“ in „Klassen“, weil wir in einer Welt leben, in der Pflanzen und Tiere in „Arten“ vorkommen, Steine ​​in „Typen“ und so weiter. Es verwendet "Aussagen" in linearen Sequenzen, weil Menschen in linearen Sequenzen von Äußerungen kommunizieren. Mathematische Objekte und Probleme sind tief mit der Welt, unserem Gehirn und unserem Körper verbunden. Sie spiegeln viele Merkmale wider, die sich aus Raum, Zeit, Sequenz, Bewegung, Klassifizierung, Kommunikation usw. ergeben: Dinge, die menschliche Gehirne und Körper automatisch tun.

Darauf „basiert“ die Mathematik. Hier „fängt“ es an. Die Welt gab uns unsere ersten mathematischen Probleme und Objekte und unsere Gehirne und Körper gaben uns unsere ersten mathematischen Operationen und Algorithmen. Das sind weder schwache „gesellschaftliche Konstruktionen“ noch übermächtige „allgemeine Wahrheiten“. Sie sind die reale Welt, in der wir alle leben, und sie sind für jeden vernünftigen Menschen unbestreitbar.

In dieser Welt, der realen Welt, kommen die "Axiome" nicht zuerst, sie kommen zuletzt - viele Jahre später entwickelt, im Laufe der Zeit verbessert, so etwas wie ein Computerprogramm, das im Laufe der Jahrhunderte von Menschen nach und nach optimiert wurde.

Ich mag es, wenn WVO Quine sagte: „Wir müssen in der Mitte beginnen“. Wir können unsere Untersuchung nicht am Grund des Universums beginnen und weiterarbeiten, oder am Anfang des Universums, oder mit Gottes Absichten, oder mit dem ersten universellen Gesetz aller Natur. Wir müssen unsere Untersuchung hier und jetzt beginnen, in der Mitte, mit gewöhnlichen Dingen in der Größe eines menschlichen Körpers, die gewöhnliche Dinge auf gewöhnliche Weise tun, wo die in unser Gehirn eingebauten Intuitionen perfekt zu funktionieren scheinen. Von dort aus werden wir, wenn wir Metaphern oder Erweiterungen verwenden, in der Lage sein, über größere Dinge, ältere Dinge, allgemeinere Dinge, abstrakte Dinge, ... all die „außergewöhnlichen“ Dinge nachzudenken. Das Außergewöhnliche kann nur untersucht werden, indem man es in Begriffen des Gewöhnlichen betrachtet.

Ich denke, die Verwendung des Begriffs Glaube verbirgt die Tatsache, dass wir eine Intuition der Welt haben könnten. Auch wenn Kants synthetische apriorische Urteile von der modernen formalen Logik in Frage gestellt werden, bleibt seine Idee hochinteressant. Wenn wir also den Begriff Intuition verwenden, können wir anstelle von Glauben davon ausgehen, dass wir keine zufälligen Hypothesen über die Welt formulieren, sondern ein a priori-Wissen von ihr haben. Wenn wir diesen Standpunkt akzeptieren, der allgemeiner ist als ein synthetisches Urteil a priori, werden die Annahmen, die wir zum Aufbau der Mathematik verwenden, von der Intuition der Welt geleitet, die wir haben, sie sind das Werkzeug, das wir verwenden, um die Natur zu zwingen, unsere Fragen zu beantworten, wie Kant es verwendet hat sagen. Wir könnten in dissipativen Systemen, dem unvollständigen Satz von Gödel oder der allgemeinen Relativitätstheorie den Beweis unserer Weltintuition und die inhärente Grenze der formalen Logik oder des Determinismus sehen: Weder unser Verstand noch die Welt, deren Intuition wir haben, sind durch Theorien begrenzt, wir sind keine ausgeklügelten Arbeitsspeichermaschinen, die schließlich auf Determinismus und formale Logik reduziert werden. Ansonsten gibt es einen fundierteren und sehr gut strukturierten Artikel in der Standford Encycopedia of Phyiosophy aufsynthetisches und analytisches Urteil

Wir denken normalerweise, dass Mathematik auf "Axiomen" basiert. Sie beweisen etwas, indem Sie mit Axiomen beginnen (oder mit Theoremen, die andere bereits bewiesen haben) und mit gültiger Logik ableiten, was immer Sie können.

Die Leute sagen normalerweise, dass Axiome selbstverständliche Aussagen oder sogar nur Annahmen sind, aber ich denke, es macht viel mehr Sinn, sie als Definitionen zu betrachten. Definieren wir 4 als 3 + 1, 3 als 2 + 1 und 2 als 1 + 1. Definieren wir auch (x + y) + z als x + (y + z). Nun, es ist möglich, dass sich unsere Definitionen widersprechen – vielleicht haben wir dasselbe zweimal auf inkompatible Weise definiert. Aber dazu gleich mehr. Schauen Sie, was wir aus diesen Definitionen ableiten können:

4 = 3 + 1       (by definition of 4)
  = (2 + 1) + 1 (by definition of 3)
  = 2 + (1 + 1) (by definition of +)
  = 2 + 2       (by definition of 2)

Boom. Wir haben bewiesen, dass 2 + 2 = 4 ist, indem wir nichts als Definitionen verwendet haben. Jetzt stellt sich nur noch eine Frage: Was ist, wenn sich unsere Definitionen widersprechen?

Nun, aller Wahrscheinlichkeit nach widersprechen sie sich nicht . In der Mathematik gibt es den "Standard"-Satz grundlegender Axiome, ZFC, schon seit einiger Zeit, und niemand hat jemals einen Widerspruch darin gefunden. Es ist wahrscheinlich, dass niemand wird.

Mathematik kann also Paradoxien haben, aber nur im Sinne von Dingen, die wahr, aber nicht intuitiv sind. Es ist uns nicht gelungen, tatsächliche Widersprüche nachzuweisen . Und es ist möglich, alles in der Mathematik ohne Zirkularität zu definieren. Man kann Dinge zirkulär definieren (à la „What the Tortoise Said to Achilles“), muss man aber nicht.

Jedes logische System basiert auf unbeweisbaren Axiomen – das ist einfach die Natur des Axioms. Das macht jedoch nicht jeden möglichen Ausgangspunkt gleich.

Das Universum hat eine Geschichte. Man könnte sagen, das ist das Apriori , aus dem man eine tatsächliche Grundlage für Mathematik und Spiritualität machen könnte.

Was ich Ihnen aus meinen eigenen persönlichen Untersuchungen sagen kann, ist, dass Mathematik interessant ist, weil ihre grundlegenden Axiome aus der gesamten Geschichte des Bewusstseins in Bezug auf das Universum stammen. Jetzt kann ich Ihnen das in diesem Forum nicht beweisen, außer Ihnen zu sagen, dass Physik und Mathematik aus diesem Grund dazu neigen, sich zu halten. Aber betrachte die Axiome weder Glauben noch Annahmen, sondern Vereinbarungen zwischen GOTT und uns (vielleicht ist das Symbol für „gleich“ deshalb zwei parallele Linien gleicher Länge).

Annahme wie im blinden Glauben? Nein. Aber „Annahme“, dass wir über formale Beweise hinaus rationale Einsicht brauchen, ja.

Die „Annahme“, dass die Axiomensysteme widerspruchsfrei sind (= man kann sowohl einen Satz als auch seine Negation aus den Axiomen ableiten), ist für die Mathematik meist notwendig. Das wäre die einfache Antwort.

Schwieriger ist die Frage der angewandten Mathematik, weil Mathematik offensichtlich in vielen Fällen direkt angewandt wird, nicht nur als Werkzeug einer eindeutig empirischen Wissenschaft wie der Physik.

Wenn wir 1 l einer blauen Chemikalie und 1 l einer roten Chemikalie zusammensetzen und eine violette Mischung erzeugen, kann uns die Mathematik natürlich nicht sagen, dass wir 2 l violette Mischung erhalten. Aber das Kuriose ist, dass wir, wenn wir sagen wir mal 1,8 l lila Mischung bekommen, das nicht mit einem Schulterzucken abtun wie „Nun, Mathematik hat sowieso nichts mit der Realität zu tun!“, nein, wir suchen nach einer Erklärung, wie eine chemische Reaktion oder physikalische Ursachen, für dieses „anormale Verhalten“. Die üblichen mathematischen Operationen von +, -, /, * bis Differenzieren & Integrieren scheinen ein abstraktes „ideales Verhalten“ der realen Welt widerzuspiegeln, was empirisch nicht zu begründen ist. Aber damit jemand diesen blinden Glauben nennt, muss er eine starke Allergie gegen alles entwickelt haben, was ein bisschen wie Rationalismus aussieht.