Dualität zwischen euklidischer Zeit und endlicher Temperatur, QFT und Quantengravitation und AdS/CFT

Zum Thema „Dualität zwischen euklidischer Zeit und endlicher Temperatur (zB QFT und thermostatistische Mechanik)“ werde ich drei Teile schreiben. Der erste Teil beschreibt die Dualität zwischen dem Feynman-Pfadintegral und den Matrixgleichungen der thermischen Dichte. Der zweite Teil ist ein Überblick darüber, wie die Dichtematrixkühlung funktioniert, und der dritte Teil ist, wie man etwas Nützliches aus der Dichtematrixkühlung herausholen kann.

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Analytische Fortsetzung des Feynman-Pfadintegrals als Dualitätstransformation

A. Zee sagt in dem von ihm zitierten Buch, in seinem Kapitel V.2 „Euclid, Boltzmann, Hawking and Field Theory at Finite Temperature“, Seite 263 in 2003 Erstausgabe:

Sicher würden Sie bei mystischen Typen groß rauskommen, wenn Sie ihnen sagen würden, dass Temperatur gleich zyklischer imaginärer Zeit ist. Auf arithmetischer Ebene ergibt sich dieser Zusammenhang lediglich daraus, dass die zentralen Objekte in der Quantenphysik$e^{-iHt}$und in der Wärmephysik$e^{-\beta H}$sind durch analytische Fortsetzung verbunden. Einige Physiker, darunter auch ich, meinen, dass hier etwas Tiefgründiges sein könnte, das wir noch nicht ganz verstanden haben.

Das Konzept der Dualität besteht darin, dass einige physikalische Probleme in eine andere Form umgewandelt werden können, in der sie viel einfacher (oder schwieriger) werden. Die derzeit in der Literatur diskutierten Dualitäten liegen im Allgemeinen zwischen zwei QFTs oder zwischen einer QFT und einer Stringtheorie. Aber die analytische Fortsetzung, auf die Zee sich bezieht, liegt zwischen QFT und statistischer Quantenmechanik. Um es also als Dualität zu nutzen, müssen wir die statistische Mechanik in eine Quantenform bringen.

Das$e^{-\beta H}$Zee erwähnt, definiert die thermische Dichtematrix$\rho(T)$durch:

$$\begin{equation} \rho(T) \propto e^{-H/T} \end{equation}$$ wo die Proportionalitätskonstante ist$Z = \textrm{tr}(e^{-\beta H})$und ich habe Einheiten so gewählt, dass Boltzmanns Konstante Eins ist, so dass$\beta = 1/(k_BT) = 1/T$. Da eine Dichtematrix eine Art Quantenmechanik ist, macht dies die analytische Fortsetzung, die Zee diskutiert, zu einer zwischen dem Feynmann-Pfadintegral, das eine Formulierung von QFT ist, und der Dichtematrix, die eine Formulierung von QM ist.

Durch die Verwendung einer Dualität hofft man, ein schwieriges Quantenproblem in ein einfaches umzuwandeln. Die Schwierigkeit besteht darin, zu zeigen, dass die beiden Probleme zusammenhängen. Wie können diese beiden zusammenhängen? QFT verwendet Zustandsvektoren$|k\rangle$Staaten zu vertreten; Aus diesen können Dichtematrizen erstellt werden$\rho = |k\rangle\langle k|$, das ist also ein Anfang. Die Quantenfeldtheorie ist eine Art Zustandsvektor-Quantenmechanik, bei der die Vektorkomponenten Besetzungszahlen für jede mögliche Energie sind. Diese Formulierungen der Quantenmechanik sind also nicht völlig beziehungslos und wir können uns zumindest vorstellen, dass sie durch eine Dualitätstransformation verwandt sind.

Auf welche Arten von Elementarteilchenproblemen können wir also Dichtematrizen anwenden? Am einfachsten ist es, in Theorien zu suchen, die keine Raum- oder Zeitabhängigkeit beinhalten. Diese Art von Problemen scheinen Sie nirgendwo hinbringen zu können, aber Sie können manchmal Informationen über die Partikeltypen erhalten, ohne sich explizit mit der Raumzeit zu befassen. Zum Beispiel müssen Sie die Dirac-Gleichung nicht lösen, um zu erkennen, dass ihre 4x4-Matrizen Spin-1/2-Elektronen und -Positronen implizieren.

Das unmittelbare Ergebnis der analytischen Fortsetzung des Feynmann-Pfadintegrals besteht darin, seine Berechnung von kleinen Zeitabschnitten in kleine Zeitabschnitte umzuwandeln$\beta = 1/T$. Das bedeutet, dass man einen kleinen Fortschritt (Propagation) in der Zeit in einen kleinen Fortschritt in der inversen Temperatur umwandelt. Mit anderen Worten, was wir in der QFT getan haben, um die Dinge in der Zeit voranzubringen, wird in thermischen Dichtematrizen zu einer Methode zur Verringerung der Temperatur von Dichtematrizen.

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Kühldichtematrizen

Geht man in die Einzelpunkt-Raumzeit, so dass sich die Integrale über den Raum auf eine Matrixmultiplikation reduzieren, wird das statistisch-mechanische Äquivalent des Feynmann-Pfad-Integrals zu:

$$\begin{equation} \rho(T/N) \propto (\rho(T))^N. \end{equation}$$ Auch hier sind die fehlenden / impliziten Proportionalitätskonstanten$Z(T/N)$links u$Z(T)^N$auf der rechten Seite. Dies definiert eine Methode zum Halbieren der Temperatur der Dichtematrix: Quadrieren Sie die Matrix und fixieren Sie dann ihre Normalisierung, indem Sie durch die Spur dividieren. Wenn Sie den Vorgang wiederholen, wird die Dichtematrix kälter und kälter, bis sie sich einer Grenze nähert, wo$\rho^2=\rho$und Sie kommen nicht weiter voran. Dies ist die Kalttemperaturgrenze; das Ergebnis sind die reinen Dichtematrizen.

Für Spin-1/2 bilden die gemischten Dichtematrizen (endliche Temperatur) das Innere einer Kugel. Die reinen Zustände befinden sich auf der Oberfläche der Kugel; einen reellen Einheitsvektor gegeben$\vec{u} = (u_x,u_y,u_z)$der reine Zustand für Spin-1/2 in Richtung$\vec{u}$wird von gegeben

$$\begin{equation} \rho_u = 0.5(1 + u_x\sigma_x + u_y\sigma_y + u_z\sigma_z) = (1+\vec{u}\cdot \vec{\sigma})/2. \end{equation}$$ Durch Herstellen kann eine Matrix mit gemischter Dichte erhalten werden$|\vec{u}|^2 < 1$. Also ist eine endliche Temperatur-Dichte-Matrix gegeben durch $$\begin{equation} \rho_u(T) =(1+0.2\vec{u}\cdot \vec{\sigma})/2. \end{equation}$$ Quadrieren$\rho_u(T)$wir gebrauchen$(\vec{u}\cdot\vec{\sigma})^2=1$bekommen $$\begin{equation} (\rho_u(T))^2 =(1+2(0.2)\vec{u}\cdot \vec{\sigma}+(0.2)^2)/4 =(0.52 + 0.2\vec{u}\cdot \vec{\sigma} )/2 \end{equation}$$ was Spuren hat$0.52$, um es also zu normalisieren, dividieren wir durch die Spur und erhalten $$\begin{equation} \rho_u(T/2) =(1+0.3846\;\vec{u}\cdot \vec{\sigma})/2 \end{equation}$$ und wir sehen, dass die Halbierung der Temperatur die erhöht$\vec{u}\cdot \vec{\sigma}$Koeffizient ab$0.2$zu$0.3846$, das heißt, es hat den Spinanteil fast verdoppelt. Wenn Sie dies fortsetzen, wird dieser Koeffizient erhöht, bis er sich 1 nähert und wir den reinen Zustand haben$\rho_u$.

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Dichtematrixsymmetrie aus einer endlichen Gruppenalgebra

Die hier beschriebene Dualität ist nutzlos, bis wir zusätzliche Annahmen treffen. Da die "einfache" Seite der Berechnung die Dichtematrixkühlung ist, müssen unsere Annahmen auf Dichtematrizen zutreffen.

Wenn es keine Einschränkungen für die Dichtematrizen gibt, sie also jede NxN-Matrix sein können, die eine Einheitsspur hat und hermitesch ist, dann ist ihre Symmetrie die volle SU (N). Beispielsweise werden die reinen 2x2-Dichtematrizen aus SU(2)-Zustandsvektoren erstellt und erben daher SU(2)-Symmetrie. Allgemeiner werden allgemeine Matrizen mit uneingeschränkter Dichte aus NxN-Matrizen unter der fundamentalen Darstellung der SU(N)-Symmetrie transformiert.

Eines der Dinge, die Dichtematrizen ermöglichen, was mit Zustandsvektoren nicht möglich ist, ist eine einfache Darstellung statistischer Mischungen. Das heißt, Mischungen, die in Quantenüberlagerung nicht existieren können. Beispielsweise ist es (an der kalten Temperaturgrenze) nicht möglich, eine Quantenüberlagerung zwischen Teilchen mit unterschiedlichen elektrischen Ladungen zu erzeugen. Sie befinden sich in verschiedenen "Superselection-Sektoren".

Der Hamilton-Operator muss mit dem Ladungsoperator pendeln und das teilt den Hilbert-Raum in Sektoren auf, von denen es unmöglich ist, von einem zum anderen zu gelangen. Aber wenn man einen Teilchenstrahl hat, der zur Hälfte aus Elektronen und zur Hälfte aus Neutrinos besteht, kann man dies als Matrix mit gemischter Dichte modellieren. Wenn wir SU(2) verwenden, um den Spin-1/2 des Elektrons und des Neutrinos darzustellen, wird die Superauswahl-Sektorbeschränkung für Zustandsvektoren zu einer Beschränkung der gemischten Dichtematrix, dass die Kreuzproduktterme zwischen Neutrino und Elektron Null sein müssen . Mit anderen Worten, die Dichtematrix muss blockdiagonal sein:

$$\begin{equation} \rho = \left(\begin{array}{cccc} \nu_{11}&\nu_{12}&&\\ \nu_{21}&\nu_{22}&&\\ &&e_{11}&e_{12}\\ &&e_{21}&e_{22} \end{array}\right) \end{equation}$$ wobei die Matrixeinträge, die Null sein müssen, leer bleiben.

Nun stellt sich heraus, dass blockdiagonale Algebren aus endlichen Gruppen erstellt werden können, wie es ausführlich in Hamermeshs Buch "Group Theory and its Application to Physical Problems" diskutiert wird. Ich habe das Taschenbuch 1989 Dover Ausgabe Listenpreis 22,95 $ . Er betrachtet eine endliche Gruppe$G$mit Elementen$R$:

$<<<$Ausgehend von einer Gruppe$G$, können wir ein System konstruieren, das Algebra genannt wird . Die Größen in der Algebra sind

$$\begin{equation} \Sigma_R\;a_R\;R,\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3-162) \end{equation}$$ wo die Koeffizienten$a_R$sind beliebige komplexe Zahlen. Unter der Summe zweier Größen verstehen wir $$\begin{equation} \Sigma_Ra_RR + \Sigma_Rb_RR = \Sigma_R(a_R+b_R)R, \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;(3-163) \end{equation}$$ und das Produkt impliziert $$\begin{equation} \Sigma_Ra_RR \cdot \Sigma_Rb_RR = \Sigma_{R,S}a_Rb_S\;RS =\Sigma_R(\Sigma_S a_{RS}b_{S^{-1}} )R. \;\;\;\;\;\;(3-164) \end{equation}$$ $>>>$

Die endliche Gruppenalgebra über den Komplexen wird in Hamermesh und ähnlichen physikalischen Gruppentheorietexten verwendet, um die irreduziblen Darstellungen der endlichen Gruppensymmetrie zu definieren. Dies liegt daran, dass diese Algebra zufällig alle möglichen irreduziblen Darstellungen enthält, und zwar jede nur einmal. Sehr praktisch, wenn Sie versuchen, alle irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppensymmetrie zu finden!

Wenn Sie die Gruppenalgebra so weit wie möglich diagonalisieren, erhalten Sie am Ende eine blockdiagonale Darstellung. Jeder Block entspricht einer bestimmten irreduziblen Darstellung der Gruppe. Außerdem entsprechen die komplexen Freiheitsgrade in dieser blockdiagonalen Darstellung genau den komplexen Freiheitsgraden in der Gruppenalgebra.

Zum Beispiel die endliche Gruppe$S_3$sind die 6 Permutationen auf 3 Objekten. Die endliche Gruppe ist also 6-dimensional. Jetzt wird ein NxN Diagonalblock aufgebraucht$N^2$komplexe Freiheitsgrade und da$S_3$nicht abelsch ist, muss mindestens ein Block größer als 1x1 sein. Unter dieser Einschränkung gibt es nur eine Möglichkeit, 6 als Summe von Quadraten zu schreiben,$6 = 1^2 + 1^2 +2^2$also gibt es drei irreduzible Darstellungen von$S_3$; zwei, die 1x1 sind und eine, die 2x2 ist. Somit bietet die endliche Gruppenalgebra eine bequeme Möglichkeit, die möglichen irreduziblen Darstellungen einer endlichen Gruppe aufzulisten.

Aber vom Standpunkt der Dichtematrizen (anstelle von Zustandsvektoren) können wir uns die Algebra als den Ort vorstellen, an dem die Dichtematrizen gemischter Teilchen leben. Wenn wir mit einer ungemischten Anfangsdichtematrix beginnen, sagen wir mit Nicht-Null-Einträgen nur im 2x2-Diagonalblock, ist es klar, dass die kalte Temperaturgrenze in diesem Block liegt und daher einem Teilchen mit interner SU(2)-Symmetrie entspricht. Und wenn die Anfangsbedingung nur in einem der 1x1-Blöcke ungleich Null wäre, wäre das die Kalttemperaturgrenze. Bei gemischten Fällen ist der Gewinner der Block, der die anderen dominiert, sodass für die kalte Temperaturgrenze drei Partikel definiert sind, eines mit SU(2)-interner Symmetrie und zwei ohne interne Symmetrie.

Eine mögliche Anwendung der analytischen Fortsetzungsdualität von QFT / thermischer Statistik ist also eine Möglichkeit, Teilchensymmetrie und -darstellungen durch die Wahl einer endlichen Gruppe zu definieren.