Ein „Paradoxon“ des Kohärenzismus?

Vorbehalt

Ich bin kein Logiker, also wird dies meine beste Anstrengung darstellen. Kritik an den Behauptungen ist erwünscht.

Kurze Antwort

Kollabiert der Kohärenzismus in eine Form des Fundamentalismus, bei der die grundlegenden Prämissen Kohärenzbeziehungen sind?

Ja. Ein Modell in der mathematischen Logik ist die Verwendung eines formalen Systems, um die Wahrheiten eines zweiten formalen Systems zu begründen, indem die Wahrheit des zweiten in das erste übersetzt wird, ähnlich wie bei Verwendungserwähnungsunterscheidungen in natürlicher Sprache. Das innere System ist die Objektsprache des äußeren, der Metasprache, wobei die Sprache im formalen Sinne als syntaktische Konstruktion einer formalen Grammatik verstanden wird, um Wohlgeformtheit zu gewährleisten. Die Beziehung zwischen der Objektsprache und der Metasprache besteht darin, dass die Grammatik der Metasprache ausdrucksstärker sein muss als die Objektgrammatik. Das ist die Natur der Begründung der Wahrheit. Das objektformale System wird verwendet, um Wahrheiten deduktiv zu beweisen , während das metaformale System verwendet wird, um die Konsistenz zu beweisender Ableitungen des Objektsystems deduktiv. Lesen Sie das noch einmal, denn das ist verwirrend, nur um es zu schreiben.

So können im besten Beispiel in der naiven Mengenlehre die grundlegenden Entitäten, Beziehungen und Operationen verwendet werden, um Theoreme zu beweisen. Aber sie können Theoreme nicht konsistent beweisen, da das System Widersprüche produziert. Der alternative Ansatz besteht jedoch darin, Axiome bereitzustellen, die Mengen, die sich selbst enthalten, nicht ausschließen, wobei ZFC die historisch inspirierte Standardform ist. Das funktioniert, weil die Mengenlehre eine Sprache ist und die Logik der Axiome in einer zweiten Sprache ist; Mengenlehre und Arithmetik sollen in der Logik begründet sein. Somit produziert die Mengenlehre konsistente mengentheoretische Wahrheiten (philosophische Kohärenz), wenn sie in die grundlegenden Wahrheiten des FOPC (philosophischer Fundamentalismus) übersetzt wird.

Lange Antwort

Formale Systeme und Sprachen

Im Allgemeinen betrachten Logiker formale Systeme als wenig mehr als eine Sammlung von Sätzen, die durch Logik einen einzelnen Satz ausgeben, ein von Frege begonnenes Projekt. Aber der Begriff eines formalen Systems ist selbst berechenbar und könnte einige Einsichten verlieren, da Sie über Zeichen gesprochen haben. Zeichen im intuitiven Sinne werden für Berechnungszwecke am besten durch Zeichenfolgen dargestellt, was den Begriff eines Zeichens in dem einer Zeichenfolge in der Informatik begründet. Wir können dies als einen möglichen Formalismus betrachten, um ein formales System darzustellen. (Es ist möglich, die Begriffe Alphabete, formale Sprachen und Automaten weit ausgefeilter zu formalisieren als im Folgenden, das eine Zusammenfassung ist.)

Beginnen wir mit dem formalen Begriff eines formalen Systems. Ein formales System kann man sich als eine Sammlung von grammatikalisch bestimmten Zeichenfolgen (Sätzen) vorstellen, die syntaktisch aus einer formalen Sprache aufgebaut sind, die eine Zeichenfolge aus einem Alphabet verkettet. In der Informatik ist die Backus-Naur-Form eine beliebte Methode, um kontextfreie Grammatiken auszudrücken (Sie müssen die Chomski-Hierarchie untersuchen , um eine bessere Vorstellung davon zu bekommen, was das bedeutet) . Backus-Naur gibt ein einfaches Beispiel dafür, wie Wohlgeformtheit rechnerisch bestimmt werden kann. Sobald eine formale Sprache logische Konnektoren in ihre Grammatik eingebaut hat, ist sie in der Lage, so etwas wie modus ponens zu verwendeniterativ zum Schluss kommen Strings oder besser gesagt Sätze iterativ auf einen finalen Satz reduzieren. So gehen wir von den Vorläufern zu den Folgen.

Gegenwärtig beruhen die Ziele der mathematischen Logik, die Strenge eines formalen Systems sicherzustellen, auf einer Metasprache, deren Ausdrucksfähigkeit größer ist als die Objektsprache, und daher wird die Kohärenz der Objektsprache durch die axiomatischen Grundlagen der Metasprache hergestellt. Die Objektsprache wird allgemein als syntaktisch bezeichnet und verwendet das syntaktische Drehkreuz ¹, abstrahiert und befasst sich mit Beweisbarkeit statt Erfüllbarkeit, während die Metasprache semantisch ist und das semantische Drehkreuz verwendet, spezifischer ist und sich mit Konsistenz und Entscheidbarkeit der Objektsprache befasst. Eine Objektsprache ist daher ein deduktives Werkzeug, um eine Behauptung zu untersuchen, die sich von einer axiomatischen Basis aus erstreckt, die hauptsächlich dazu dient, die Erfüllbarkeit von Sätzen zu demonstrieren, was philosophisch gesprochen eine Instanz der Wahrheit ist, die aus Sätzen des Systems abgeleitet wird, während die Metasprache versucht, sicherzustellen Behauptungen über die Behauptungen der Subjektsprache, dh konsistent (mathematische Kohärenz), aber begründet in einem System, das die Natur der ursprünglichen Wahrheit anspricht, mit Blick nicht nur auf die Gültigkeit der Deduktion auf Objektebene (Beweisbarkeit), aber die Gültigkeit des gesamten Systems über eine Reihe von Variablen im Bereich des Diskurses, was zeigt, dass das System nicht inkonsistent darin ist, Wahrheiten zu beweisen (Konsistenz). Die Brücke zwischen den beiden Sprachen stammt von der Tarskischen Theorie der Wahrheit, die den T-Satz verwendet, um zu zeigen, dass es eine Übersetzung der Wahrheit von der Subjektsprache in die Objektsprache gibt, woher der Begriff der deflationären Wahrheit stammt.

Nun, zwischen zwei Sprachen gibt es notwendigerweise zwei unterschiedliche Grammatiken, und es ist wichtig, sich daran zu erinnern, dass die Grammatik der Metasprache ausdrucksstärker sein muss als die Objektsprache. In der Sprache der formalen Sprachen bedeutet dies einfach, dass die wohlgeformten Zeichenketten der Objektsprache eine Teilmenge der wohlgeformten Zeichenketten der Metasprache sein müssen. Denken Sie daran, dass in einem T-Satz die Verwendung von Zeichenfolgenbegrenzern (manchmal als Escape-Sequenzen, Quotifizierer usw. wie Apostrophe, Anführungszeichen usw. bezeichnet) es dem T-Satz (Tarski-Methode) ermöglicht, durch Bijektion die Wahrheit aus einer Sprache zu erden zu einem anderen) ist ein Beispiel für die Verwendungserwähnungsunterscheidung und wird verwendet, um Sätze der Subjektzeichenfolge im Satz der Metasprache einzuschließen. Tarskis Beispiel aus Logik, Semantik, Meta-Metamathematik, p. 156:

(3) 'es schneit' ist genau dann ein wahrer Satz, wenn es schneit.

Sie können sehen, dass „es schneit“ eine Aussage ist und auf Richtigkeit überprüft wird, indem die bikonditionale logische Verknüpfung verwendet wird, die nicht Teil der Konversation sein muss, dh der Sprache, die verwendet wird, wenn über den Zustand des Wetters gesprochen wird. Die Herausforderung beim Parsen dieses Satzes wird durch Zitieren erleichtert, ist aber offensichtlich nicht Teil der gesprochenen Sprache. (In der Linguistik wird das Phänomen Center-Embedding genannt und kann ohne Trennzeichen zu Verwirrung führen.)

Jetzt können wir sehen, dass der Vorteil der Verwendung der Modelltheorie offensichtlich ist. Es ermöglicht, Paradoxien eines Satzes von Axiomen aufzulösen, indem zusätzliche Axiome hinzugefügt werden, anstatt die ursprünglichen Axiome des formalen Systems zu modifizieren, und ermöglicht gleichzeitig, auf den Bereich der Ergebnisse des formalen Systems zu sprechen, während gleichzeitig die vollständige Erforschung des Systems ermöglicht wird Begriffe wie Rekursion, Entscheidbarkeit, Berechenbarkeit usw. Der Ursprung dieser erhöhten Komplexität war eine Reaktion auf das von Russell formalisierte Lügnerparadoxon und der Versuch, die Theorie der Grundmengen in der Logik ihrer Axiome zu begründen, was zu ZF und später durch Erweiterung zu ZFC führte. Von da an blühten andere Mengentheorien wie NBG auf.

Es spielt also keine Rolle, ob Sie ein Beispiel aus der Mengenlehre oder der Graphentheorie oder sogar der Geometrie ziehen. Wenn Sie eine Sprache haben, zum Beispiel FOPC, und Sie beginnen zu prüfen, ob die in der Sprache erzielten Schlussfolgerungen konsistent sind oder nicht, müssen Sie neue Ideen einführen, um die Konsistenz zu beweisen, die notwendigerweise außerhalb des FOPC liegt. Und in dem Moment, in dem Sie beginnen, diesen Prozess zu formalisieren, greifen Sie aufgrund der rekursiven Natur, die mit der Verwendung der Aussagen der ersten Sprache in einer ausdrucksstärkeren zweiten Sprache verbunden ist, auf Ideen wie Metamathematik, Metalogik und Metasprachen zurück bewerte es. Also ein großes Lob an Sie, dass Sie erkannt haben, dass es einen erkenntnistheoretischen Kohärenzismus gibt, der in eine Form des Fundamentalismus "kollabiert", bei der die grundlegenden Prämissen Kohärenzbeziehungen betreffen. Das'

¹ _{Das Einfach-Doppel-Drehkreuz ist die aktuelle Norm in der mathematischen Logik, aber die gleichen Ideen könnten in natürlicher Sprache, Einfach-Doppelpfeile oder gemäß WP, Einfach-Einzel-Drehkreuz-Konvention vermittelt werden.}