Dimensionslose Konstanten in der Physik

Zunächst einmal ist die Frage, die Sie stellen, sehr wichtig und Sie können sie vollständig beherrschen.

Dimensionskonstanten sind solche, die Einheiten haben - wie$c, \hbar, G$, oder auch$k_{\rm Boltzmann}$oder$\epsilon_0$im SI. Die Einheiten - wie Meter; Kilogramm; zweite; Ampere; Kelvin - teilweise willkürlich gewählt. Sie sind das Ergebnis zufälliger kultureller Zufälle in der Geschichte der Menschheit. Eine Sekunde wurde ursprünglich als 1/86.400 eines Sonnentages gewählt, ein Meter als 1/40.000.000 des mittleren Meridians, ein Kilogramm als Masse von 1/1.000 Kubikmeter (Liter) Wasser oder später die Masse eines zufällig ausgewählten Prototyps , ein Ampere damit$4\pi \epsilon_0 c^2$ist eine einfache Potenz von 10 in SI-Einheiten, ein Kelvin als 1/100 der Differenz zwischen Schmelz- und Siedepunkt von Wasser.

Der Umfang der Erde, der Sonnentag, ein Platin-Prototypenziegel in einem französischen Schloss oder Phasenübergänge von Wasser gehören eindeutig nicht zu den „fundamentalsten“ Merkmalen des Universums. Es gibt viele andere Möglichkeiten, wie die Einheiten gewählt werden könnten. Jemand könnte 1,75 Meter – die Körpergröße eines durchschnittlichen Mannes – als seine Längeneinheit wählen (einige seltsame Menschen in der Geschichte haben sogar ihre Füße verwendet, um Entfernungen zu messen) und er könnte es immer noch „einen Meter“ nennen. Es wäre sein E-Meter. In diesen Einheiten wären die Zahlenwerte der Lichtgeschwindigkeit unterschiedlich.

Genau die Produkte oder Verhältnisse von Potenzen fundamentaler Konstanten, die dimensionslos sind, haben per Definition keine Einheiten, was bedeutet, dass sie von allen zufälligen kulturellen Entscheidungen der Einheiten unabhängig sind. Daher werden sich alle Zivilisationen im Universum - trotz des Fehlens jeglicher Wechselwirkungen zwischen ihnen in der Vergangenheit - über den numerischen Wert des Proton-Elektronen-Massenverhältnisses einig sein - was ungefähr ist$6\pi^5=1836.15$(Die Formel ist nur ein Teaser, der mir mit 10 aufgefallen ist!) - und über die Feinstrukturkonstante,$\alpha\sim 1/137.036$, usw.

Im Standardmodell der Teilchenphysik gibt es etwa 19 solcher dimensionslosen Parameter, die den Charakter der Physik „wirklich“ bestimmen; alle anderen Konstanten wie z$\hbar,c,G,k_{\rm Boltzmann}, \epsilon_0$hängen von der Wahl der Einheiten ab, und die Anzahl der unabhängigen Einheiten (Meter, Kilogramm, Sekunde, Ampere, Kelvin) ist eigentlich genau so groß, dass all diese Konstanten,$\hbar,c,G,k_{\rm Boltzmann},\epsilon_0$, kann gleich eins gesetzt werden, was alle fundamentalen Gleichungen in der Physik vereinfacht, wo diese fundamentalen Konstanten häufig vorkommen. Durch Ändern des Werts von$c$, ändert man nur gesellschaftliche Konventionen (was die Einheiten bedeuten), nicht die Gesetze der Physik.

Die Einheiten, bei denen alle diese Konstanten numerisch gleich 1 sind, werden Planck-Einheiten oder natürliche Einheiten genannt, und Max Planck verstand, dass dies bereits vor 100 Jahren die natürlichste Wahl war.$c=1$wird in jede "ausgereifte" Analyse gesetzt, die spezielle Relativitätstheorie beinhaltet;$\hbar=1$wird überall in der "erwachsenen" Quantenmechanik verwendet;$G=1$oder$8\pi G=1$wird manchmal in der Erforschung der Schwerkraft verwendet;$k_{\rm Boltzmann}=1$wird immer dann eingesetzt, wenn thermische Phänomene mikroskopisch auf professioneller Ebene untersucht werden;$4\pi\epsilon_0$ist nur ein ärgerlicher Faktor, der auf eins gesetzt werden kann (und in Gaußschen Einheiten des 19$4\pi$Faktor); Anstelle eines Mols in der Chemie zählen Physiker (Forscher in einer grundlegenderen Disziplin) einfach die Moleküle oder Atome und wissen, dass ein Mol nur ein Paket von ist$6.022\times 10^{23}$Atome oder Moleküle.

Die 19 (oder 20?) tatsächlichen dimensionslosen Parameter des Standardmodells können als die drei Feinstrukturkonstanten klassifiziert werden$g_1,g_2,g_3$des$U(1)\times SU(2)\times SU(3)$Gauge-Gruppe; Higgs-Vakuum-Erwartungswert geteilt durch die Planck-Masse (das einzige, was eine Massenskala bringt, und diese Massenskala unterscheidet erst dann verschiedene Theorien, wenn wir auch die Schwerkraft berücksichtigen); die Yukawa-Kopplungen mit den Higgs, die die Quarks und Fermionmassen und deren Mischung bestimmen. Man sollte auch den starken CP-Winkel von QCD und einige andere berücksichtigen.

Sobald Sie ein modifiziertes Standardmodell wählen, das anerkennt, dass die Neutrinos massiv sind und oszillieren, wird 19 auf etwa 30 angehoben. Neue Physik erhöht natürlich die Zahl. SUSY, beschrieben durch weiches SUSY-Brechen, hat etwa 105 Parameter im Minimalmodell.

Die ursprünglichen 19 Parameter des Standardmodells können in Form von "fundamentaleren" Parametern ausgedrückt werden. Zum Beispiel,$\alpha$des Elektromagnetismus ist in der Hochenergiephysik nicht besonders grundlegend, da Elektromagnetismus und schwache Wechselwirkungen bei höheren Energien vereint werden, daher ist es natürlicher zu berechnen$\alpha$aus$g_1,g_2$des$U(1)\times SU(2)$Messgruppe. Auch diese Kupplungen$g_1,g_2$und$g_3$laufen - hängen von der Energieskala ungefähr logarithmisch ab. Die Werte wie z$1/137$für die Feinstrukturkonstante sind die Niedrigenergiewerte, aber die Hochenergiewerte sind tatsächlich grundlegender, weil die grundlegenden Gesetze der Physik diejenigen sind, die die Physik sehr kurzer Entfernungen beschreiben, während die Physik langer Entfernungen (Niedrigenergie) abgeleitet wird davon.

Ich habe erwähnt, dass die Anzahl der dimensionslosen Parameter zunimmt, wenn Sie neue Physik wie SUSY mit weichem Brechen hinzufügen. Vollständigere, vereinheitlichende Theorien – wie die großen vereinheitlichten Theorien und insbesondere die Stringtheorie – implizieren jedoch auch verschiedene Beziehungen zwischen den zuvor unabhängigen Konstanten, sodass sie die Anzahl der unabhängigen dimensionslosen Parameter des Universums verringern. Große vereinheitlichte Theorien im Grunde gesetzt$g_1=g_2=g_3$(mit dem richtigen Faktor von$\sqrt{3/5}$hinzugefügt zu$g_1$) auf ihrer charakteristischen "GUT"-Energieskala; Sie können auch bestimmte Yukawa-Kupplungen betreffen.

Die Stringtheorie ist in diesem Job perfektionistisch. Im Prinzip können alle dimensionslosen kontinuierlichen Konstanten aus jedem stabilisierten String-Vakuum berechnet werden - daher kann alle kontinuierliche Unsicherheit durch die Stringtheorie beseitigt werden; man kann tatsächlich beweisen, dass es der Fall ist. In der Stringtheorie muss nichts ständig angepasst werden. Die Stringtheorie kommt jedoch mit einer großen diskreten Klasse stabilisierter Vakua - die höchstens zählbar und möglicherweise endlich, aber groß ist. Trotzdem, falls es welche gibt$10^{500}$stabilisiertes halbrealistisches Fadenvakuum, es müssen nur 500 Stellen angepasst werden (und dann können Sie im Prinzip alles mit beliebiger Genauigkeit vorhersagen) - während das Standardmodell mit seinen 19 kontinuierlichen Parametern 19 mal unendlich viele Stellen hat, die gemäß Experimenten angepasst werden müssen.

Wichtig sind nur dimensionslose Größen. Sie sind nur reine Zahlen und es kann keine Zweideutigkeit über ihren Wert geben. Bei großen Mengen ist dies nicht der Fall. ZB wenn ich dir meine Geschwindigkeit sage$v$relativ zu dir ist$0.5\, \rm speedons$Das gibt Ihnen nicht viele Informationen, da ich die Freiheit habe, meine zu definieren$\rm speedon$Einheiten, wie ich will. Ich kann Ihnen nur Informationen geben, wenn ich Ihnen eine dimensionslose Menge wie gebe$v/c = 0.5$.

Was wir jetzt brauchen, um dimensionslose Größen dimensionslos zu machen, ist eine Referenzskala (im vorherigen Beispiel war es$c$). Wir können im Prinzip jeden Maßstab wählen, den wir wollen, aber normalerweise wird es etwas aus der täglichen Erfahrung sein. ZB wählen Sie Meter als das, was es ist, damit Dinge, denen Sie normalerweise begegnen (andere Menschen, Häuser, Bäume usw.), von der Ordnung sind$\sim 1$in Bezug auf Meter. So sind alle unsere Geräte entstanden. Natürlich ist der Mensch und die Waage, mit der er normalerweise arbeitet, nichts Besonderes. Wir wissen, dass es viele wichtige Skalen gibt, wenn wir zu atomaren und nuklearen Größen hinuntergehen. Wir wissen auch, dass es eine wichtigere Geschwindigkeitsskala gibt (nämlich ultra-relavistisch$v/c \to 1$). Usw.

Dennoch müssen wir einige Einheiten auswählen, mit denen wir arbeiten können, um etwas berechnen zu können, und es wäre schön, einige Einheiten auszuwählen, die nicht unter der oben erwähnten Willkür leiden würden. Es stellt sich heraus, dass wir Glück haben, weil uns die Natur nur wenige besondere Konstanten gegeben hat. Jeder von ihnen bezieht sich auf eine grundlegende Theorie ($c$in der speziellen Relativitätstheorie,$G$in der Schwerkraft,$\hbar$in der Quantenmechanik usw.). Es wäre dumm, dieses großzügige Geschenk nicht auszunutzen. Wir können also von Geschwindigkeiten von 0,9 sprechen (also tatsächlich$v/c$), Aktion von 20 ($=S/\hbar$) usw. Dieses Einheitensystem wird Planck- System genannt, und obwohl es aus offensichtlichen Gründen im täglichen Leben nicht verwendet wird, ist es immer dann sehr nützlich, wenn wir uns mit grundlegender Physik befassen.

(...) Ist dies ein Bereich, in dem Physiker ernsthafte Bedenken haben oder erhebliche Forschungsarbeiten aufwenden?

Interessanterweise hat Paul Dirac einige Forschungen zur Kosmologie durchgeführt, basierend auf der Betrachtung von dimensionslosen Kombinationen von Zahlen, die sich der Eins nähern, die aus fundamentalen physikalischen Größen aufgebaut sind. Die Kombinationen vermischten mikrophysikalische Größen wie die Elektronenladung mit kosmologischen Parametern wie der Hubble-Konstante. Dies ist ein Beispiel aus dem Buch Coles/Lucchin Cosmology (Wiley, 2. Auflage 2002):

$\frac{e^{4}H_{0}}{Gm_{p}m_{e}^{2}c^{3}} \simeq 1$

Die Annahme der Gültigkeit dieser Beziehung hat interessante Implikationen: seit$H_{0}$sich mit der Zeit entwickelt, müssen eine oder mehrere der sogenannten Fundamentalkonstanten, die in der Gleichung vorkommen, auch mit der Zeit variieren. Dies führte zu einigen Versuchen, Theorien mit unterschiedlichen Vergangenheitswerten der Gravitationskonstante zu erstellen.

Die Theorie ist fast vergessen. Es ist immer noch nicht ganz klar, ob er eine Büchse der Pandora für numerologische Spekulationen geöffnet hat, ob dort etwas mit tiefer physikalischer, noch unverschleierter Bedeutung verborgen ist. Die aktuelle Erklärung für diese numerischen Koinzidenzen (?) ist das schwache anthropische Prinzip, das mir mindestens so spekulativ und philosophisch erscheint wie die ursprüngliche Idee von Dirac.

Hier ist ein Link zum vollständigen Text eines Dirac-Papiers zu dieser Frage aus dem Jahr 1974: http://www.jstor.org/discover/10.2307/78591?uid=3737952&uid=2&uid=4&sid=21101428637013

Das Universum kann in einem formalen mathematischen Rahmen beschrieben werden, alle physikalischen Größen können daher mit Gleichungen beschrieben werden, die nur dimensionslose Zahlen enthalten. Nun steht es Ihnen bei jedem gegebenen Satz von Gleichungen frei, Skalierungsvariablen einzuführen, die es Ihnen ermöglichen, bestimmte Skalierungsgrenzen der Theorie zu untersuchen. Das Universum, wie wir es erleben, kann genau als eine degenerierte Skalierungsgrenze beschrieben werden, die die Einführung von 3 Skalierungsvariablen und dann die Einnahme einer Skalierungsgrenze in der richtigen Reihenfolge erfordert. Diese entartete Grenze nennen wir „klassische Physik“.

Da wir uns nicht genau an der Skalierungsgrenze befinden, sind die Skalierungsvariablen nicht wirklich an ihren Grenzwerten (unendlich oder Null). Aber um die klassische Physik genau zu erhalten, müssen Sie diese Variablen an ihre entsprechenden Grenzen schicken. Da wir vor einigen Jahrhunderten mit fast null Kenntnissen der Gesetze der Physik begannen, mussten wir durch Experimente herausfinden, wie das Universum funktioniert. Aber da wir fast an der Skalierungsgrenze leben, passiert es, dass bestimmte Beziehungen zwischen Observablen sehr schwer zu beobachten sind (genau an der Skalierungsgrenze können Sie mit singulären Gleichungen enden, Sie verlieren dann die Beziehungen zwischen physikalischen Variablen). Es sieht dann so aus, als ob eine vollständige Beschreibung des Universums einige unabhängige physikalische Variablen erfordert, die nicht miteinander in Beziehung gesetzt werden können.

Wir haben dann einen mathematischen Formalismus entwickelt, der diese Inkompatibilität durch die Einführung von "Dimensionen" auferlegt. Als wir später erfuhren, wie diese vermeintlich unvereinbaren Größen tatsächlich zusammenhängen, fanden wir diese Beziehungen mit den Skalierungsvariablen, die als dimensionsvolle Konstanten in den Gleichungen erscheinen, die, wenn sie in den alten Einheiten ausgedrückt werden, einen sehr großen oder kleinen Betrag haben.

Apropos Elektron-Proton-Massenverhältnis (das etwa 1/1836 beträgt), fand Lubosh heraus, dass es damit zusammenhängen könnte$\pi$, und ich denke, es ist eine Art Kopplungskonstante im Wasserstoffatom.

Das Atom hat das Zentrum der Trägheitsvariablen und internen Bewegungsvariablen. Durch eine äußere Krafteinwirkung auf den Atomkern wird das Atom als Ganzes beschleunigt und seine innere Bewegung kann zusätzlich angeregt werden. Das Verhältnis$m_e/m_p$bestimmt die Effizienz des "Pumpens" der inneren Freiheitsgrade eines Atoms mit einer äußeren Kraft, die auf den Kern einwirkt.

EDIT: Als ich so viele Downvotes sah, habe ich meine Meinung geändert. Ich stimme Lubosh zu:$m_p/m_e = 6\pi^5$und hat nichts mit physik zu tun :-(.