Einfache harmonische Bewegung - Was sind die Einheiten für ω0ω0\omega_0?

Ah, gute Frage. Das Bogenmaß ist eigentlich eine "falsche Einheit". Was ich damit meine ist, dass das Bogenmaß als das Verhältnis der Entfernung um einen Kreis (Bogenlänge) zum Radius eines Kreises definiert ist – mit anderen Worten, es ist das Verhältnis einer Entfernung zu einer anderen Entfernung. Für einen Winkel von einem Bogenmaß speziell die Bogenlänge$s$ist gleich dem Radius$r$, also bekommst du

Die Entfernungseinheiten (Meter oder was auch immer) heben sich auf, und es stellt sich heraus, dass "Bogenmaß" nur ein ausgefallener Name für 1 ist!

Das impliziert übrigens auch, dass „Grad“ nur ein Fantasiename für die Zahl ist$\frac{\pi}{180}$, und "Rotation" ist nur ein ausgefallener Name für die Zahl$2\pi$.

Dies befasst sich tatsächlich mit der Bearbeitung Ihrer Frage. Angenommen, Sie hätten ein Objekt, das oszilliert$\omega = \pi/4\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} = 0.785\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}$, und Sie wollten seine Position nach 10 Sekunden auswerten. Um den Kosinusterm zu erhalten, würden Sie die Zahlen einsetzen und erhalten

und dann würden Sie zu einer Trigonometrischen Tabelle im Bogenmaß (oder Ihrem Taschenrechner im Bogenmaß) gehen und 7,85 nachschlagen.

Angenommen, Sie haben gemessen$\omega_0$in Grad pro Sekunde statt in Radianten pro Sekunde. Sie hätten stattdessen

Wenn Sie dies in einer in Grad angegebenen Trig-Tabelle nachschlagen, erhalten Sie dieselbe Antwort wie$\cos(7.85)$. Wieso den? Denken Sie daran, dass die Einheit "Grad" nur ein Code für ist$\pi/180$, das ist also eigentlich gleich

Und$450\times\frac{\pi}{180} = 7.85$, was gerecht ist$450^\circ$in Radiant umgerechnet. Jetzt haben Sie also den gleichen Wert im Kosinus,$\cos(7.85)$. Trig-Tabellen, die in Grad aufgeführt sind, haben bereits diesen zusätzlichen Faktor von$\frac{\pi}{180}$eingebaut als Bequemlichkeit für Sie; im Grunde, wenn Sie eine beliebige Nummer nachschlagen$\theta$In einer Tabelle, die Grad verwendet, erhalten Sie eigentlich den Kosinus (oder Sinus oder was auch immer) von$\theta\times\frac{\pi}{180}$.

Bogenmaß ist aus Sicht der Dimensionsanalyse eine komische Einheit: Bogenmaß ist dimensionslos. Das bedeutet, dass rad/s und 1/s aus Sicht der Dimensionsanalyse gleichwertig sind.

Eine Möglichkeit, darüber nachzudenken, ist, dass Winkelmaße im Bogenmaß eigentlich nur Verhältnisse gleicher Größen sind:$\theta$im Bogenmaß ist per Definition das Verhältnis der Länge eines sich gegenüberliegenden Kreisbogens$\theta$zum Radius des Kreises. Ein Radiant ist also wirklich ein Meter pro Meter.

In der Praxis bedeutet dies bei der Dimensionsanalyse in der Physik, dass Sie mit wilder Hingabe Radiant in Ihre Einheiten hinein- und herausschieben können. Zum Beispiel, wenn ein Kreis mit Radius$r$dreht sich mit Winkelgeschwindigkeit$\omega$, dann ist die Geschwindigkeit eines Punktes auf der Felge

Lassen Sie mich Ihnen zusätzlich zu all den oben genannten, sehr gut geschriebenen Antworten, insbesondere von David Z und Ted Bunn, sagen, wie Sie den Ursprung des visualisieren können$rad/s$in Ihren Abmessungen für$\omega_0$.

Zunächst stellen wir fest, dass eine einfache harmonische Bewegung einer gleichförmigen Bewegung auf einem Kreis ähnlich ist. Um zu sehen, wie das geht, werden wir mit einem Spezialfall arbeiten, bei dem das Teilchen in eine gewisse Entfernung gezogen wird$r$weg von der mittleren Position und losgelassen und wir starten unsere Uhr, wenn sie ihre mittlere Position durchläuft, dh$x=0$Wenn$t=0$. Damit erhalten wir die Bewegungsgleichung als$x=r sin(\omega t)$.

Als nächstes zeichnen wir einen Kreis mit Radius$r$und zentriere am Ursprung und platziere das Teilchen bei$(r,0)$. Dann lassen wir das Teilchen mit konstanter Winkelgeschwindigkeit laufen$\omega$.

Betrachten wir nun die parametrischen Koordinaten des Teilchens, wenn es schräg steht$\theta$Von der X-Achse erhalten wir seine aktuelle Position. Wenn wir uns nur auf die Y-Koordinate konzentrieren, sehen wir, dass sie entspricht$y=r sin\theta$, oder in Bezug auf$\omega$, wir haben$y=r sin(\omega t)$. Hmm ... sieht fast so aus wie die Gleichung des zweiten Absatzes. Wenn wir uns ein anderes Teilchen ansehen, das sich nur entlang der Y-Achse bewegen kann und mit diesem Teilchen gekoppelt ist, führt es tatsächlich genau die einfache harmonische Bewegung aus, die wir mit unserem Federsystem hatten. Somit ist eine gleichförmige kreisförmige Bewegung genau analog zu einer einfachen harmonischen Bewegung, und wenn wir diese Analogie auf unsere Gleichungen anwenden, sehen wir das$\omega$kann als die Winkelgeschwindigkeit des Teilchens definiert werden und hat Abmessungen von$rad/sec$(seit$\omega$ist definitionsgemäß$d\theta/dt$).

Aber wenn man Physik macht , ist es eigentlich besser, die Argumente der trigonometrischen Funktionen dimensionslos zu haben. Wieso den? Ein Blick auf die Taylor-Reihe der$cos$Funktion könnte helfen:

In der RHS die erste Amtszeit$1$ist dimensionslos. Aufgrund der Eigenschaft der Dimensionsanalyse müssen alle additiven Terme die gleichen Dimensionen haben und somit dimensionslos sein. Daher,$x$muss dimensionslos sein und ist das Argument der Kosinusfunktion. Daher die Forderung.

PS: Es gab eine Zeit, da ließen die Physiker tatsächlich die Kreisfrequenz $\omega$haben die Maße von$rad/sec$, um es von der normalen Frequenz zu unterscheiden $\nu$oder$f$mit einer Abmessung von$1/sec$. Aber heutzutage ist es natürlicher zu verwenden$\omega$für alle Frequenzzwecke, weil es natürlicher in die Quantenmechanik, Fourier-Transformationen, spezielle Relativitätstheorie usw. passt.

Die Bedeutung des Bogenmaßes liegt "nicht" in seinen Dimensionen. Es muss erwähnt werden, ob$\omega_0$ist in Bogenmaß/s (und nicht nur 1/s), da Winkel in verschiedenen Einheiten ausgedrückt werden können - Grad, Bogenmaß usw. (alle sind dimensionslos) und es sei denn, wir wissen in welcher Einheit$\omega_0$ausgedrückt wird, können wir keine mathematischen Operationen damit durchführen, wie z. B. den Sinus oder Kosinus usw. finden.
Zum Beispiel:$sin(60^o)$, wobei 60 in Grad steht, ist völlig anders als$sin(60^r)$wobei 60 im Bogenmaß steht. Es ist also "sehr" wichtig, es immer zu erwähnen$\omega_0$in Radianten/s und nicht nur in 1/s.

(Dies ist der Grund, warum$\omega_0$wird als Kreisfrequenz und nicht nur als Frequenz bezeichnet, obwohl beide die gleichen Dimensionen haben.)

$\cos{(w_0t)}$wird eine Lösung der gegebenen Gleichung mit sein$w_0=\sqrt{\frac{k}{m}}$nur wenn$\frac{d}{dx}\cos{x}=-\sin(x)$, was es nur sein wird, wenn$x$ist in Einheiten Radiant. Wenn$x$in Einheiten Grad oder Grad ist, gibt es eine dimensionslose Umrechnungskonstante,$\frac{d}{dx}\cos{x}=-C\sin(x)$. Die Konvention, dass wir das Bogenmaß verwenden, ist geometrisch so natürlich, dass sie für Mathematiker und Physiker fast fest verdrahtet ist. Ich denke, die beiden Antworten, die erschienen, als ich anfing, dies zu schreiben, sind im Prinzip falsch, 1 Radiant = 1 zu nehmen, aber in der Praxis ist es unwahrscheinlich, dass Sie Probleme bekommen, wenn Sie die Einheit im Bogenmaß als dimensionslos nehmen. Nichtsdestotrotz gibt es einen Grund, warum dies ein internationaler Standard ist. Gute Frage.

EDIT: Ich bin nicht ganz zufrieden mit dem oben Gesagten. Es kommt darauf an, ob wir definieren $\cos{}$einen Winkel einem dimensionslosen Verhältnis zuordnen oder dimensionslose Zahlen einem dimensionslosen Verhältnis zuordnen. Die zweite Definition würde die früheren Antworten richtig und mich falsch machen.

EDIT (2): Anstatt zu schreiben$\sin{(60^o)}$oder$\sin{(\frac{60\pi}{180}^r)}$, könnten wir schreiben$\sin^{[o]}(60)$oder$\sin^{[r]}(\frac{60\pi}{180})$. Wenn wir eine Sinustabelle verwenden, prüfen wir, ob es sich um die Gradsinus- oder die Bogensinusfunktion handelt, und geben ihr dann die Zahl$60$oder die Nummer$\frac{60\pi}{180}$wie angemessen. Es gibt verschiedene Sinusfunktionen, die durch lineare Transformationen ihrer Argumente in Beziehung stehen. Wenn wir Übersetzungen einschließen, dann$\cos$wird auch eine andere Sinusfunktion.

Ich finde es hilfreich, rad in Einheiten zu verwenden, um diese mechanischen Eigenschaften zu verstehen:

Die Einheit der Federkonstante k für eine Drehmomentfeder (Uhrwerkfeder) ist Nm, nennen Sie sie aber (Nm)/rad und es ist verständlicher: "Drehmoment pro Winkel".

Auch Nm ist „formal“ gleich J, was die Unterscheidung vom Drehmoment erschweren kann, insbesondere wenn die Arbeit mit einer Drehbewegung verbunden ist. Es hilft dann, sich Joule als Nmrad vorzustellen, was "Drehmoment mal Winkeldrehung" bedeutet, analog zu der Art und Weise, wie die Arbeit aus linearer Bewegung "Kraft mal zurückgelegte Strecke" ist.

Ich würde Joule in der Dokumentation niemals anders als J nennen, es hilft nur, so darüber nachzudenken.

Nur so ein Gedanke, rad ist natürlich "1" und kann beliebig weggelassen werden. Ich sehe nicht ein, wie das Weglassen von rad zu einer Verwechslung mit Grad führen würde. In den Ingenieurwissenschaften wird Grad immer als Einheit verwendet, aber nie ohne das kleine Gradzeichen °

Bogenmaß ist eine Winkeleinheit im trigonometrischen Sinne, die Wiederholung mit Rotation (Zyklen und Umdrehungen) bringt. Es gibt andere Winkeleinheiten, wie z. B. Grad.

SI definierte das Bogenmaß als seine Basiseinheit und gab ihm dann den Namen "Ergänzende Einheit", um aus einer Sackgasse zwischen den Fraktionen herauszukommen. Damals wurden Berechnungen oft mit Stift und Papier durchgeführt, und die Dimensionsanalyse wurde aufgeteilt (der Calculus) und separat durchgeführt. Einige haben sogar vorgeschlagen, dass Sie den Tangens von 12 Zoll nehmen können! (so sagt der Kalkül).

Das Problem ist, dass die Base Unit des Zählers keine Dimension ist. Vielmehr ist es ein Maß in einem 3D-Raum.

Das bedeutet, dass man eine Dimension durch eine andere Dimension dividieren kann (zB Höhe, Richtung der Schwerkraft, durch die Breite) und eine scheinbar dimensionslose Zahl erhält.

Das „Winkelmaß“-Konzept ist einfach eine Art festzuhalten, dass wir vorher zwei Dimensionen (Lx, Ly) hatten und jetzt keine mehr haben (würden).

Wir würden niemals zulassen, dass Tempeperature / Time storniert wird, nur weil sie den Anfangsbuchstaben T haben.

Viele moderne Computeralgebrasysteme (Mathcad, Mathematica, Maple) bewältigen die automatische Konvertierung zwischen Einheiten und überprüfen die resultierenden Dimensionen mit Skalierung, um viele wissenschaftliche und technische Berechnungen zu unterstützen. Alle werden jedoch von Torque vs Work behindert, da die Angle-Einheit fehlt. Das Drehmomentproblem erstreckt sich auch auf mechanische CAD-Systeme.

Die Fähigkeit, die scheinbar "dimensionslosen" Zahlen zu beschriften und zu überprüfen, ist ein trauriger Verlust.

Mach 3 + 4 Radianten = 7 Reynolds.

Beachten Sie auch, dass es in der Mathematik überhaupt keine benannten Dimensionen gibt, also lassen Sie sich nicht das oft wiederholte Mantra „Offensichtlich sind alle Winkel im Bogenmaß angegeben“ ohne ein wenig Nachdenken und Herausforderung erzählen.

Schlagen Sie zB den Cordic-Algorithmus nach, der auf der Acht einer Kurve (45 Grad) definiert ist, wobei tan (45 Grad) = 1 ist, was für eine Bequemlichkeit! (dh die reguläre sin(x)=x+.. ist nur eine weitere Bequemlichkeit!)