Beweisen Sie zwei Ungleichungen.

Teil 1:

Lassen$0\le k\le 3$sei dann eine gegebene reelle Zahl$\begin{align} & \sin a+ \sin b + \sin c\ge k\\ \implies & (\sin a+ \sin b + \sin c)^2 \ge k^2\\ \implies & 3(\sin^2 a + \sin^2 b +\sin^2 c) \ge (\sin a+ \sin b + \sin c)^2 \ge k^2 \tag{1}\\ \implies & 3(1-\cos^2 a + 1-\cos^2 b +1- \cos^2 c) \ge k^2\\ \implies & 9-3(\cos^2 a +\cos^2 b + \cos^2 c) \ge k^2\\ \implies & 3(\cos^2 a +\cos^2 b + \cos^2 c) \le 9-k^2\\ \implies & (\cos a + \cos b +\cos c)^2\le 3(\cos^2 a +\cos^2 b + \cos^2 c) \le 9-k^2 \tag{2}\\ \implies &-\sqrt{9-k^2} \le \cos a + \cos b +\cos c \le \sqrt{9-k^2} \tag{3}\end{align}$

wo drin$(1)$Und$(2)$wir verwendeten$(x+y+z)^2\le 3(x^2+y^2+z^2)$

Für Ihre erste Frage gestellt$k=2$und du wirst bekommen$\sin a+ \sin b + \sin c\ge 2 \implies \cos a + \cos b +\cos c \le \sqrt{9-2^2}=\sqrt{5}$

Teil 2:

Angesichts dessen$\sin a+ \sin b + \sin c\ge \frac{3}{2} \tag{4}$

Wir bekommen,$\cos a + \cos b +\cos c \le \sqrt{9-\left(\frac{3}{2}\right)^2}={3\sqrt{3}\over {2}}$verwenden$(3)$

Dies impliziert$-\frac{1}{2} (\cos a + \cos b +\cos c) \ge -{3\sqrt{3}\over {4}} \tag{5}$

Jetzt benutzen$(4)$Und$(5)$beweisen$\sin (a-\pi/6)+ \sin(b-\pi/6) + \sin (c-\pi/6)\ge 0$