Ein durch Fourier-Transformation transformierbares Signal und seine Frequenz

Wie The Photon sagt, ist es die niedrigste Nicht-Null-Frequenz, sie wird Grundfrequenz genannt, und die anderen Harmonischen sind ganzzahlige Vielfache davon. Das heißt, die Grundwelle ist die Frequenz mit der längsten Periode im Signal.

Dieses AM-Signal ist das Produkt zweier Frequenzen, einer niedrigen Basisbandsignalfrequenz und einer höheren Modulationsfrequenz, die in diesem Fall genau das 10-fache der Basisbandfrequenz ist. Die Periode des Signals ist die Periode der niedrigeren Frequenz, und ihr Kehrwert ist die Grundfrequenz.
Die Funktion ist (3 + sin($\omega_0$))$\times$Sünde($\omega_m$). Seit

$sin(x) \times sin(y) = \dfrac{cos(x – y) – cos (x + y)}{2}$

wir haben

$V_t = 3 \cdot sin(\omega_m t) + \dfrac{cos(\omega_m t - \omega_0 t)}{2} - \dfrac{cos(\omega_m t + \omega_0 t)}{2}$

und mit$\omega_m$= 10$\times$ $\omega_0$

$V_t = 3 \cdot sin(10 \cdot \omega_0 t) + \dfrac{cos(9 \cdot \omega_0 t)}{2} - \dfrac{cos(11 \cdot \omega_0 t)}{2}$

die in der Standard-Fourier-Reihenform geschrieben werden kann:

$V_t = -\dfrac{1}{2}sin(9 \cdot \omega_0 t - \dfrac{\pi}{2}) + 3 \mbox{ } sin(10 \cdot \omega_0 t) + \dfrac{1}{2}sin(11 \cdot \omega_0 t - \dfrac{\pi}{2})$

Bei einem sich wiederholenden Signal ist die Frequenz der Grundwelle größer als Null, und die Harmonischen werden im Spektrum als Linien mit gleichem Abstand angezeigt.
Für ein sich nicht wiederholendes Signal geht die Grenze der Signalperiode zu$\infty$damit geht die Frequenz der Grundwelle zu$\displaystyle \lim_{f \to 0}$, und die Reihe der Harmonischen bildet ein kontinuierliches Spektrum.

Ich habe in dieser Antwort folgende Beobachtung gemacht :

„Manchmal ist es schwierig, den Grundsinus darin zu erkennen. Nehmen Sie zum Beispiel die Summe eines 3-Hz-Sinus und eines 4-Hz-Sinus. Die resultierende Wellenform wiederholt sich einmal pro Sekunde, das sind 1 Hz. 1 Hz ist die Grundwelle, auch wenn ihre Amplitude Null ist Die Reihe kann geschrieben werden als

$V_t = 0 \cdot sin(\omega_0 t) + 0 \cdot sin(2 \omega_0 t) + sin(3 \omega_0 t) + sin(4 \omega_0 t)$

Alle folgenden Terme haben ebenfalls die Amplitude Null.

Warum beträgt die Grundfrequenz beispielsweise 1 Hz und nicht 0,5 Hz? 3Hz und 4Hz sind auch Vielfache davon. Die Grundwelle ist der größte gemeinsame Teiler der zusammengesetzten Harmonischen, und der GCD von 3 und 4 ist 1. Wenn Sie eine niedrigere Frequenz wählen würden, zeigt ihre Periode eine Wiederholung des Signals, zweimal im Fall von 0,5 Hz.

Eine Anmerkung zu GCD
Es wurde vorgeschlagen, dass GCD nur für ganze Zahlen gilt, wie im gegebenen Beispiel. GCD kann aber auch auf die Rationale angewendet werden. Das habe ich als Definition gefunden$GCD\left(\dfrac{a}{b}, \dfrac{c}{d} \right) = \dfrac{GCD(a\cdot d, c \cdot b)}{b \cdot d}$scheint zu funktionieren und wurde als die richtige Methode bestätigt.

Beachten Sie, dass auch im AM-Beispiel die Amplitude der Grundwelle Null ist. Das modulierte Signal besteht nur aus der 9., 10. und 11. Harmonischen. ggT (9$\omega_0$, 10$\omega_0$, 11$\omega_0$) =$\omega_0$.

Die Fourier-Transformation gibt, wie Sie sagten, den "Frequenzinhalt" des Signals an. Das Signal hat bei allen Frequenzen, bei denen die Transformation ungleich Null ist, einen Inhalt.

Wenn das ursprüngliche Signal periodisch ist, weist seine Fourier-Transformation charakteristische Spitzen oder Spitzen bei der Oszillationsfrequenz des Signals und seinen Harmonischen auf. Wenn sich das Signal beispielsweise mit der Frequenz f wiederholt , weist die Fourier-Transformation Spitzen bei f , 2* f , 3* f usw. auf. Je nach Art des Signals könnten einige dieser Spitzen fehlen (z. B. eine reine Sinuswelle zeigt nur die Grundfrequenz, eine Rechteckwelle hat nur ungerade Harmonische usw.)

Für ein periodisches Signal könnte man also sagen, dass die Schwingungsfrequenz des Signals die niedrigste Frequenz der Fourier-Transformation ist, nicht die höchste.

Bearbeiten: Wie Stevenvh und Teleclavo darauf hinweisen, ist es möglich, dass die fehlenden Spitzen den Grundton enthalten. Es ist sogar möglich, dass unterhalb des ersten im Spektrum beobachteten Peaks viele, viele fehlende Peaks vorhanden sind. Nehmen Sie zum Beispiel eine 1-Hz-Rechteckwelle mit extrem schnell ansteigenden Flanken (z. B. 10 ps). Wenden Sie nun einen Hochpassfilter mit Grenzfrequenz bei 1 GHz an. Je nachdem, wie scharf der Filter ist, sehen Sie möglicherweise keine Ausgabe unterhalb von 10 MHz und eine Reihe von Spitzen in 1-Hz-Intervallen von dort bis zu 10 GHz, was bedeutet, dass die ersten 10 Millionen Harmonischen fehlen. aber die Wiederholungsperiode bleibt 1 s.

Und es ist auch möglich, ein aperiodisches Signal zu haben, das ein Spektrum hat, das aus mehreren Spitzen besteht. Meine Antwort bezieht sich auf Fälle, in denen Sie unabhängige Informationen haben, die Ihnen sagen, dass das Signal periodisch ist.

Nein. Zum Beispiel ist die Fourier-Transformation eines Gaußschen Impulses ein weiterer Gaußscher Impuls, von denen keiner zu oszillieren scheint.

Das Gegenteil ist jedoch der Fall. Wenn ein Signal ein sinusähnlicher Oszillator ist, zeigt die FT oder FFT eine Spitze oder Spitze.

Es ist weder die niedrigste Frequenzkomponente (der Fourier-Transformation) noch die höchste. Die Fourier-Transformation existiert sogar für nicht periodische Signale, und diese Signale oszillieren (offensichtlich) bei keiner Frequenz.

Ich sage noch mehr. Auch bei periodischen Signalen ist es immer noch weder die niedrigste noch die höchste Frequenzkomponente, was - im Allgemeinen - ihre Periode bestimmt. Wenn Sie zwei Sinuswellen von 19 kHz und 20 kHz hinzufügen (wie es üblicherweise bei Intermodulationstests für Audiogeräte gemacht wird), hat das Spektrum ein Delta bei 19 kHz und ein Delta bei 20 kHz. Das resultierende Signal hat jedoch eine Periode von 1 kHz. Weder 19 kHz noch 20 kHz.

Wenn Sie Fourier erwähnen, vergessen Sie, dass ein Signal nur mit einer Frequenz "schwingen" kann, und Sie versuchen zu sehen, was die Frequenz dieser Schwingung bestimmt. Im Allgemeinen "schwingt" ein Signal mit unendlichen Frequenzen. Alle jene Frequenzen, die bei ihrer Fourier-Transformation eine Nicht-Null-Komponente haben.

Hinzugefügt : Selbst für ein periodisches Signal ist die Grundfrequenz nicht die niedrigste Frequenzkomponente (unsichtbar oder nicht) in der Fourier-Transformation.

Nehmen Sie dieses einfache Beispiel:

$S(t)=1+sin(2\pi f_1·t)$

mit$f_1=$1 kHz, was so aussieht:

Beachten Sie, dass seine Periode 1 ms beträgt.

Betrachten Sie nun die Fourier-Transformation S(f) von S(t):

Welche Frequenz hat seine niedrigste Frequenzkomponente? Null. Ist f=0 die Grundfrequenz von S(t)? Nein. Die Grundfrequenz von S(t) beträgt 1 kHz.

Die dominante Frequenz des Signals A ist diejenige, die man es nennen könnte. Zum Beispiel erzeugt ein Klavier mit 3 Saiten 3 ähnliche Frequenzen plus viele komplexe Obertöne, deren Stärke normalerweise nicht monoton mit Obertönen ist, ganz zu schweigen von der Phase.

Das Audio von Note A0 auf dem Klavier hat also auch Harmonische einer niedrigeren Größenordnung auf A1, A2, A3, A4, A5, A7 und A8 und so weiter durch alle Oktaven oder Vielfachen von f1, wo die Vielfachen 1,2,3 sind ,4,5,6,7 usw

Wenn die Grundfrequenz dominant ist, nennen Sie ihre Hauptfrequenz die niedrigste. Aber wenn Sie die niedrigste Frequenz stumm schalten, sagen wir bei einer Gitarre, dass die Mitte der Saite oder 1/4 die Saite hoch ist. Sie unterdrücken den Grundton und somit dominiert ein Oberton oder eine Harmonische, so dass Sie hören, dass der lauteste und der Fourier-Inhalt auf einem Spektraldichtemesser oder "Spektrumanalysator" dies beweist.

Ich hoffe, dieser nicht mathematische Ansatz ist technisch genug, um Ihre Neugier zu befriedigen.