Wie löst man tanx−−−−√=1tan⁡x=1\sqrt{\tan x}=1 ohne Quadrieren?

Die folgende$2$Fälle unterscheiden sich definitiv voneinander:

$$\require{cancel} A=B\hspace{1em}\cancel{\hspace{-1em}{\iff}\hspace{-1em}}\hspace{1em}A^2=B^2$$

Weil wenn$A$Und$B$entgegengesetzte Vorzeichen haben, dann schlägt die Aussage fehl.

Die korrekte Aussage sollte lauten:

$$\left|A\right|=\left|B\right|\iff A^2=B^2$$

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Allerdings die Aussage$\sqrt {A}=B$sagt uns das sofort$A,B≥0$.

Dem liegt folgende Definition zugrunde:

$$\sqrt {x^2}=|x|≥0,\thinspace x\in\mathbb R$$

Somit haben wir,

$$\left|\sqrt{A}\right|=\left|B\right|\iff \sqrt A=B$$

Daraus folgt,

$$\sqrt A=B\iff A=B^2$$

Wo$A,B≥0$.

Das heißt, in diesem Fall haben wir keine Fremdwurzeln.

Wir brauchen keine Quadrierung, da wir das wissen

$$\sqrt A=1 \iff A=1$$

Deshalb

$$\sqrt{\tan x}=1 \iff \tan x=1 \iff x=\frac \pi 4 +n\pi$$

und wir haben keine fremden Lösungen.

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Falls wir die Lösung durch Quadrieren erhalten wollen, haben wir im Allgemeinen das für$A>0$Und$B>0$

$$\sqrt A = B \iff A=B^2$$

und aus diesem Grund haben wir auch bei dieser Vorgehensweise keine Fremdlösungen.

$$\sqrt{\tan x}=1\\\tan x=1\\x=n\pi+\frac{\pi}{4}$$

Das hast du gezeigt

$$\sqrt{\tan x}=1\implies\tan x=1\implies x=n\pi+\frac{\pi}{4}$$ (die implizite Bedingung der gegebenen Gleichung, dass$\tan x\ge0$rechtfertigt$\left(\sqrt{\tan x}\right)^2=\tan x$im ersten Schritt).

Aber beachte auch das

$$x=n\pi+\frac{\pi}{4}\implies\tan x=1\implies\sqrt{\tan x}=1$$ (Hauptquadratwurzel im letzten Schritt).

Daher sind in diesem Beispiel alle drei Zeilen äquivalent zueinander; es wurde also keine fremde Wurzel erstellt. Daher erzeugt das Quadrieren nicht notwendigerweise fremde Wurzeln.