Ist es beweisbar, dass erkenntnistheoretisch möglich (möglich nach allem, was ich weiß) nicht möglich impliziert?

Ihr Beispiel bezieht sich auf das sogenannte "Knowability Paradoxon" in Bezug auf Sätze der Form "p, aber p ist nicht bekannt", auf das Church 1945 hingewiesen hat. Die Church-Sätze sind nicht widersprüchlich, aber ein einfaches Argument zeigt, dass sie es nicht sein können bekannt für jedes p. In der Tat, wenn der Kirchensatz bekannt ist, ist p bekannt, aber es ist auch bekannt, dass p unbekannt ist, was inkohärent ist. Mit anderen Worten, wenn es unbekannte Wahrheiten gibt (solche, die niemals bekannt werden, wenn wir zeitlich denken), dann gibt es unerkennbare Wahrheiten. Church wurde möglicherweise von Moores Paradoxon inspiriert , das 1942 vorgeschlagen wurde und Sätze wie Moores „ Ich ging letzten Dienstag zu den Bildern, aber ich glaube nicht, dass ich es getan habe". Moores Argument war jedoch anders, dass solche Sätze einen Widerspruch erzeugen, wann immer sie geäußert werden, weil (ehrliche) Äußerung Glauben erfordert.

Wenn man eine Erkenntnistheorie annimmt, unter der es keine unerkennbaren Wahrheiten gibt (wie Intuitionismus), dann muss man akzeptieren, dass nichts Unbekanntes wahr sein kann (oder man kann eine nicht-traditionelle Erkenntnislogik übernehmen). Um es positiv auszudrücken: "Wenn p wahr ist, ist p bekannt", lautet die Schlussfolgerung, die Sie verwenden, dass mit p = "X unmöglich ist". Das ist unbeliebt, aber nicht so verrückt, wie es klingt. Der Glaube an unerkennbare oder verifikationstranszendente Wahrheiten ist ein Kennzeichen des Realismus. Anti-Realisten(über einen bestimmten Bereich) stellen strenge beweistheoretische Anforderungen an das Wissen, so dass nichts, was nicht mit einem Beweis geliefert wird, als wahr gilt und alles, was mit einem Beweis geliefert wird, natürlich als wahr bekannt ist. Wenn nach diesem Modell der Wahrheit X unmöglich ist, dann wissen Sie es bereits, und wenn nicht, dann wird der Behauptung kein Wahrheitswert beigemessen. Aus diesem Grund lehnen Intuitionisten und Antirealisten das Gesetz des ausgeschlossenen Dritten ab, wir können nicht wissen, ob p oder nicht p, ohne zu wissen, welches, sonst geben wir unerkennbare Wahrheiten zu. Wenn man einen solchen Wahrheitsbegriff annimmt, dann impliziert epistemisch möglich auch möglich (und somit ist das Gegenteil falsch und daher nicht beweisbar), aber dann scheint es wenig Sinn zu machen, zwischen epistemisch möglich und gerade möglich zu unterscheiden.

Wittgenstein vertrat in seiner Zwischenzeit in Bezug auf die Mathematik so etwas wie eine Position, der zufolge „ ein mathematischer Satz eine Anspielung auf einen Beweis ist “. Nach Shankers Lesart haben für Wittgenstein unbewiesene Vermutungen keinen Wahrheitswert, weil sie keine Bedeutung haben. Hier ist ein Kommentar zu Matthíassons These :

„ Wittgenstein gab die Ansicht auf, dass Sprache eine zugrunde liegende Logik oder einen Kalkül habe. Er glaubte nun, sagt Shanker, dass sie aus „einem komplexen Netzwerk ineinandergreifender Kalküle besteht: autonome ‚Aussagensysteme‘, von denen jedes einen eigenen ‚logischen‘ Raum darstellt“.

[...] Die Beziehung eines Beweises zu seinem Satz ist intern und schafft die Bedeutung des mathematischen Satzes, dh die Rolle des Beweises besteht nicht darin, seinen Leser nur von der Wahrheit des bewiesenen Satzes zu überzeugen (was eine externe Beziehung wäre). auf diesem Bild), sondern ist notwendig, um die eigentliche Bedeutung des zu beweisenden Satzes festzustellen – ein Beweis ist somit ein wesentlicher Teil des Satzes, den er beweist.

[...] Dies wirft natürlich sofort folgendes Problem auf: Wenn die Bedeutung eines mathematischen Satzes von seinem Beweis abhängt, ändert eine mathematische Vermutung ihre Bedeutung, wenn sie bewiesen ist. Daraus folgt, dass eine mathematische Vermutung niemals bewiesen werden kann (da der bewiesene Satz nicht derselbe ist wie der vermutete). Für Shanker sind Vermutungen streng genommen bedeutungslos, stellen aber einen „Anreiz“ für den Mathematiker dar, einen Beweis und damit einen neuen Kalkül zu entwickeln. "