Eigenzeit entlang des Pfades im Minkowski-Raum

Question

Eigenzeit entlang des Pfades im Minkowski-Raum

Sarah Jayne

Betrachten Sie den Weg $x^\mu(u)$ im Minkowski-Raum; so dass:

T = \frac{A}{C} Sünde (u), X = A cosch (u), j = 0, z = 0

$t = \frac{a}{c} \sinh(u) , \quad x = a \cosh(u) ,\quad y = 0 ,\quad z = 0$

Wo $a$ ist eine positive Konstante und $u$ ist ein Parameter

Gleichung verwenden:

C \nabla τ = D S = \sqrt{η_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}} D u

$c \nabla \tau = ds = \sqrt{\eta_{\mu\nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu} du$ um die richtige Zeit zu finden, die entlang des Pfads verstrichen ist, beginnend mit

u = 0

$u = 0$ , als Funktion von

u

$u$ .

Ich habe ziemliche Probleme mit der Verwendung der Notation, könnte mir bitte jemand helfen?

Bisher habe ich festgestellt:

D_{u} X^{μ} = (\frac{A}{C} cosch (u), A Sünde (u), 0, 0))

$d_u x^{\mu} = \left(\frac {a}{c}\cosh(u),\, a\sinh(u),\,0,\,0\right))$

Dann:

η_{μ v} D_{u} X^{μ} D_{u} X^{v} = \sum_{μ = 0}^{3} \sum_{v = 0}^{3} η_{μ v} D_{u} X^{μ} D_{u} X^{v}

$\eta_{\mu\nu} d_u x^{\mu} d_u x^{\nu} = \sum_{\mu =0}^{3} \sum_{\nu =0}^3 \eta_{\mu\nu} d_u x^{\mu} d_u x^{\nu}$

Dann verliere ich mich ein bisschen...

Vibert

Kannst du rechnen

{\dot{x}}^{μ} (u) = d x^{μ} (u) / d u

$\dot{x}^\mu(u) = dx^\mu(u)/du$ ? Dies ist der erste Schritt (und fast der letzte).

Sarah Jayne

Ja, tut mir leid, dass ich aktualisiert habe, was ich getan habe, ich bin zum obigen Schritt gekommen und habe mich dann etwas verlaufen. (Ich versuche einem Beispiel zu folgen)

Dehnung

Ich wünschte wirklich, die Leute würden davon absehen, solche legitimen technischen Fragen zu schließen ...

Antworten (1)

Eigenzeit entlang des Pfades im Minkowski-Raum

Kannst du rechnen $\dot{x}^\mu(u) = dx^\mu(u)/du$ ? Dies ist der erste Schritt (und fast der letzte).
Ja, tut mir leid, dass ich aktualisiert habe, was ich getan habe, ich bin zum obigen Schritt gekommen und habe mich dann etwas verlaufen. (Ich versuche einem Beispiel zu folgen)
Ich wünschte wirklich, die Leute würden davon absehen, solche legitimen technischen Fragen zu schließen ...

Jäger · Answer 1

Nehmen wir an, Sie verwenden die Metrik:

{η_{μ v}} = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & - 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & - 1 \end{matrix})

$\left\{ \eta_{\mu \nu} \right\} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}$ (Beachten Sie, dass Sie auch Folgendes verwenden könnten:

{η_{μ v}} = (\begin{matrix} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\left\{ \eta_{\mu \nu} \right\} = \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ das ist nur eine Sache der Konventionen.)

Nun interpretieren wir die Notationen wie folgt (wie Sie in Ihrem Kommentar erwähnt haben):

\begin{matrix} (1) & \sqrt{η_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}} = \sqrt{\sum_{μ = 0}^{3} \sum_{v = 0}^{3} η_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}} \end{matrix}

$\begin{equation} \sqrt{\eta_{\mu \nu} \dot{x}^\mu\dot{x}^\nu} = \sqrt{\sum\limits_{\mu=0}^3\sum\limits_{\nu=0}^3\eta_{\mu \nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu} \tag{1} \end{equation}$ Um dies zu beurteilen, ist es wichtig zu wissen:

η_{μ v} = 0 Wenn μ \neq v

$\eta_{\mu \nu} = 0 \text{ if } \mu \neq \nu$ Daher Gleichung aufschreiben

(1)

$(1)$ völlig:

\begin{aligned} \sqrt{η_{μ v} {\dot{X}}^{μ} {\dot{X}}^{v}} & = \sqrt{η_{00} {\dot{X}}^{0} {\dot{X}}^{0} + η_{11} {\dot{X}}^{1} {\dot{X}}^{1} + η_{22} {\dot{X}}^{2} {\dot{X}}^{2} + η_{33} {\dot{X}}^{3} {\dot{X}}^{3}} \\ = \sqrt{{\dot{X}}^{0} {\dot{X}}^{0} - {\dot{X}}^{1} {\dot{X}}^{1} - {\dot{X}}^{2} {\dot{X}}^{2} - {\dot{X}}^{3} {\dot{X}}^{3}} \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{aligned} \sqrt{\eta_{\mu \nu} \dot{x}^\mu \dot{x}^\nu} & = \sqrt{ \eta_{00}\dot{x}^0 \dot{x}^0 + \eta_{11}\dot{x}^1 \dot{x}^1 + \eta_{22}\dot{x}^2 \dot{x}^2 +\eta_{33}\dot{x}^3 \dot{x}^3} \\& = \sqrt{ \dot{x}^0 \dot{x}^0 - \dot{x}^1 \dot{x}^1 -\dot{x}^2 \dot{x}^2 -\dot{x}^3 \dot{x}^3} \end{aligned} \end{equation}$ Außerdem:

\begin{matrix} (2) & {X^{μ}} = (\begin{matrix} X^{0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{matrix}) = (\begin{matrix} C T \\ X \\ j \\ z \end{matrix}) \end{matrix}

$\begin{equation} \left\{ x^\mu \right\} = \begin{pmatrix} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{pmatrix} \tag{2} \end{equation}$ An diesem Punkt wird einfach alles in der Formel ersetzt und ausgewertet.

Bearbeiten:

Eine der wichtigsten Eigenschaften der speziellen Relativitätstheorie ist, dass alle Trägheitsreferenzsysteme physikalisch äquivalent sind. Das bedeutet, wenn ein Beobachter sieht $ct,x,y,z$ und der andere sieht $ct',x',y',z'$ , die im Allgemeinen nicht gleich sein können, haben wir immer noch:

C^{2} T^{2} - X^{2} - j^{2} - z^{2} = C^{2} T^{' 2} - X^{' 2} - j^{' 2} - z^{' 2}

$\begin{equation} c^2 t^2-x^2 - y^2 - z^2 = c^2 t'^2-x'^2 - y'^2 - z'^2 \end{equation}$ Kompakter (und offensichtlich Lorentz-invariant) lässt sich dies durch die Weggleichung schreiben

(2)

$(2)$ ist definiert:

η_{μ v} X^{μ} X^{v} = η_{μ v} X^{' μ} X^{' v}

$\eta_{\mu \nu} x^\mu x^\nu = \eta_{\mu \nu} x'^\mu x'^\nu$ Deshalb Gleichung

(2)

$(2)$ ist definiert wie es ist.

Können Sie einen Faktor von hinzufügen $c^2$ In $\eta_{00}$ ? Dies wird in den Konventionen von OP benötigt.
Vielen Dank für deine Hilfe! Ich schätze es sehr. Darf ich fragen, warum Sie den Faktor c^2 hinzufügen?
@SarahJayne Ich habe meine ursprüngliche Nachricht bearbeitet. Hoffentlich beantwortet dies Ihre Frage.
@SarahJayne: der Faktor von $c^2$ ist immer in der Zeitkomponente der Metrik enthalten; Dies ist einfach eine Dimensionsanalyse, da Geschwindigkeit * Zeit = Entfernung. Aber einige Autoren setzen $c=1$ , da Sie immer die richtigen Potenzen von finden können $c$ in Ihrer endgültigen Antwort durch Dimensionsanalyse. In Ihrer Definition des Pfades $x^\mu(u)$ es gibt einen Faktor von $c$ inbegriffen; Wenn Sie vergessen haben, in die Metrik zu kompensieren, erhalten Sie am Ende eine sehr hässliche Antwort.

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