TL,WR: Warum verwenden wir die Signalenergie als Maß für den Fehler einer Annäherung und nicht etwas "Einfacheres" wie den absoluten Wert des Fehlers?
Hintergrund: Ich lese mein Lehrbuch für meine Einführung in den Signalunterricht durch, und sie sind gerade an einem Punkt angelangt, an dem sie Fourier-Reihendarstellungen von Signalen diskutieren.
Insbesondere sprechen sie über die Rechteckwelle und wie sie in eine unendliche Anzahl harmonisch verwandter komplexer Exponentiale zerlegt werden muss
Dann sagen sie,
Um zu bestimmen, wie gut eine bestimmte Approximation ist, müssen wir ein quantitatives Maß für die Größe des Approximationsfehlers angeben. Das Kriterium, das wir verwenden werden, ist die Energie im Fehler über eine Periode.
Warum haben sie sich entschieden, dies als Maß für den Fehler zu verwenden, anstatt beispielsweise den absoluten Wert des Fehlers? Integrale sind "harte" (womit ich meine zeitaufwändigere) Mathematik, und ich würde gerne eine Begründung von jedem hören, der sich intensiv mit diesem Zeug beschäftigt. Ich nehme an, auf diese Weise könnten Stellen aufgedeckt werden, an denen der Fehler im Signal Spitzen aufweist, was nützliche Informationen sein könnten, aber das ist das Einzige, was mir sofort in den Sinn kommt.
Die Verwendung des gesamten Bereichs unter einem Datenbitsignal (Integrieren) und seiner Energie ergibt das maximale Signal im Vergleich zum Rauschfehler. Weniger leistungsstarke Methoden verwenden Spitzensignale und dann kann Spitzenrauschen auftreten, ergeben aber ein schlechteres SNR und eine höhere BER. Gute Demodulatoren können härter sein als die Mittenspitzenabtastung, aber die Integration der gesamten Signalenergie über das Symbol ergibt ein höheres SNR und eine niedrigere BER.
Wenn Sie sich mit den ADC-Spezifikationen befassen, verwenden sie etwa 6 verschiedene Möglichkeiten, um Fehler zur Quantifizierung der dynamischen ADC-Leistung auszudrücken.
SINAD (Signal-Rausch- und Verzerrungsverhältnis),
ENOB (effektive Anzahl von Bits),
SNR (Signal-Rausch-Verhältnis),
THD (Total Harmonic Distortion),
THD + N (Total Harmonic Distortion plus Noise),
SFDR (störfreier dynamischer Bereich).
Wir führen unsere Berechnungen höchstwahrscheinlich im Frequenzbereich durch, da Fourier-Reihen und -Transformationen praktisch sind. Leider stellen sie Signale nicht genau dar, es können große Fehlerspitzen auftreten, wenn wir unsere Fourier-Reihe zurück in den Zeitbereich transformieren. Aber Mathematiker haben gezeigt, dass diese Fehlerspitzen immer weniger Energie haben, wenn wir dem Konto mehr Frequenzkomponenten hinzufügen. Die Grenze ist ein Nullenergiefehler bei allen Termen, aber es kann immer noch einige Nulllängenfehlerspitzen geben. Mathematiker würden sagen, dass Fourier-Reihen nur energetisch konvergieren.
Außerdem: Fehlerleistung und -energie sind weniger komplex als der Absolutwert des Fehlers und sein Mittelwert. Das liegt daran, dass der absolute Fehler keine kontinuierliche Ableitung hat, es gibt immer einen scharfen Winkel beim Nulldurchgang. Das schließt eine ganze Reihe mächtiger mathematischer Methoden aus.
jonk