Zeitbegrenzte Signal-Fourier-Transformation

Was Sie fragen, fällt in den Bereich der Spektralschätzung , von der die Frequenzschätzung ein besonderer Fall ist.

Im Allgemeinen können Sie ohne Vorkenntnisse über die Frequenzen in Ihren ursprünglichen Signalen nicht tun, worum Sie bitten. Ein wesentlicher Grund ist Aliasing. Wenn Sie mit einer bestimmten Frequenz abtasten$f_s$, können Sie die Eingangsfrequenzen nicht unterscheiden$nf_s - f_0$,$nf_s + f_0$für verschiedene n von 0 bis unendlich. Wenn Sie beispielsweise mit 100 Hz abtasten, können Sie keinen Unterschied zwischen einem 20-Hz-Eingang, einem 80-Hz-Eingang, 120 Hz, 180, 220 usw. erkennen.

Wenn Sie nichts über Ihre Eingangsfrequenzen wissen, besteht eine weitere Einschränkung darin, dass die Genauigkeit, mit der Sie Ihre Eingangsfrequenzen schätzen können, durch die Dauer der Abtastung begrenzt ist. Wenn Sie beispielsweise 1 s lang mit beispielsweise 100 Hz abtasten, können Sie (ganz grob gesagt) kaum zwischen einem 20-Hz-Eingang und einem 21-Hz-Eingang unterscheiden. Wenn Sie 100 s lang abtasten, können Sie möglicherweise kaum zwischen einem 20-Hz-Eingang und einem 20,01-Hz-Eingang usw. unterscheiden.

Diese Einschränkungen gelten unabhängig davon, ob Sie einen Eingang haben, der durch die Kombination zweier unabhängiger Quellen gebildet wird, oder ob Sie nur einen einzigen, reinen Sinuswelleneingang haben und dessen Frequenz schätzen möchten. Natürlich hat die zweite Grenze eine gewisse Relevanz, wenn Sie zwei Eingänge mit eng beieinander liegenden Frequenzen haben und diese trennen möchten.

Möglicherweise können Sie auch unter dsp.stackexchange.com Hilfe dazu erhalten , obwohl die typische Antwort dort eine beträchtliche Menge an mathematischem Hintergrund erfordert, was das Verständnis erschweren kann.

Wenn Sie wissen, dass ein Signal periodisch ist, benötigen Sie nur eine Periode, um die Fourier-Transformation zu berechnen. Das Problem besteht darin, die Periode der beiden Signale zusammen zu bestimmen, wenn Sie sie summieren.

Sie sagen, dass die Signale einzigartige Frequenzen haben, ich denke, Sie meinen Sinuswellen. Mit einzigartigen Frequenzen haben sie eine Spitze im Spektrum und sonst nichts (idealerweise).

Da die Fourier-Transformation linear ist, hat die Summe der Signale ein Spektrum, das die Summe der Spektren der einzelnen Sinuswellen ist, also hat es zwei Spitzen in genau derselben Position wie die anderen beiden Signale.

Wenn das Summensignal eine endliche Periode hat, ist dies das minimal notwendige Intervall, in dem Sie integrieren müssen, um es zu transformieren, da Sie sonst einen Fehler einführen und die ursprünglichen Sinuswellen nicht rekonstruieren können.

Beachten Sie, dass endliche Samples zwei Implikationen haben: Sie sampeln in einem endlichen Zeitintervall und Sie sampeln mit einer endlichen Frequenz. Beide sind Einschränkungen für die Signale, die Sie transformieren möchten: Die erste funktioniert nur, wenn das transformierte Signal eine endliche Periode hat (wie gesagt), die zweite ist durch das Nyquist-Shannon-Theorem gegeben und bedeutet, dass Sie mindestens abtasten müssen 2x die maximale Frequenz des Signals. Sie können beobachten, dass die erste Einschränkung die Frequenz des Signals nach unten und die zweite nach oben begrenzt.

Als Randbemerkung: Sie können die Signale nicht rekonstruieren, wenn sich ihre Spektren überlappen, wenn es sich also um Sinuswellen handelt, wenn ihre Frequenzen gleich sind.

Wenn die beiden Frequenzen eindeutig sind, dh) f1 / f2 = irrational, dann ist das Produktsignal nicht periodisch (ich habe einen Beweis dafür, wenn es Sie interessiert).

Sie können keine Fourier-Reihe an einem nicht periodischen Signal durchführen. Das Beste, was Sie tun könnten, ist eine ungefähre Fourier-Analyse, indem Sie davon ausgehen, dass die Periode einen akzeptablen Wert hat. Dies führt zu einer ungefähren Rekonstruktion.

Ziemlich oft "kombinieren" wir mehrere Signale, senden sie über einen einzelnen Draht oder eine Faser oder durch die Luft als ein einziges kombiniertes Signal und trennen sie am anderen Ende wieder in mehr oder weniger die ursprünglichen Signale.

Es gibt Dutzende von verschiedenen Möglichkeiten, wie wir Signale „kombinieren“.

Ist es dann möglich, den Frequenzinhalt herauszufinden ... mit irgendeiner Art von Transformation?

Wir verwenden fast immer eine schnelle Fourier-Transformation, um den Frequenzinhalt eines Signals herauszufinden. (Einige Leute experimentieren mit anderen Techniken, um den Frequenzinhalt eines Signals zu finden – die Hartley-Transformation, die schnelle Walsh-Hadamard-Transformation, die Chirplet-Transformation, Wavelet-Transformationen usw.)

Angenommen, wir nehmen endliche Abtastungen dieser Signale. (also endliche Transformationszeit.)

In der Praxis nehmen wir immer, wenn wir ein Signal abtasten, immer eine begrenzte Anzahl von Abtastungen eines Signals über eine extrem begrenzte Zeitdauer.

Wir müssen den interessierenden Frequenzbereich bereits kennen (oder erraten), um den richtigen Anti- Aliasing- Filter und die richtige Abtastrate auszuwählen.

Ist es dann möglich, den Frequenzinhalt der beiden Originalsignale mit irgendeiner Art von Transformation herauszufinden?

Sie müssen etwas darüber wissen, wie die Signale kombiniert wurden, und etwas über die ursprünglichen Signale wissen, um nützliche Informationen aus dem kombinierten Signal zu erhalten.

Angenommen, Sie wissen, dass die ursprünglichen Signale Audiosignale im menschlichen Hörbereich waren und das erste Signal auf 540 kHz AM-moduliert war, während das zweite Signal auf 1610 kHz AM-moduliert war, und dann wurden die beiden modulierten Signale addiert. In diesem Fall ist es ziemlich einfach, den Frequenzinhalt jedes der beiden ursprünglichen Audiosignale herauszufinden, indem man sich die Anzeige eines HF-Spektrumanalysators ansieht (was häufig implementiert wird, indem eine endliche Anzahl von Abtastungen genommen und dann eine schnelle Fourier-Transformation angewendet wird). . Es ist auch ziemlich einfach, Signal A und Signal B zu demodulieren und wiederherzustellen, die mehr oder weniger mit dem ursprünglichen ersten Signal bzw. zweiten Signal identisch sind.

Angenommen, Sie wissen, dass die ursprünglichen Signale Audiosignale im menschlichen Hörbereich waren, AM-moduliert und dann die modulierten Signale addiert wurden, aber Sie wissen nicht im Voraus, welche bestimmte Modulationsfrequenz verwendet wurde. In diesem Fall ist es ziemlich einfach, auf das Display eines HF-Spektrumanalysators zu schauen und herauszufinden, welche Modulationsfrequenzen verwendet wurden. Dann können Sie feststellen, ob die Modulationsfrequenzen weit genug voneinander entfernt sind, und wenn ja, können Sie Signal A und Signal B demodulieren und wiederherstellen, die mehr oder weniger mit dem ursprünglichen ersten Signal und zweiten Signal identisch sind. und den Frequenzinhalt von Signal A und Signal B herausfinden – aber es ist unmöglich zu sagen, ob das erste Signal mit Signal A und das zweite Signal mit Signal B oder umgekehrt geht.

Wenn Sie andererseits nur wissen, dass die ursprünglichen Signale Audiosignale im menschlichen Hörbereich waren und sie dann einfach addiert wurden (oder wenn jedes auf ungefähr dieselbe Frequenz AM-moduliert und dann addiert wurde), ist es hübsch viel unmöglich, sie zu trennen. Sie können den Frequenzinhalt des kombinierten Signals herausfinden, indem Sie sich das Spektrum ansehen – die Fourier-Transformation des kombinierten Signals. Wenn Sie Glück haben und die Signale nicht miteinander synchronisiert waren, können Sie einige Informationen über den Frequenzinhalt der beiden Originalsignale herausfinden. Wenn Sie im kombinierten Signal „leise“ Frequenzen sehen, müssen sowohl das erste als auch das zweite Signal bei dieser Frequenz leise sein. Wenn Sie im kombinierten Signal „laute“ Frequenzen sehen, entweder das erste oder das zweite Signal muss diese Frequenz erzeugen. Aber ohne weitere Informationen ist es unmöglich zu sagen, ob diese "laute" Frequenz istnur durch das erste Signal oder nur durch das zweite Signal oder sowohl durch das erste als auch durch das zweite Signal erzeugt wird.

Wenn Sie eine Fourier-Transformation über eine endliche Abtastperiode ausführen, die keine ganzzahlige Anzahl von Signalperioden ist, treten spektrale Verzerrungen auf, da Sie tatsächlich die Transformation des mit Ihrem Aus / Ein für a gefalteten Eingangssignals vornehmen -Während/Aus-Wieder-Abtastfenster. Dadurch erhalten Sie die Transformation des Eingangssignals multipliziert mit der Transformation des rechteckigen Abtastfensters, das eine Sync-Funktion ((sin x)/x) ist.

Um eine solche Frequenzbereichsverzerrung zu vermeiden, ist es üblich, die eingegebenen Abtastdaten mit einer Fensterfunktion zu multiplizieren, die den Effekt hat, das Signal allmählich ein- und auszublenden, um die durch den abrupten Beginn und das Ende der Abtastung verursachten Verzerrungen zu vermeiden. Es gibt verschiedene Fensterfunktionen mit Vor- und Nachteilen; ein einfacher ist (cos x) + 1 skaliert auf die Abtastperiode.