Eigenwert von LzLzL_z

Question

Eigenwert von LzLzL_z

Physik
Betreiber
Drehimpuls
Quantenmechanik
Repräsentationstheorie

Einheit3000-21

In Abschnitt 4.3 von Griffths „Introduction to Quantum Mechanics“, direkt unter Abbildung 4.6, beginnt der Satz

Lassen $\hbar \ell$ sei der Eigenwert von $L_z$ auf dieser obersten Sprosse ...

Warum ist das gültig? Auf den vorherigen Seiten gibt es keine Herleitung dieser Tatsache. Es ist nicht verwunderlich, dass dieser Eigenwert hat $\hbar$ darin, aber ich verstehe nicht, warum ich erwarten sollte, dass es ein ganzzahliges Vielfaches von ist $\hbar$ .

CHM

Warum schockiert Sie das? Sie erwarten zu bekommen

ℏ

$\hbar$ , sind aber überrascht, dass es ein ganzzahliges Vielfaches davon ist? Ich bin mir nicht sicher, was dich stört.

Einheit3000-21

Wenn es hilft, könntest du meinen letzten Satz einfach ignorieren. In diesem Fall frage ich mich nur, was uns erlaubt, das zu behaupten

ℏ ℓ

$\hbar \ell$ ist ein Eigenwert von

L_{z}

$L_z$ . Im Text wird dies angegeben und nicht begründet (soweit ich das beurteilen kann).

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Eigenwert von LzLzL_z

Warum schockiert Sie das? Sie erwarten zu bekommen $\hbar$ , sind aber überrascht, dass es ein ganzzahliges Vielfaches davon ist? Ich bin mir nicht sicher, was dich stört.
Wenn es hilft, könntest du meinen letzten Satz einfach ignorieren. In diesem Fall frage ich mich nur, was uns erlaubt, das zu behaupten $\hbar \ell$ ist ein Eigenwert von $L_z$ . Im Text wird dies angegeben und nicht begründet (soweit ich das beurteilen kann).

Kleingordon · Answer 1

Wenn Sie den Eigenwert anfänglich auf die oberste Sprosse setzen $\hbar l$ , davon müssen Sie nicht ausgehen $l$ eine ganze Zahl ist, können Sie sie sich als eine beliebige multiplikative Konstante vorstellen. Offensichtlich gibt es hier keinen Verlust an Allgemeingültigkeit. Der schöne Aspekt des Ladder-Operator-Ansatzes ist, dass Sie ihn verwenden können, um dies zu beweisen $l$ muss eine nicht negative ganze oder halbe ganze Zahl sein.

Dieses Argument wird in Griffiths zumindest in der zweiten Ausgabe (vielleicht verwenden Sie die erste Ausgabe?) deutlich dargestellt. Verwenden der Leiteroperatoren $L_+$ Und $L_-$ , und die Bedingungen, dass es eine oberste und eine unterste Sprosse für die Eigevnalues-Leiter geben muss, finden Sie automatisch

die Eigenwerte von $L_z$ Sind $m \hbar$ , Wo $m$ ... geht von $-l$ Zu $+l$ In $N$ ganzzahlige Schritte. Daraus folgt insbesondere $l = -l + N$ , und daher $l = N/2$ , So $l$ muss eine ganze oder halbe ganze Zahl sein.

Also, die Natur von $l$ als Schlussfolgerung entdeckt wird - es gibt keine anfängliche Annahme.

Ah, du hast vollkommen recht. Das ist meine Schuld: Ich habe auf den Seiten davor nach einer Rechtfertigung gesucht, nicht auf den Seiten danach. Die nächste Seite beschreibt genau das, was Sie gesagt haben. Danke.

Eigenwert von LzLzL_z

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CHM

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Kleingordon

Einheit3000-21

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