Ehrliche Anwendung der Kategorientheorie

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Ehrliche Anwendung der Kategorientheorie

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Kategorientheorie

Martin Brandenburg

Ich glaube, dass die Kategorientheorie eine der grundlegendsten Theorien der Mathematik ist und auch zu einer grundlegenden Theorie für andere Wissenschaften wird. Es erlaubt uns, viele Konzepte auf einer höheren, einheitlichen Ebene zu verstehen. Kategoriale Methoden sind allgemein, aber natürlich können sie auf bestimmte Kategorien angewendet werden und uns dadurch helfen, bestimmte Probleme zu lösen. Ich frage nicht nach kanonischen Anwendungen, in denen die Kategorientheorie verwendet wird. Ich habe alle Antworten auf ähnliche math.SE-Fragen zu Anwendungen der Kategorientheorie gelesen, aber sie passen nicht zu meiner Frage unten. Ich möchte um Anwendungen der Begriffe bittenvon "Kategorie", "Funktor" und "natürlicher Transformation" (vielleicht auch "Grenze" und "Adjunktion") , die über Beschreibungen hinausgehen, aber wirklich spezifische Probleme auf elegante Weise lösen. Mir sind viele, viele Beweise von Sätzen bekannt, die kategorientheoretische Erweiterungen haben, insbesondere durch das Yoneda-Lemma, aber ich suche auch nicht nach derartigen Anwendungen. Meine Frage lautet also (obwohl ich weiß, dass dies nicht die Aufgabe der Kategorientheorie ist):

Können Sie einen konkreten und recht leicht verständlichen Satz nennen, dessen Aussage natürlich keine kategorialen Begriffe enthält, dessen Beweis aber in entscheidender Weise eine geeignete Kategorie / Funktor / natürliche Transformation einführt und einige grundlegende Kategorientheorie verwendet? Der Beweis sollte nicht nur von einer großen Theorie (wie der arithmetischen Geometrie) abhängen, deren Entwicklung die Kategorientheorie über Jahrzehnte verwendet hat. Der Beweis sollte nicht nur eine kategorische Version eines bereits bekannten Beweises sein.

Hier ist also ein Beispiel dieser Art, entnommen aus Hartigs wunderbarem Aufsatz „The Riesz Representation Theorem Revisited“, und hoffentlich gibt es noch mehr davon: Let $X$ sei ein kompakter Hausdorff-Raum, $M(X)$ der Banachraum von Borel misst weiter $X$ Und $C(X)^*$ das Dual des Banachraums stetiger Funktionen auf $X$ . Integration liefert eine lineare Isometrie

a (X) : M (X) \to C (X)^{*}, μ \mapsto (F \mapsto \int F D μ) .

$\alpha(X) : M(X) \to C(X)^*, ~ \mu \mapsto \bigl(f \mapsto \int f \, d\mu\bigr).$ Der Riesz-Darstellungssatz behauptet, dass dies ein Isomorphismus ist. Beachten Sie für den "kategorischen" Beweis zuerst, dass die Karten

α (X)

$\alpha(X)$ eigentlich natürlich sind, dh für eine natürliche Transformation sorgen

α : M \to C^{*}

$\alpha : M \to C^*$ . Unter Verwendung von Natürlichkeit und Fakten aus der Funktionsanalyse wie dem Hahn-Banach-Theorem zeigt man, dass wenn

X

$X$ erfüllt die Behauptung und lässt eine surjektive Abbildung zu

Y

$Y$ , Dann

Y

$Y$ erfüllt den Anspruch. Da jeder kompakte Hausdorff-Raum der Quotient eines extrem unzusammenhängenden Raumes ist, nämlich der Stone-Cech-Kompaktifizierung seiner zugrunde liegenden Menge, dürfen wir dies also annehmen

X

$X$ ist extrem abgekoppelt. Jetzt kommt die eigentliche Mathematik, und ich möchte nur sagen, dass es genügend geschlossene Teilmengen gibt, die es Ihnen ermöglichen, genügend stetige Funktionen zu konstruieren. Der allgemeine Fall wurde auf einen sehr einfachen Fall reduziert, indem das Konzept der natürlichen Transformation verwendet wurde.

Mariano Suárez-Álvarez

Es würde mich wundern, wenn in diesem Beispiel die Schwierigkeit des Spezialfalls nicht genau dieselbe ist wie die des allgemeinen. Sind die «genügend vielen stetigen Funktionen» nicht durch die Normalitätseigenschaft kompakter Räume gegeben? (Beachten Sie, dass Sie bereits viele Funktionen haben müssen, um überhaupt eine vernünftige SC-Verdichtung zu haben!)

Mariano Suárez-Álvarez

Diese Art von Argument wird normalerweise in Form eines universellen Beispiels angetroffen , und das universelle Beispiel ist selten einfacher als irgendein spezifischer Fall.

Martin Brandenburg

@MarianoSuárez-Alvarez: Nun, Sie werden überrascht sein, wenn Sie Hartigs Artikel lesen :). Universelle Beispiele haben den Vorteil , dass sie einfacher sind. Zum Beispiel,

Z [x]

$\mathbb{Z}[x]$ ist das universelle Beispiel eines Rings, der ein Element enthält, und dieser Ring ist zufällig a

2

$2$ -dimensionaler faktorieller Integralbereich, was im Vergleich zu anderen Ringen sehr schön ist. Ähnlich: In der algebraischen Geometrie ist das Arbeiten in Modulräumen oft einfacher als das Arbeiten mit allen speziellen Punkten.

J126

Nicht ganz so spezifisch, wie Sie vielleicht möchten, aber die Lösbarkeit des quintischen Polynoms und der Galois-Theorie führen zu Poset-Kategorien und Funktoren zwischen ihnen.

Mariano Suárez-Álvarez

Universelle Beispiele müssen nicht einfacher sein; Während sie es manchmal sind, sind sie es manchmal nicht.

Martin Brandenburg

@ JoeJohnson126: Tatsächlich ist der Hauptsatz der Galois-Theorie wirklich eine Aussage über eine Adjunktion ("Galois-Verbindung" im Fall von Poset-Kategorien) und ihre festen Objekte. Die Kategorientheorie ist ziemlich nützlich, um dies zu organisieren, aber es ist nicht wirklich eine Anwendung des Begriffs einer Adjunktion zwischen Kategorien, weil wir mit einer Galois-Verbindung gut auskommen würden, oder? Grothendiecks Verallgemeinerung der Galois-Theorie wiederum ist eine Äquivalenz von Kategorien (nicht nur Poset-Kategorien), sodass hier Kategorien bereits in der Aussage des Theorems vorkommen.

Tom Hirschowitz

Wie wäre es mit Lawveres „Diagonalargumenten und kartesischen geschlossenen Kategorien“? Ich habe dies vor langer Zeit gelesen, aber iirc Lawvere klammert eine kategorische Abstraktion diagonaler Argumente von Cantor, Russel, Gödel und Tarski aus, so dass zum Beweis der betrachteten Theoreme nur noch eine Codierung zu entwerfen ist, die einige Axiome erfüllt.

Martin Brandenburg

@TomHirschowitz: Dieses Papier ist großartig, aber meine Frage enthält die folgende Einschränkung: "Der Beweis sollte nicht nur eine kategorische Version eines Beweises sein, der bereits bekannt war."

Tom Hirschowitz

@Martin: Ja, das habe ich gelesen, aber ich dachte, dieser Beweis sei eher eine kategorische Version von vier bereits bekannten Beweisen. Egal, du setzt hier die Grenzen :)

Martin Brandenburg

Diese Art der Vereinheitlichung ist durchaus typisch für die Kategorientheorie. Auch triviale Tatsachen wie

X \times (Y \times Z) ≅ (X \times Y) \times Z

$X \times (Y \times Z) \cong (X \times Y) \times Z$ denn Produkte in einer Kategorie implizieren sofort Fakten über Gruppen, topologische Räume, Teilordnungen, simpliziale Mengen, Garben usw., die nicht wirklich trivial sind, wenn man sich an die mengentheoretische statt an die kategoriale Struktur hält.

Kostya_I

Es fällt mir schwer zu erkennen, wie Ihr (Hartigs) Beispiel als Anwendung der Kategorientheorie qualifiziert werden kann. Die einzige Rolle der Kategorien in der Arbeit ist die Beobachtung, dass die Kommutativität eines bestimmten Diagramms und die Surjektivität einer bestimmten Karte im kategorialen Jargon umformuliert werden können. Die Leute haben die Kommutativität einiger Diagramme (explizit oder implizit) seit Jahrhunderten gerne verwendet, ohne von irgendeiner Kategorientheorie gehört zu haben.

Kostya_I

Außerdem sieht die akzeptierte Antwort wie ein Beweis aus, der lange vor der Konzeption der Kategorientheorie bekannt war und nur unter Verwendung des Begriffs "Funktionalität" neu formuliert wurde.

Antworten (7)

Ehrliche Anwendung der Kategorientheorie

Es würde mich wundern, wenn in diesem Beispiel die Schwierigkeit des Spezialfalls nicht genau dieselbe ist wie die des allgemeinen. Sind die «genügend vielen stetigen Funktionen» nicht durch die Normalitätseigenschaft kompakter Räume gegeben? (Beachten Sie, dass Sie bereits viele Funktionen haben müssen, um überhaupt eine vernünftige SC-Verdichtung zu haben!)
Diese Art von Argument wird normalerweise in Form eines universellen Beispiels angetroffen , und das universelle Beispiel ist selten einfacher als irgendein spezifischer Fall.
@MarianoSuárez-Alvarez: Nun, Sie werden überrascht sein, wenn Sie Hartigs Artikel lesen :). Universelle Beispiele haben den Vorteil , dass sie einfacher sind. Zum Beispiel, $\mathbb{Z}[x]$ ist das universelle Beispiel eines Rings, der ein Element enthält, und dieser Ring ist zufällig a $2$ -dimensionaler faktorieller Integralbereich, was im Vergleich zu anderen Ringen sehr schön ist. Ähnlich: In der algebraischen Geometrie ist das Arbeiten in Modulräumen oft einfacher als das Arbeiten mit allen speziellen Punkten.
Nicht ganz so spezifisch, wie Sie vielleicht möchten, aber die Lösbarkeit des quintischen Polynoms und der Galois-Theorie führen zu Poset-Kategorien und Funktoren zwischen ihnen.
Universelle Beispiele müssen nicht einfacher sein; Während sie es manchmal sind, sind sie es manchmal nicht.
@ JoeJohnson126: Tatsächlich ist der Hauptsatz der Galois-Theorie wirklich eine Aussage über eine Adjunktion ("Galois-Verbindung" im Fall von Poset-Kategorien) und ihre festen Objekte. Die Kategorientheorie ist ziemlich nützlich, um dies zu organisieren, aber es ist nicht wirklich eine Anwendung des Begriffs einer Adjunktion zwischen Kategorien, weil wir mit einer Galois-Verbindung gut auskommen würden, oder? Grothendiecks Verallgemeinerung der Galois-Theorie wiederum ist eine Äquivalenz von Kategorien (nicht nur Poset-Kategorien), sodass hier Kategorien bereits in der Aussage des Theorems vorkommen.
Wie wäre es mit Lawveres „Diagonalargumenten und kartesischen geschlossenen Kategorien“? Ich habe dies vor langer Zeit gelesen, aber iirc Lawvere klammert eine kategorische Abstraktion diagonaler Argumente von Cantor, Russel, Gödel und Tarski aus, so dass zum Beweis der betrachteten Theoreme nur noch eine Codierung zu entwerfen ist, die einige Axiome erfüllt.
@TomHirschowitz: Dieses Papier ist großartig, aber meine Frage enthält die folgende Einschränkung: "Der Beweis sollte nicht nur eine kategorische Version eines Beweises sein, der bereits bekannt war."
@Martin: Ja, das habe ich gelesen, aber ich dachte, dieser Beweis sei eher eine kategorische Version von vier bereits bekannten Beweisen. Egal, du setzt hier die Grenzen :)
Diese Art der Vereinheitlichung ist durchaus typisch für die Kategorientheorie. Auch triviale Tatsachen wie $X \times (Y \times Z) \cong (X \times Y) \times Z$ denn Produkte in einer Kategorie implizieren sofort Fakten über Gruppen, topologische Räume, Teilordnungen, simpliziale Mengen, Garben usw., die nicht wirklich trivial sind, wenn man sich an die mengentheoretische statt an die kategoriale Struktur hält.
Es fällt mir schwer zu erkennen, wie Ihr (Hartigs) Beispiel als Anwendung der Kategorientheorie qualifiziert werden kann. Die einzige Rolle der Kategorien in der Arbeit ist die Beobachtung, dass die Kommutativität eines bestimmten Diagramms und die Surjektivität einer bestimmten Karte im kategorialen Jargon umformuliert werden können. Die Leute haben die Kommutativität einiger Diagramme (explizit oder implizit) seit Jahrhunderten gerne verwendet, ohne von irgendeiner Kategorientheorie gehört zu haben.
Außerdem sieht die akzeptierte Antwort wie ein Beweis aus, der lange vor der Konzeption der Kategorientheorie bekannt war und nur unter Verwendung des Begriffs "Funktionalität" neu formuliert wurde.

Omar Antolín-Camarena · Answer 1

Führt der folgende Standardbeweis des Brouwer-Fixpunktsatzes für die zweidimensionale Scheibe aus $D$ zählen?

Satz . Jede fortlaufende Karte $f : D \to D$ hat einen Fixpunkt.

Beweis . Wenn $f$ hatte keinen Fixpunkt, die Karte $g : D \to \partial D$ gegeben von $g(x) = \partial D \cap ($ Strahl aus $f(x)$ Zu $x)$ wäre ein Widerruf von $D$ auf zu $\partial D$ , das ist, $g \circ i = 1_{\partial D}$ Wo $i : \partial D \to D$ ist die Inklusion. Dies impliziert durch die Funktorialität von $\pi_1$ , Das $g_\ast \circ i_\ast = 1_{\pi_1(\partial D)}$ was seitdem unmöglich ist $\pi_1(D) = 0$ , $\pi_1(\partial D) = \mathbb{Z}$ .

Ja ich mag es! Ein ähnlicher Beweis funktioniert für die $n$ -dimensionale Scheibe. Man könnte argumentieren, dass hier die algebraische Topologie eingreift, deren Entwicklung sich lange Zeit der Kategorientheorie bedient hat, aber im Grunde ist es wirklich nur Funktorialität von $\pi_1$ . Daher ist Ihr Beispiel eine sehr schöne Anwendung des Konzepts eines Funktors und auch (indirekt) des Konzepts eines kommutativen Diagramms.
Klar, für die $n$ -dimensionaler Festplattenersatz $H_n$ oder $\pi_n$ für $\pi_1$ .
Im Grunde ist die algebraische Topologie voll von solchen Beispielen. Der Satz $\mathbb{R}^n \cong \mathbb{R}^m \Rightarrow n=m$ kann in den folgenden Schritten bewiesen werden: Wenden Sie den Funktor, der einen Raum abbildet, auf seine Ein-Punkt-Kompaktifizierung an, was ergibt $S^n \cong S^m$ . Wenden Sie dann die an $n$ th (reduzierter) singulärer Homologiefunktor $H_n$ , was gibt $\mathbb{Z} \cong H_n(S^m)$ und deshalb $n=m$ . Viele Leerzeichen $X,Y$ kann durch (Co)Homologie von Homotopie getrennt werden.
Absolut, @MartinBrandenburg! Die algebraische Topologie verwendet wirklich, dass Homologie und Homotopie Funktoren sind, auf eine Weise, die sehr mühsam zu buchstabieren wäre, ohne das Konzept des Funktors zu verwenden. Ich habe nur ein Beispiel herausgesucht, das besonders einfach erscheint, aber auch etwas sehr Cooles und Nicht-Offensichtliches beweist.

Maciej Piróg · Answer 2

Ein schönes Beispiel aus dem Bereich der Informatik wäre John C. Reynolds „ Polymorphism is not set-theoretic “ (hier abrufbar: https://hal.inria.fr/inria-00076261/document ). Der Punkt ist diese zweite Ordnung $\lambda$ -Kalkül hat keine mengentheoretischen Modelle (in der Abhandlung gibt es eine ziemlich natürliche Definition dessen, was es bedeutet, "mengentheoretisch" zu sein).

Der Beweis erfolgt durch Widerspruch: Wir nehmen die Existenz eines mengentheoretischen Modells an, das es uns erlaubt, einen Anfangsbuchstaben zu definieren $T$ -Algebra $\mu T$ , Wo $T$ ist ein $\mathbf{Set}$ -Endofunktor:

T X = (X \to B) \to B

$TX = (X \to \mathbb B) \to \mathbb B$

für einen Satz $\mathbb B$ mit $|\mathbb B| \geq 2$ . Lambeks Lemma besagt, dass die Wirkung dieser anfänglichen Algebra daher ein Isomorphismus ist

| μ T | ≅ | (μ T \to B) \to B |

$|\mu T| \cong |(\mu T \to \mathbb B) \to \mathbb B|$

was offensichtlich ein Widerspruch ist.

Der Beweis ist durch den kategorialen „Ansatz“ auf den Begriff der Initialität gerichtet und hat daher ein sehr kategorisches Gefühl, obwohl in der Formulierung des Satzes oder der Definition dessen, was es bedeutet, mengentheoretisch zu sein, nichts Kategorisches ist.

Vielen Dank für Ihre Antwort! Ich habe keine Erfahrung mit Informatik, daher ist es schwierig, Ihrer Antwort zu folgen, die auch eine andere Sprache als das Papier zu verwenden scheint. Im Grunde weiß ich nicht, wovon du redest ;). Ich kenne aber Lambeks Lemma.
In "On Functors Expressible in the Polymorphic Typed Lambda Calculus" von Reynolds und Plotkin (verfügbar in Gordon Plotkins Web) ist eine kategorischere (allgemeinere) Darstellung dieses Ergebnisses zu finden.

Marco Vergura · Answer 3

Hier ist ein Beispiel, wahrscheinlich sehr klassisch. Ich hoffe, es zählt für Ihre Zwecke!

Vorschlag. Die fundamentale Gruppe einer topologischen Gruppe $(G,\ast,e)$ ist abelsch.

Nachweisen. Die Fundamentalgruppe $\pi_{1}$ ist ein Funktor von topologischen Räumen zu Gruppen, der Produkte bewahrt, so dass er Gruppenobjekte in Gruppenobjekte sendet. Eine topologische Gruppe ist eine Gruppe in der Kategorie der topologischen Räume und wird somit per gesendet $\pi_{1}$ zu einem Gruppenobjekt in der Kategorie der Gruppen, dh zu einer abelschen Gruppe.

Vielen Dank für Ihre Antwort. Das Argument ist im Satz „ein Gruppenobjekt in der Kategorie der Gruppen, dh einer abelschen Gruppe“ (Eckmann-Hilton) „versteckt“. Daher denke ich, dass dies nur eine kategorische Version eines Beweises ist, der bereits bekannt war. Verstehen Sie mich nicht falsch, ich mag diesen Beweis sehr und er ist sehr elegant, aber der Beweis scheint kategoriale Begriffe nicht unbedingt zu verwenden . Natürlich ist es schwer zu definieren, was das genau bedeutet, und man könnte tatsächlich argumentieren, dass die anderen Antworten bisher auch nicht unbedingt kategoriale Begriffe benötigen. Das ist also nur meine Meinung.
@MartinBrandenburg Ich weiß nicht, ich denke, es hängt davon ab, was Sie unter "einem wesentlichen Weg" verstehen (wenn Sie etwas ohne CT beweisen können, wird seine Verwendung in einem alternativen Beweis möglicherweise überhaupt nicht als wesentlich angesehen). Jedenfalls kann die Tatsache, dass eine Gruppe in Gruppen eine abelsche Gruppe ist, unabhängig vom konkreten Fall überprüft werden und kann unter manchen Gesichtspunkten sogar als Ergebnis der Kategorientheorie angesehen werden (weil es mithilfe der Kategorientheorie formuliert werden kann). wenn es elementar bewiesen werden kann (zum Beispiel mit dem Argument von Eckmann-Hilton), [...]
@MartinBrandenburg [...] Sie sind jedoch derjenige, der weiß, was Sie interessiert, also überlegen Sie sich die Antwort, wie Sie möchten :)

Qiaochu Yuan · Answer 4

Hier sind zwei Beweise, die beide darin bestehen, zu erkennen, dass eine große Kategorie die Ind- oder Pro-Kategorie einer kleineren Kategorie ist, und dann etwas über die kleinere Kategorie zu beweisen, um es für die größere Kategorie zu bekommen.

Satz: Das Pontryagin-Dual $\text{Hom}(A, S^1)$ einer Torsions-abelschen Gruppe $A$ eine profinite abelsche Gruppe ist und umgekehrt; Diese beiden Karten sind in Isomorphismusklassen zueinander invers.

Nachweisen. Wir werden tatsächlich eine kontravariante Äquivalenz von Kategorien beweisen. Die Kategorie der Torsions-abelschen Gruppen ist die Kategorie $\text{Ind}(\text{FinAb})$ von ind-Objekten in endlichen abelschen Gruppen, während die Kategorie der pro-endlichen abelschen Gruppen die Kategorie ist $\text{Pro}(\text{FinAb})$ von Pro-Objekten in endlichen abelschen Gruppen, so genügt es zu zeigen, dass die Pontryagin-Dualität eine kontravariante Äquivalenz von Kategorien aus ist $\text{FinAb}$ zu sich selbst. Aber das ist klar: das Pontryagin-Dual der endlichen zyklischen Gruppe $C_n$ der Ordnung $n$ ist (nichtkaonisch) $C_n$ wieder, und Pontryagin-Dualität respektiert direkte Summen. $\Box$

Satz ( Darstellungssatz von Stone ) : Jeder boolesche Ring $B$ ist der boolesche Ring $\text{Hom}(X, \mathbb{F}_2)$ von geschlossenen Teilmengen auf einem profiniten Raum $X$ , der Steinraum $\text{Hom}(B, \mathbb{F}_2)$ von $B$ .

Nachweisen. Wir werden tatsächlich eine kontravariante Äquivalenz von Kategorien beweisen. Die Kategorie der booleschen Ringe ist die ind-Kategorie der endlichen booleschen Ringe, während die Kategorie der pro-endlichen Räume die Pro-Kategorie der endlichen Mengen ist, so dass es genügt zu zeigen, dass die Annahme kontinuierlicher Funktionen to $\mathbb{F}_2$ bzw. Die Einnahme des Steinraums ist eine kontravariante Äquivalenz von Kategorien von endlichen Booleschen Ringen bis zu endlichen Mengen. Aber es ist einfach, durch Induktion über die Kardinalität zu beweisen, dass jeder endliche boolesche Ring ist $\mathbb{F}_2^X$ für eine endliche Menge $X$ und dass es Steinraum hat $X$ . $\Box$

Tolle Beispiele. Die Beweise im zyklischen/endlichen Fall könnten irreführend sein. Die Tatsache, dass es einen Isomorphismus gibt $(C_n)^* \cong C_n$ hat (fast) nichts mit der Aussage zu tun, dass die natürliche Karte $C_n \to (C_n)^{**}$ ist ein Isomorphismus, den wir brauchen.
Diese Beobachtung macht nur wirklich deutlich, dass die Pontryagin-Dualität im Wesentlichen surjektiv ist, wenn Sie auf diese Weise beweisen möchten, dass ein Funktor eine Äquivalenz von Kategorien ist. Ich denke, in beiden obigen Beweisen habe ich es übersprungen zu zeigen, dass der relevante Funktor gefilterte Colimits an cogefilterte Limits sendet, aber in beiden Fällen ist es nicht schwer zu zeigen.
Das wollte ich nicht sagen. Für eine Äquivalenz der Kategorien $(F,G)$ , brauchen wir natürliche Isomorphismen $F(G(X)) \cong X$ Und $G(F(X)) \cong X$ , und beweisen zufällige Isomorphismen $F(X) \cong X$ , $G(X) \cong X$ (was auch immer das bedeuten soll, da sich die Typen dieser Objekte unterscheiden!) reicht dafür nicht aus.
@Martin: das wollte ich nicht sagen! Ich meine, eine Möglichkeit zu beweisen, dass die Pontryagin-Dualität eine Äquivalenz von Kategorien ist, besteht darin, zu beweisen, dass sie vollständig treu und im Wesentlichen surjektiv ist. Beides folgt im Wesentlichen aus der Tatsache, dass das Pontryagin-Dual einer endlichen abelschen Gruppe (nichtkanonisch) isomorph zu sich selbst ist.

lager · Answer 5

Sie können das Poincare-Lemma beweisen , indem Sie kategorisch/homotopietheoretisch auf den Fall eines Punktes reduzieren. Beweis: Formulieren Sie das Poincare-Lemma (erneut) (jede geschlossene Form auf einem kontrahierbaren Subbereich von $\mathbb{R}^n$ ist exakt) als Aussage über die De-Rham-Kohomologie und beweisen, dass der De-Rham-Kohomologiefunktor Homotopieäquivalenzen an Isomorphismen sendet. Ich erinnere mich, dass ich das Lemma von Poincare gelernt habe, bevor ich etwas über Homotopieinvarianz gelernt habe, aber anscheinend ist es nicht notwendig, in dieser Reihenfolge vorzugehen.

Ich nehme an, das funktioniert nur für glatt kontrahierbare Domänen (obwohl ich keine Beispiele für Domänen kenne, die kontinuierlich, aber nicht glatt kontrahierbar sind), aber die technischen Einschränkungen in den üblichen Aussagen des Poincare-Lemmas sind noch strenger - z. B. die Beschränkung auf " sternförmige" Domänen.
Vielen Dank für das Teilen dieses schönen Beispiels. Zu Ihrem Kommentar: Der Autor scheint eine glatte Homotopie zu verwenden, weil sie verwendet wird, um Differentialformen zurückzuziehen, aber dies wird in der Aussage des Lemmas nicht explizit gemacht.

zxv · Answer 6

zxv

Ich weiß nicht, ob dies als Antwort passt, aber ich denke, dass Michael Barrs Existenz freier Gruppen eine schöne Anwendung einer grundlegenden Kategorientheorie ist.

Martin Brandenburg

Ich nehme an, du meinst die Konstruktion

F (S) = ⟨ i m (f) ⟩

$F(S) = \langle \mathrm{im}(f) \rangle$ , Wo

f : S \to | \prod_{i : S \to | G |} G |

$f : S \to | \prod_{i : S \to |G|} G|$ ist die kanonische Karte und das Produkt wird über einen gewissen Satz übernommen

≅

$\cong$ -Vertreter der Klasse aller Karten

i : S \to | G |

$i : S \to |G|$ die erzeugen

G

$G$ ? Beachten Sie, dass der Beweis, dass eine solche Menge (!) von Repräsentanten existiert, fast dasselbe ist wie das direkte Konstruieren der freien Gruppe. Ich bin schon lange ein "Fan" dieser Konstruktion und des Adjoint Functor Theorems, aber in letzter Zeit bin ich die Details durchgegangen und der ganze Ansatz überzeugt mich nicht mehr.

Martin Brandenburg

Inzwischen denke ich, dass die effizienteste und nützlichste Konstruktion freier Strukturen nicht darin besteht, den Adjoint Functor Theorem zu verwenden (der lediglich ein Existenzergebnis ist), sondern die freie Struktur in Bezug auf die zugrunde liegende Signatur (dh

1^{[0]}

$1^{[0]}$ ,

{i n v}^{[1]}

$\mathrm{inv}^{[1]}$ ,

*^{[2]}

$*^{[2]}$ bei Gruppen), die einfach aus allen Termen besteht und erst am Ende alle Gruppenaxiome herauslöst. Dieser Ansatz funktioniert für beliebige algebraische Strukturen und kann auch in beliebige kovollständige kartesische Kategorien internalisiert werden.

Zhen Lin

Ich bin mir nicht sicher, ob dies in so großer Allgemeinheit in willkürlichen vollständig kartesischen Kategorien durchgeführt werden kann. Neben der offensichtlichen Bedingung, dass das binäre Produkt Colimits in jeder Variablen beibehält, die Sie zweifellos in die Definition von "kovollständig kartesisch" eingefügt haben, vermute ich, dass Sie auch Genauigkeit oder vielleicht sogar eine kohärente Kategorie benötigen.

Martin Brandenburg

Ich meine eine kovollständige Kategorie mit endlichen Produkten wie dem

X \times -

$X \times -$ ist für alle kokontinuierlich

X

$X$ . Warum braucht man Ihrer Meinung nach Exaktheit oder Kohärenz?

kakas · Answer 7

(Diese ist aus der angewandten Mathematik, nicht aus der Theorie wie alle anderen oben!) Nehmen Sie zum Beispiel eine Struktur, in der Sie eine Person haben, die von New York nach San Francisco reist. Die CIA sammelt Informationen über diese Person, aber sie stammen aus verschiedenen Informationsquellen: Tickets, Kreditkartenaufzeichnungen, Handy-Triangulationen, WLAN-Zugang von verschiedenen Orten, Informationen von Einwohnern an einigen Orten usw. All diese Informationen sind tatsächlich Funktionen verschiedene Domänen (einige von ihnen ordnen die Person ihrer Position zu - wie direkte Beobachtung, während andere nur indirekt - zum Beispiel Flugticket oder WLAN-Daten, die mit der IMEI-Nummer des Telefons verbunden sind). Einige dieser Informationen können sogar lausig auf diese Person bezogen sein - wie die nicht so sichere Beobachtung eines ähnlichen Autos bei der Straßenkameraüberwachung.

All dies haben wir in eine Big-Data-Datenbank geschrieben. Welche Struktur müssen Datenquellen (die sich im Datenspeicher widerspiegeln) haben, um eine grundlegende Verfolgung der Position einer solchen Person durchzuführen und einige grundlegende Operationen damit durchzuführen?

Die Antwort lautet: Es muss eine (Vor-)Garbe sein - was ich sehr amüsant und interessant fand.

Schau mal hier: https://www.youtube.com/watch?v=b1Wu8kTngoE

Ja, da es auf technischer Ebene eine Datenbanksprache (oder sogar SQL) mit Datentransformationen integrieren muss, wodurch die SQL-Algebra mit Funktoren in einer bestimmten Kategorie effektiv genutzt wird.

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