Die Spin-Verbindung

Es gibt sowohl physikalische als auch formale Gründe, die Spinverbindung einzuführen.

Physikalisch wissen wir, dass es Teilchen mit Spin 1/2 gibt. Ein Spin-1/2-Feld kann nicht durch irgendetwas beschrieben werden, das aus 4-Vektor-Feldern aufgebaut ist. Sie können dies zum Beispiel dadurch realisieren, dass 4-Vektor-Felder (und damit alles, was daraus aufgebaut ist) nach a auf ihren ursprünglichen Wert zurückkehren$2\pi$Drehung, während ein Spin 1/2-Feld dies nicht tut (es ändert das Vorzeichen). In GR möchten Sie kovariante Ableitungen dieses Spinorfelds nehmen, genau dafür ist die Spinverbindung da. Wenn Sie nur GR vakuumieren möchten, können Sie auf die Spinverbindung verzichten, aber wenn Sie interessante Materie in Ihre Raumzeit bringen möchten, brauchen Sie sie.

Formal stellt sich heraus, dass einige Berechnungen mit Spinoren tatsächlich einfacher sind. Das kanonische Beispiel ist der Newman-Penrose-Formalismus [1], ein etwas saubererer Formalismus ist der Geroch-Held-Penrose-Formalismus [2]. Dann gibt es natürlich zwei ganze Bände von Penrose und Rindler [3]. Man kann die Nützlichkeit von Spinor-Formalismen vielleicht aus einer arithmetischen Tatsache verstehen: Sie haben es mit 12 (im GHP-Formalismus 8) komplexen Größen statt mit 24 reellen zu tun; dies ist wenig genug, dass Sie für jede Größe separate Namen haben können, was der Notation immens hilft. (Stellen Sie sich vor, Sie müssten schreiben$\omega^1{}_{03}$oder ähnliches für jede einzelne Größe in Ihrer Berechnung.) Die GHP-Formalismusnotation ist fast so kompakt, wie Sie angesichts der Komplexität von GR hoffen können.

Da nun das Produkt zweier Spinoren ein Vektor ist, und noch dazu ein Nullvektor, sind die Spinor-Formalismen extrem gut geeignet für Probleme mit Strahlung, sowohl Gravitations- als auch andere. Im GHP-Formalismus hat jede Größe eine direkte geometrische Interpretation und es ist einfach, Ansätze zu machen , die sowohl geometrisch sinnvoll als auch nützlich sind, um die Gleichungen zu vereinfachen. Ein Beispiel hierfür ist die Integrationsmethode von Edgar und Ludwig [4].

Auch der Cartan-Karlhede-Algorithmus zur Klassifizierung von Raumzeiten ist in Spinorform einfacher. Ein Teil davon liegt an der Kompaktheit der Notation, aber ein Teil ist auch, dass ein Schritt im Algorithmus darin besteht, Tensoren in eine Standardform zu bringen (für Petrov-Typ III können Sie beispielsweise annehmen, dass der Weyl-Tensor Komponenten hat$\Psi_i = \delta_{i3}$). Dafür gibt es Algorithmen mit Computeralgebra für Spinoren; Ich kenne keine Algorithmen, um dies mit Weltvektoren zu tun.

Nun zu Ihren praktischeren Fragen : Ja, die Spinverbindungskoeffizienten sind genau wie die Christoffel-Symbole. Da ein Weltvektor das Produkt von 2 Spinoren ist, können Sie den letzteren aus dem ersteren zurückgewinnen. Sie bilden keinen eigentlichen Tensor und haben ein Transformationsgesetz wie das der Christoffel-Symbole.

Die genaue Beziehung zwischen der Tetrade und der Spinverbindung ist meines Erachtens nicht nicht mathematisch zu erklären, da das richtige Verständnis davon das Nachdenken über Faserbündel und Abdeckgruppen erfordert. Man kann jedoch vage sagen, dass es ebenso wie es lokal möglich ist, eine Tetrade zu nehmen, immer lokal möglich ist, zwei Spinorfelder zu finden, die beispielsweise überall orthonormal (in einem gewissen Sinne) sind$o^A$und$\iota^A$; das sind Zwei-Spinoren, also$A = 0,1$. Dies wird als Dyade bezeichnet . Sie haben komplexe Konjugate$\overline{o}^\dot{A}$und$\overline{\iota}^\dot{A}$. Das Produkt aus einem Spinor und einem konjugierten Spinor ist ein Weltvektor, mit diesen können Sie also vier Weltvektoren bilden,$o^A\overline{o}^\dot{A}$usw. Es ist nicht allzu schwer zu erkennen, dass diese vier eine (Null-)Tetrade bilden.

Du könntest nehmen$-o^A$und$-\iota^A$stattdessen und erhalten die Tetrade. Zu jeder Tetrade gibt es also genau zwei Dyaden. Man könnte mit der Hand winken sagen, dass eine Dyade die Quadratwurzel einer Tetrade ist, aber die richtige, formellere Aussage ist, dass die Spingruppe eine doppelte Abdeckung der Lorentzgruppe ist.

Verweise

1. Newman, E., & Penrose, R. (2004). Ein Ansatz zur Gravitationsstrahlung durch eine Methode der Spinkoeffizienten. Zeitschrift für mathematische Physik, 3(3), 566-578.
2. Geroch, R., Held, A., & Penrose, R. (2003). Ein Raum‐Zeit‐Kalkül basierend auf Paaren von Nullrichtungen. Zeitschrift für mathematische Physik, 14(7), 874-881.
3. Penrose, R. & Rindler, W. Spinors und Raumzeit. 2 Bände (Cambridge University Press, 1984).
4. Edgar, SB, & Ludwig, G. (1997). Integration in den GHP-Formalismus III: Auffinden konform flacher Strahlungsmaße als Beispiel einer „optimalen Situation“. Allgemeine Relativitätstheorie und Gravitation, 29(10), 1309-1328.

Wenn Sie die Schwerkraft im Tetradenformalismus beschreiben, zerlegen Sie im Grunde affine Verbindungen,$\Gamma$, in einen Translationsteil und einen Lorentz- (oder linearen) Teil . Christoffel-Symbole sind also eine (halbdirekte) Kombination aus Tetraden- und Spinverbindung:

Die Spin-Verbindung codiert im Grunde die Lorentz-Kovarianz der Theorie, was bedeutet, dass sie Rotationen und Boosts von Beobachtern in der Raumzeit regelt. Im Allgemeinen kann es mehr als die Lorentz-Symmetrie codieren, wenn Sie keine Metrik einführen (siehe rein affine Gravitation und Einstein-Eddington-Theorie).

Betrachtet man Tetrade und Spinverbindung als Potentialfeld (wie das 4-Potential,$A_\mu$, im Elektromagnetismus), dann werden Torsion und Krümmung jeweils zu ihren Feldstärketensoren (ähnlich wie bei elektrischen und magnetischen Feldern, bzw$F_{\mu\nu}$).

So werden sowohl die Tetrade als auch die Spinverbindung zu separaten Feldern, die für eine gewisse Symmetrie verantwortlich sind (wie z$U(1)$Symmetrie in der Elektrodynamik). Die Symmetrie, die die Tetrade besitzt, ist die Translationssymmetrie und wird durch Impuls erzeugt. Andererseits trägt die Spinverbindung die von der Lorentz-Gruppe erzeugten Raumzeitrotationen.

Eigentlich ist es nicht notwendig, eine Spinverbindung zu einer Gravitationstheorie im Tetradenformalismus zu haben. Zum Beispiel hat Einsteins teleparallele Gravitation nur Tetraden (Vielbeins), aber Spinverbindungen verschwinden, was impliziert, dass die Riemann-Krümmung identisch verschwindet, aber die Torsion nicht.

Da die Krümmung vollständig durch die Spinverbindung definiert ist ($R=d \omega + \omega \wedge \omega$), jedoch definiert Tetrade dynamisch die Torsion ($T=de+\omega \wedge e$) und es hat nichts mit der Krümmung zu tun, außer dass es eine Coframe-Basis ist. Wenn Sie also eine gekrümmte Raumzeit benötigen, müssen Sie sowohl die Spinverbindung als auch die Tetrade einführen.

Übrigens, wenn es in Ihrer Theorie Fermionen gibt, brauchen Sie den Spin-Zusammenhang, um den Dirac-Term in der gekrümmten Raumzeit zu beschreiben, da der Spin-Tensor algebraisch zur Torsion beiträgt. Daher der Name. (siehe Einstein-Cartan-Schwerkraft).