Dilatationsoperator in CFT als „hamiltonisch“ angesehen?

Die Vertauschungsbeziehungen

$$[D,P_{\mu}] = +i P_{\mu} , \qquad [D,K_{\mu}] = -i K_{\mu}$$ zeige, dass $P_{\mu}$Und $K_{\mu}$Erhöhen und verringern Sie die konforme Dimension eines Zustands. Mit anderen Worten, wenn Sie einen Staat haben $|\phi\rangle$von Dimensionen $\Delta$, so dass $D\, |\phi\rangle = i\Delta |\phi\rangle$, Dann $$D \, P_{\mu} \, |\phi\rangle = [D,P_{\mu}]\, |\phi\rangle + P_{\mu}\,D\,|\phi\rangle = i(\Delta + 1) \, P_{\mu} \, |\phi\rangle . \tag{1}$$ Während die Generatoren der konformen Gruppe auf die Felder einwirken (schließlich erzeugen sie eine Symmetrie), finde ich es einfacher, über die Wirkung auf einen Zustand nachzudenken, wie z $|\phi\rangle>$über. Gemäß der Korrespondenz der Zustandsoperatoren (siehe zum Beispiel diese Frage ) können solche Zustände erhalten werden, indem lokale Operatoren auf das Vakuum einwirken. $P_{\mu}$ist der Generator von Übersetzungen und wirkt daher auf einen lokalen Operator $\phi(x)$als Derivat $$[ P_{\mu} , \phi(x) ] = i \partial_{\mu} \phi(x) .$$ Gleichung $(1)$dann sagt Ihnen, dass die Ableitung konforme Dimension trägt $1$.

Die Notation, die Sie am Ende Ihrer Frage vorschlagen, scheint ein bisschen gefährlich zu sein.$D$wird häufig verwendet, um den infinitesimalen Generator von Dilatationen zu bezeichnen, aber die Funktion$F$gibt die Aktion des entsprechenden Gruppenelements an. Abgesehen davon steht es Ihnen natürlich frei, eine beliebige Notation einzuführen, die Sie für zweckmäßig halten, solange Sie sowohl sich selbst als auch anderen klar machen, was Sie meinen.

Die Antwort auf beide Fragen ist, dass D auf Hilbert-Raumzustände einwirkt. Ich beantworte sie in umgekehrter Reihenfolge.

Was genau meinen wir mit den Eigenvektoren von D? Sind sie Felder in der Raumzeit?

Nein, in diesem Zusammenhang sind Eigenvektoren von D Zustände, die im Hilbert-Raum der Feldtheorie leben. Denn nur in diesem Sinne sind die Vertauschungsbeziehungen zwischen$D$,$P_\mu$Und$K_\mu$sag uns das$P_\mu$Und$K_\mu$Eigenzustände von D anheben und absenken.

Um dies zu sehen, bedenken Sie im Gegenteil, dass die Eigenvektoren von D Körper sind. Wenn wir aufschreiben$D\phi$Wo$\phi$ist ein Feld in der CFT,$D$Und$\phi$sind beides lineare Operatoren, die auf den Zustandsraum wirken. Wenn wir darauf bestehen$\phi$ist ein Eigenvektor von$D$in dem Sinne, dass$D\phi=E\phi$wo E irgendein Skalar ist, muss D ein Vielfaches der Identität sein und hat daher kein diskretes Eigenwertspektrum, das gesenkt oder angehoben werden kann.

was wird angehoben und abgesenkt, wenn wir Pμ und Kμ auf die Eigenvektoren von D anwenden

$P_\mu$Und$K_\mu$niedrigere und höhere Eigenzustände im genau gleichen Sinne sind$a$Und$a^\dagger$senken und erhöhen Sie die Eigenzustände, beispielsweise im harmonischen Oszillator.

Vorausgesetzt, dass$D$ein diskretes Spektrum hat, können wir den Zustand definieren$|E\rangle$der Zustand mit Eigenwert sein$E$:$D |E\rangle=E|E\rangle$.$P_\mu$ist ein Erhöhungsoperator in dem Sinne, dass$P_\mu |E\rangle= |E+\hbar\omega \rangle$. Diese folgen direkt aus den Vertauschungsbeziehungen.

Diese Anmerkungen von Jared Kaplan bieten eine gute Diskussion dieser Themen, insbesondere einen Blick auf die Diskussion, die zu Gl. 3.31.