Differenzengleichung aus Impulsantwort berechnen

Gegeben ist das Kausalsystem mit Übertragungsfunktion

$$H(z) = \frac{z^{-1} + \frac{1}{2} z^{-2}}{1-\frac{3}{5} z^{-1} + \frac{2}{25} z^{-2}}$$

Ich kann die Impulsantwort zu berechnen:

$$h[n] = \frac{25}{4} \delta[n] - \frac{35}{2} \left(\frac{1}{5}\right)^n u[n] + \frac{45}{4} \left(\frac{2}{5}\right)^n u[n]$$

Wie lautet die Differenzgleichung der konstanten Koeffizienten in Bezug auf Eingabe und Ausgabe, die dieses System darstellt?

Wenn ich die drei Terme der Impulsfunktion aufspalte, kann ich separate Differenzengleichungen für jeden Term separat berechnen, aber ich habe Probleme, sie wieder zusammenzufügen. Vielleicht ist das nicht der richtige Weg?

Hier ist meine Arbeit in diese Richtung:

$$\begin{align*} y[n] &= h[n] * x[n] = \sum\limits_{k=-\infty}^\infty x[k] h[n-k] = \sum\limits_{k=-\infty}^\infty x[n-k] h[k] \\ y_1[n] &= \frac{25}{4} x[n] \\ y_2[n] &= \sum\limits_{k=-\infty}^\infty h_2[k] x[n-k] \\ y_2[n] &= \frac{-35}{2} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{5}\right)^k x[n-k] \\ y_2[n] &= \frac{-35}{2} x[n] + \frac{-35}{2} \sum\limits_{k=1}^\infty \left(\frac{1}{5}\right)^k x[n-k] \\ y_2[n] &= \frac{-35}{2} x[n] + \frac{-35}{2} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{5}\right)^{k+1} x[n-(k+1)] \\ y_2[n] &= \frac{-35}{2} x[n] + \frac{1}{5} \cdot \frac{-35}{2} \sum\limits_{k=0}^\infty \left(\frac{1}{5}\right)^k x[(n-1)-k] \\ y_2[n] &= \frac{-35}{2} x[n] + \frac{1}{5} y_2[n-1] \\ y_3[n] &= \frac{45}{4} x[n] + \frac{2}{5} y_3[n-1] \\ y[n] &= \frac{25}{4} x[n] + \frac{-35}{2} x[n] + \frac{1}{5} y_2[n-1] + \frac{45}{4} x[n] + \frac{2}{5} y_3[n-1] \\ y[n] &= \frac{1}{5} y_2[n-1] + \frac{2}{5} y_3[n-1] \\ y[n-1] &= \frac{25}{4} x[n-1] + y_2[n-1] + y_3[n-1] \\ \end{align*}$$