Im Großen und Ganzen möchte ich verstehen, was der Unterschied in der physikalischen Interpretation einer (euklidischen) QFT ist, die sich in der Raumzeit befindet und die auf einer Raumzeit ist .
Im letzteren Fall kann ich mir gut vorstellen, dass es sich tatsächlich um eine Theorie über eine Lorentzsche Raumzeit handelt, in der sich die räumliche Mannigfaltigkeit befindet aber die Theorie wird auf eine Temperatur erhitzt, die gleich dem Umfang der ist Faktor. Aber was ist die Interpretation für den ersten Fall?
Betrachten wir speziell die Wirkungsweise eines konform gekoppelten euklidischen Skalars Raumzeit als, . (Wo An Ist )
Wenn man dies weiß, ist es offensichtlich, wie man die Aktion für dieselbe konform gekoppelte Skalartheorie auf einem Raum niederschreibt bei endlicher Temperatur?
Die analytische Fortsetzung von ist de Sitter-Raum, oft auch als bezeichnet . Euklidische QFT ein entspricht dann der Lorentzschen QFT weiter . Dies kann auf verschiedene Arten gesehen werden, aber am schnellsten ist es, einfach zu bemerken, dass die Kugel der maximal symmetrische euklidische Signaturraum mit positiver Krümmung ist und de Sitter der maximal symmetrische Lorentzsche Signaturraum mit positiver Krümmung ist. Für ein ziemlich berühmtes Papier, das sowohl auf die Fortsetzung als auch auf de Sitter QFT im Detail eingeht, siehe http://journals.aps.org/prd/abstract/10.1103/PhysRevD.32.3136 .
Nur ein paar zusätzliche Kommentare: Euklidische QFT an kann zur Lorentzschen QFT weitergeführt werden bei endlicher Temperatur, oder es könnte weiterhin die Lorentzsche QFT an sein , je nachdem, wie die Fortsetzung erfolgt. Außerdem hängt die Aktion für einen konform gekoppelten Skalar nicht von der Raumzeit ab, wenn sie kovariant geschrieben wird, wie Sie es oben geschrieben haben - daher ist die Formel, die Sie haben, allgemein und gilt für jede Hintergrund-Mannigfaltigkeit.